初中12.3 角的平分线的性质习题

2023年人教版数学八年级上册

《12.3 角的平分线的性质》同步精炼

一              、选择题

1.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是(　　)

A.PQ＞6         B.PQ≥6         C.PQ＜6         D.PQ≤6

2.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(　　)

A.30°      B.35°        C.45°       D.60°

3.如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD    P点到∠AOB两边距离之和.(       )

A.小于                       B.大于                      C.等于                        D.不能确定

4.数学课上，小明进行了如下的尺规作图(如图所示)：

(1)在△AOB(OA＜OB)边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD＝OE；

(2)分别以点D、E为圆心，以大于0.5DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；

(3)作射线OC交AB边于点P.

那么小明所求作的线段OP是△AOB的(　　)

A.一条中线   B.一条高         C.一条角平分线     D.不确定

5.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是(　　)

A.3cm       B.4cm       C.5cm       D.7 cm

6.如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是(  )

A.∠C＝∠ABC                    B.BA＝BG                    C.AE＝CE                        D.AF＝FD

7.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（      ）

A.3               B.4                C.6                 D.5

8.如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在(　　)

A.AC，BC两边高线的交点处

B.AC，BC两边中线的交点处

C.AC，BC两边垂直平分线的交点处

D.∠A，∠B两内角平分线的交点处

9.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是(      )

A.8              B.6             C.4            D.2

10.如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP.

有以下结论：

①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBD+S△PCE＝S△PBC.

其中正确的个数是(　　)

A.2         B.3           C.4             D.5

二              、填空题

11.三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线     一点，且该点在三角形     部.

12.如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在　   　，理由是　   　.

13.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，∠BOC＝        .

14.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC，则S△ABD∶S△ACD=　　　．

15.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为________cm

16.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为     .

三              、作图题

17.如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．(保留作图痕迹，不写作法)

四              、解答题

18.如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝CF.

19.如图，AC平分∠BCD，AB＝AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. 

(1)若∠ABE＝60°，求∠CDA的度数.

(2)若AE＝2，BE＝1，CD＝4.求四边形AECD的面积.

20.(1)如图1，在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B＝45°，∠F＝30°，∠CGF＝70°，求∠A的度数.

(2)利用三角板也能画出一个角的平分线，画法如下：

①利用三角板在∠AOB的两边上分别取OM＝ON；

②分别过点M、N画OM、ON的垂线，交点为P；

③画射线OP，所以射线OP为∠AOB的角平分线.

请你评判这种作法的正确性，并加以证明.

21.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC.

求证：∠A＋∠C＝180°.

22.如图，△ABC和△AED为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BE、CD交于点O，连接AO.

求证：(1)△BAE≌△CAD；

(2)OA平分∠BOD.

答案

1.B.

2.B.

3.B.

4.C.

5.D.

6.B

7.A

8.C

9.C.

10.C

11.答案为：相交于，外.

12.答案为：工厂的位置应在∠A的角平分线上，且距A1cm处；

理由：角平分线上的点到角两边的距离相等.

13.答案为：125°.

14.答案为：2

15.答案为：6.

16.答案为：6.

17.解：如解图，点P即为所求作的点．

作法提示：要使点P到AC的距离等于BP的长，即作∠BDC的平分线．

①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交BD，CD于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点Q；③过点D作射线DQ交BC于点P.点P即为所求．

18.证明：连接DB.

∵点D在BC的垂直平分线上，

∴DB＝DC；

∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF；

∵∠DFC＝∠DEB＝90°，

在Rt△DCF和Rt△DBE中，

DB＝DC，DE＝DF.

∴Rt△DCF≌Rt△DBE(HL)，

∴CF＝BE(全等三角形的对应边相等).

19.解：(1)∵AC平分∠BCD，AE⊥BC AF⊥CD， 

∴AE＝AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE＝AF，AB＝AD.

∴Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴∠ADF＝∠ABE＝60°，

∴∠CDA＝180°﹣∠ADF＝120°；

(2)由(1)知：Rt△ABE≌Rt△ADF， 

∴FD＝BE＝1，AF＝AE＝2，CE＝CF＝CD＋FD＝5，

∴BC＝CE＋BE＝6，

∴四边形AECD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积＝10.

20.解：(1)∵∠CGF＝70°，

∴∠AGE＝70°，

∵∠B＝45°，∠F＝30°，

∴∠AEF＝∠B＋∠F＝75°，

∴∠A＝180°﹣75°﹣70°＝35°；

(2)证明：这种作法的正确.

理由如下：由作图得∠PMO＝∠PNO＝90°，

在Rt△PMO和Rt△PNO中

，

∴Rt△PMO≌Rt△PNO，

∴∠POM＝∠PON，

即射线OP为∠AOB的角平分线.

21.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，

∵BD平分∠ABC，

∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，

在RtCDE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△ADF(HL)，

∴∠FAD＝∠C，

∴∠BAD＋∠C＝∠BAD＋∠FAD＝180°.

22.证明：(1)过点A分别作AF⊥BE于F，AG⊥CD于G.如图所示：

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠CAD，

在△BAE和△CAD中，

，

∴△BAE≌△CAD(SAS)，

(2)连接AO并延长交CE为点H，

∵△BAE≌△CAD，

∴BE＝CD，

∴AF＝AG，

∵AF⊥BE于F，AG⊥CD于G，

∴OA平分∠BOD，

∴∠AOD＝∠AOB，

∵∠COH＝∠AOD，∠EOH＝∠AOB，

∴∠COH＝∠EOH.

∴OA平分∠BOD.