【全套精品专题】初中数学同步 9年级下册 第4课 图形的相似和比例线段（教师版含解析）
展开第4课 图形的相似和比例线段
课程标准 |
1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. |
知识点01 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果 ，如 ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称 ．
3．比例的基本性质：
(1)若a:b=c:d ，则 ；
(2)若a:b=b:c ，则 (b称为a、c的比例中项)．
知识点02 相似图形
在数学上，我们把 称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指 ，但大小 相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
知识点03 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的 ，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
(1)相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
(2)相似多边形对应边的比称为相似比．
考法01 比例线段
【典例1】求证：如果，那么.
【即学即练1】如果，那么的值是( )
A. B. C. D.
考法02 相似图形
【典例2】如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？
【即学即练2】 下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )
考法02相似多边形
【典例3】一个矩形ABCD的较短边长为2．
(1)如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
(2)如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【即学即练3】等腰梯形与等腰梯形相似，，求出的长及梯形各角的度数.
【典例4】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.
题组A 基础过关练
一．选择题
1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为( )
A．3 km B．30 km C．300 km D．3 000 km
2.若3a=2b，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知△ABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边的长是
下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm
4.△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )
A． B． C．或 D．
5.下列两个图形：① 两个等腰三角形；② 两个直角三角形；③ 两个正方形；④ 两个矩形；⑤ 两个菱形；⑥ 两个正五边形.其中一定相似的有( )
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的三角架，只有长30cm，50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)做为其他两边，则不同的截法有( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
题组B 能力提升练
7. 在一张比例尺为1：5 000 000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为_________.
8. △ABC的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1和，且△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长为____________
9． 如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则
10.已知若若:=___.
11.如图：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,AC:CD=__________,CD:DE=________.
12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B是原来∠B的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，
则正确的有 .
题组C 培优拔尖练
13.如果，一次函数经过点(-1,2)，
求此一次函数解析式.
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
15.从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比.
第4课 图形的相似和比例线段
课程标准 |
1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. |
知识点01 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
(1)若a:b=c:d ，则ad=bc；
(2)若a:b=b:c ，则 =ac(b称为a、c的比例中项)．
知识点02 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
知识点03 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
(1)相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
(2)相似多边形对应边的比称为相似比．
考法01 比例线段
【典例1】求证：如果，那么.
【思路点拨】这是比例的合比性质，利用等式的性质得到证明.
【答案与解析】 ∵，
在等式两边同加上1，
∴ ，
∴ ．
【总结升华】比例有合比性质如果，；
分比性质如果，；
更比性质如果，.
【即学即练1】如果，那么的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B；
提示：∵， ∴==． 故选B．
考法02 相似图形
【典例2】如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？
【答案与解析】从我们日常生活的直观经验中可以得出结论.两个四边形对应边成比例，这两个四边形不一定相似，如下图，边长是6的正方形和边长是2的菱形，它们对应边之比都是3，但它们形状并不一样，因而也不相似.
【总结升华】多边形的相似要满足两个条件：(1)对应角相等，(2)对应边的比相等.
【即学即练2】 下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )
【答案】A
考法02相似多边形
【典例3】一个矩形ABCD的较短边长为2．
(1)如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
(2)如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案与解析】解：(1)由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，=，
∴DM•BC=AB•MN，即BC2=4，
∴BC=2，即它的另一边长为2；
(2)∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴=，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF==1，
∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．
【总结升华】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等．
【即学即练3】等腰梯形与等腰梯形相似，，求出的长及梯形各角的度数.
【答案】∵等腰梯形与等腰梯形相似
【典例4】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.
【思路点拨】四边形相似要满足角对应相等，边对应成比例.
【答案与解析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，
将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为，
而宽的比为，
很明显，
所以做不到.
【总结升华】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与 原来矩形一定不相似.因为.
题组A 基础过关练
一．选择题
1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为( )
A．3 km B．30 km C．300 km D．3 000 km
【答案】B
【解析】图上距离︰实际距离=1：1 000 000.
2.若3a=2b，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵3a=2b， ∴，
设a=2k，则b=3k，
则
故选A．
3. 已知△ABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边的长是
下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm
【答案】C
【解析】 设△DEF的另两边的长分别为xcm，ycm，因为△ABC与△DEF相似，所以有下列几种情况：
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；所以选C.
4.△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】 相似比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，计算出AB︰A2B2.
5.下列两个图形：① 两个等腰三角形；② 两个直角三角形；③ 两个正方形；④ 两个矩形；⑤ 两个菱形；⑥ 两个正五边形.其中一定相似的有( )
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
【答案】A
【解析】只有两个正方形和正五边形相似.
6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的三角架，只有长30cm，50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)做为其他两边，则不同的截法有( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
【答案】B
题组B 能力提升练
7. 在一张比例尺为1：5 000 000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为_________.
【答案】350千米.
【解析】设甲、乙两地的实际距离为xmm，
1：5000000=70：x，
解得x=350000000．
350000000mm=350千米. 即甲乙两地的实际距离为350千米．
8. △ABC的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1和，且△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长为____________
【答案】
【解析】提示：△A′B′C′已知两边之比为1：，在△ABC中找出两边、，它们长度之比也为1︰，根据相似三角形对应边的对应关系，求出相似比.
9． 如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则
【答案】 .
【解析】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以,即EF=,
所以
10.已知若若:=___.
【答案】
11.如图：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,AC:CD=__________,CD:DE=________.
【答案】1:3;1:2;1:2;2:1;1:3.
12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B是原来∠B的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，
则正确的有 .
【答案】 ③
题组C 培优拔尖练
13.如果，一次函数经过点(-1,2)，
求此一次函数解析式.
【解析】∵
∴
∴
则分两种情况：(1)，即,
(2),即
所以当，过点(-1,2)时，
当，过点(-1,2)时，.
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
【解析】∵矩形MFGN与矩形ABCD相似
当时，S有最大值，为.
15.从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比.
【解析】根据矩形相似的性质找出相应的解析式求解.
设原矩形的长为x，宽为y，则剩下矩形的长为y，宽为x-y
由题意，得
令则，
.(又a＞0)，
∴原矩形的长与宽之比为 .
