初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质当堂检测题

12.3 角的平分线的性质同步卷

一、单选题

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（       ）      

A．个 B．个 C．个 D．个

2．如图，平分，于点，，，则（    ）

A．28 B．21 C．14 D．7

3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．如图，在△ABC中，，，，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是，，则的值为（      ）

A．1：2 B．2：5 C．3：5 D．1：5

5．点在内部，则四个等式：①；②；③；④，其中能表示是角平分线的式子有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3，，D为AC上一点，连接BD，若，则的度数为（    ）

A．40° B．35° C．30° D．20°

7．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若，则∠BOC的度数为（      ）

A．150° B．120° C．110° D．100°

8．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，为促进某地旅游业的发展，当地旅游部门要在三条公路AB，AC，BC两两相交后围成的三角形区域内修建一个度假村，若这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在（　　）

A．三边的垂直平分线的交点上 B．三条角平分线的交点上

C．三条高线的交点上 D．三边中线的交点上

10．如图，在ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则ABD的面积是（    ）

A．48 B．24 C．12 D．6

二、填空题

11．如图，平分，．填空：因为平分，所以________．从而________．因此________．

12．如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为________．

13．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．

14．如图，在中，O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为____________．

15．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若，DE＝4，AB＝8，则AC长是______．

16．如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，的面积为24，则的长为___________．

三、解答题

17．如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．

(1)求证：△EGB≌△EFC；

(2)若AB=3，AC=5，求AF的长．

18．如图，，分别是和的高，，．求证：．（每行都要写理由）

19．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F．

(1)求证：；

(2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．

20．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DEAB于E，DFAC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；

21．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．

(1)若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．

(2)若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．

1．C

【详解】解：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠DAE，

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴∠C=∠E=90°，

∵AD=AD，

∴△DAC≌△DAE，

∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；

无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；

∵BE+AE=AB，AE=AC，

∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；

∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，

∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．

综上，正确的个数的3个，

故选：C．

2．C

【详解】解：作于，

平分，，，

，

，

故选：C．

3．B

【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，

∴DE＝CD，

∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，

解得：DE＝3，

∴CD＝3.

故选：B.

4．B

【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，

∵，BD是∠ABC的平分线，

∴DE=AD，

∵，，

∴．

故选：B

5．C

【详解】∵，，

∴，

∴平分，

故①满足要求；

无法通过得到，

故②不满足要求

∵，，

∴，

∴平分，

故③满足要求；

∵，，

∴，

∴平分，

故④满足要求；

则满足要求的式子有3个，

故选：C．

6．B

【详解】解：设△BCD中BC边上的高为：h1，△ABD中AB边上的高为：h2，

∵BC=1，AB=3，S△BCD：S△ABD=1：3，

∴h1=h2，

∴BD是∠ABC的角平分线，

∴∠ABD==35°．

故选：B．

7．B

【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离都相等，

∴OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

故选B．

8．B

【详解】解：设点O到BC的距离为x，

∵O是△ABC的角平分线的交点，

∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，

∵△ABC的面积为24，周长为24，

∴，

解得：x=2．

即点O到BC的距离为2．

故选：B．

9．B

【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，

∴度假村应该在△ABC三条角平分线的交点处．

故选：B．

10．C

【详解】解：由作法得AD平分∠BAC，

过D点作DH⊥AB于H，如图，

∵∠C＝90°，

∴DC⊥AC，

∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，

∴DH＝DC＝3，

∴△ABD的面积AB×DH8×3＝12．

故选：C．

11．              

【详解】解：∵AC平分∠DAB，

∴∠1＝∠CAB．

又∵∠1＝∠2，

∴∠CAB＝∠2，

∴ABDC（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：∠CAB，∠CAB，DC．

12．12

【详解】解：∵，，

∴∠BED=∠BCD=90°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠CBD，

在Rt△EBD和Rt△CBD中，

，

Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），

∴BE=BC，ED=CD，

∵的周长为，

∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6，

∵的周长为，

∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30，

∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24，

∴BC=12．

故答案为12．

13．3

【详解】解：过D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，

解得AC=3．

故答案为：3．

14．或88度

【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，

∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠A＝180°−（∠ABC+∠ACB）

＝180°−2（∠OBC+∠OCB）

＝180°−2×（180°−∠BOC）

＝180°−2×（180°−134°）

＝88°

故答案为：88°．

15．6

【详解】解：是中的平分线，于点，交于点，

．

又，，

，

．

故答案为：6．

16．3

【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，

由题意可知：平分，

∵，

∴，

设，

∵，

又∵，

，

又∵，

∴，

解得：，

即．

故答案为：

17．(1)见解析

(2)AF的长为1

【分析】（1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC；

（2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求．

（1）

解：∵EG⊥AD，EF⊥AC，

∴∠EGB=90°=∠EFC，

∴△EGB和△EFC是直角三角形，

∵AE平分∠CAD，

∴∠EAG=∠EAF，

∵EA=EA，

∴△AGE≌△AFE，

∴EG=EF，

∵EB=EC，

∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)，

得证；

（2）

解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，

∴BG=FC，AG=AF，

∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，

∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，

∵AB=3，

∴2AF+3=5，

∴AF=1，

即AF的长为1．

18．证明见详解

【详解】证明：∵AE，AF分别是△ABC和△ABD的高，（已知）

∴AE⊥BC，AF⊥BD，（三角形高的定义）

∵AE=AF，（已知）

∴∠ABE=∠ABF，（角平分线的判定定理）

在△ABC和△ABD中，，

∴△ABC≌△ABD(SAS)，

∴AC=AD．（全等三角形的对应边相等）

19．(1)证明过程见详解

(2)相等，理由见详解

【分析】（1）根据BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，再根据DF⊥BC，得到∠DFB=∠BAD=90°，即可得到，即可证得AB=BF；

（2）先证明，即可得到∠BGE=∠BDF，再根据∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得到∠AGD=∠ADB，即有AG=AD．

（1）

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBF，

∵DF⊥BC，

∴∠DFB=∠BAD=90°，

又∵BD=BD，

∴，

∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；

（2）

AD=AG，理由如下：

∵AE是斜边BC上的高，

∴AE⊥BC，

又∵DF⊥BC，

∴，

∴∠BGE=∠BDF，

又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，

∴∠AGD=∠ADB，

∴AG=AD．

20．见解析

【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴△BDE和△DCF是直角三角形．

在Rt△BDE与Rt△DCF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），

∴DE=DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是∠BAC的角平分线．

21．(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】（1）根据D是BC的中点可得，根据 DE⊥AB可得，利用直角三角形全等的判定和性质可得，DE＝DF，再用角平分线得判定定理即可证明；

（2）根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据D是BC的中点可得，再用HL证明，最后用全等三角形对应边相等证明．

（1）

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴△BDE与△DCF是直角三角形．

在Rt△BDE与Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴DE＝DF．

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是△ABC的角平分线；

（2）

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE＝DF，

∵AD是BC边的中线，

∴BD＝CD．

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴BE＝CF．