人教版数学九年级下册 27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似 课件

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27.2.1 相似三角形的判定第二十七章 相 似第2课时 三边成比例的两个三角形相似2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三 角形相似的启发吗？1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？复习引入3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法， 我们能不能通过三边来判定两个三 角形相似呢？三边成比例的两个三角形相似合作探究 任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的各边长的 k 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ 通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学过的定理证明该结论.证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 A′D = AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.∵ DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴ DE = BC，A′E = AC.∴△ABC∽△A′B′C′.E∴ △A′DE≌△ABC.由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．归纳：∴ △ABC∽△A′B′C′.符号语言：例 1 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm；A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm.典例精析解：相似. 理由如下： ∵ ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′. 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(2) AB ＝ 4， BC ＝ 8， AC ＝10， DE ＝ 20， EF ＝ 16， DF ＝ 8.(1) AB ＝ 3， BC ＝ 4， AC＝ 6， DE ＝ 6， EF ＝ 8， DF ＝ 9；是否练一练例 2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．解：在 △ABC 中，AB > BC > CA； 在 △DEF 中，DE > EF > FD.∴ △ABC ∽ △DEF. 方法总结：判定三角形相似的方法一：如果题中给出了两个三角形的所有边长，可分别计算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.【分析】要运用三边成比例判断相似，而题目只给出 2 组边成比例和 90° 的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边的比，进而求解. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′2 = (2B′C′)2.∴ △ A′B′C′∽△ABC. ∴∠BAC =∠DAE．∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，即∠BAD =∠CAE．∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°．∴△ABC∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).例 4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE 的度数.1. 根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′ 是否相似，并说明理由：AB = 5 cm ，BC = 7 cm ，AC = 8 cm，A′B′ = 15 cm ，B′C′ = 21 cm ，A′C′ = 23 cm.解：不相似. 理由如下： ∵ ∴△ABC 与△A′B′C′ 的三边不成比例. ∴△ABC 与△A′B′C′ 不相似.2. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，有两个三角形，它们是否相似？请说明理由.①②解：相似，理由如下： 图①中的三角形三边分别为 ，2 ， ； 图②中的三角形三边分别为 2，2 ，2 . ∵ ∴ 这两个三角形相似.3. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，求证： △ABC∽△DBA. ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA.证明：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，∴ AB = ，AC = ，AD = .4. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD．∴ △ABC∽△EFD.证明：∵△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由.解：公路 AB 与 CD 平行．理由如下：∴ △ABD∽△BDC．∴∠ABD =∠BDC．∴ AB∥DC．三边成比例的两个三角形相似 利用三边成比例判定两个三角形相似相似三角形的判定定理的运用