第八章 立体几何初步 平行关系综合训练（2）-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

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       高一数学定时练 G a o y i s h u x u e d i n g s h i l i a n  第八章  立体几何中的平行关系综合训练（2） 一、单项选择题1．（2023·全国·高一专题练习）直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，M是棱的中点，则（    ）A．平面 B．平面BDMC．平面 D．平面3．（2023·全国·高一专题练习）下列条件中能推出平面平面的是（    ）A．存在一条直线，，B．存在一条直线， ，C．存在两条平行直线，，，，，D．存在两条异面直线，，，，，4．（2023·江苏·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（    ）①，；②，；③，；④，； ⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤5．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ）A． B．C． D．6．（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（    ）A． B． C． D．7．（2023·江苏·高一专题练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（    ）A． B． C． D．8．（2023春·全国·高一专题练习）在如图所示的长方体中 点为棱 的中点，若为底面内一点，满足面，设直线与直线所成角为 ，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．二、多项选择题9．（2023春·河北邯郸·高一大名县第一中学校考期中）若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是（    ）A．若ab，b⊂α，则aαB．若aα，bα，则abC．若ab，bα，则aαD．若aα，b⊂α，则ab或a与b异面10．（2023春·全国·高一专题练习）如图，长方体被平面BCFE截成两个几何体，其中E，F分别在和上，且，则以下结论正确的是（    ）A． B．平面C．几何体为棱台 D．几何体为棱柱11．（2023·江苏·高一专题练习）如图，空间四边形中，分别是边，的中点，分别在线段上，且满足，，，则下列说法正确的是（    ）A．当时，四边形是矩形B．当时，四边形是梯形C．当时，四边形是空间四边形D．当时，直线相交于一点12．（2023·全国·高一期中）如图所示，已知几何体是正方体，则（    ）A．平面B．平面C．异面直线与所成的角为60°D．异面直线与所成的角为90°三、填空题13．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中，假命题序号是______．①若直线直线，那么平行于经过的任何平面；②若直线不平行于平面，则不平行于内任一直线；③若平面内有三条直线平行于平面，则平面 平面．14．（2023·全国·高一专题练习）下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．15．（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.16．（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，的中点，是线段上的动点，过M，N，E的平面截正方体所得的截面面积记为.当为线段的中点时，______；当在线段（包括端点）上运动时，的取值范围是______.   四、解答题17．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．(1)求证：QN∥平面PAD；(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．                 18．（2023春·天津西青·高一天津市第九十五中学益中学校校考期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)若中点为，求证：平面平面.(3)若平面，，求直线与面所成的角.                  第八章  立体几何中的平行关系综合训练（2）答案1．【答案】C【解析】由推论1可知：，则，，过与确定一平面β，由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b，因为直线a∥平面α，，，所以a∥b.故选：C．2．【答案】D【解析】在长方体中，M是棱的中点，对于A，取中点N，连接，如图，正方体的对角面是矩形，，即平面，而与BN相交，则与平面有公共点，A不正确；对于B，取中点P，连接，如图，正方体的对角面是矩形，，而，又都在平面内，则与MP相交，因此与平面有公共点，B不正确；对于C，取中点Q，连接，如图，，则，四边形是平行四边形，因此，又平面，则BM与平面相交，C不正确；对于D，取中点Q，中点O，连接，如图，正方形中，，则四边形是平行四边形，有，正方形中，，即四边形是平行四边形，有，又，四边形是平行四边形，则，因平面，平面，平面，D正确.故选：D3．【解析】A.如图所示：，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；B.如图所示：  ，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；C. 如图所示：，存在两条平行直线，，，，，，但平面与平面相交，故错误；D.如图所示：，在平面内过b上一点作，则，又，且，所以，故正确；故选：D4．【答案】A【解析】由题意，①，，故，故正确；②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；③，则或，故错误；④，；则与可能平行或相交，故错误；⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确.故选：A.5．【答案】C【解析】如图所示，分别取的中点，连接,因为为所在棱的中点，所以,所以，又因为平面，平面，所以平面；因为 所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面；又因为,且平面,平面,所以平面平面，因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上，在直角三角形中，,在直角三角形中，,当在中点时，时，最短，在时，最长，,,所以线段长度的取值范围是故选:C.6．【答案】A【解析】连接，设平面与平面交于， 因为平面 平面，平面与平面交于，则，又，则，又是棱的中点，则F是BC的中点.，,，，故.故选：A.7．【答案】C【解析】连接交于点，连接，则平面即为平面，因为，平面，平面，所以，因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以，，所以且，所以，又，所以，所以.故选：C.8．【答案】C【解析】取中点，取中点，连接，，，，，.在长方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，分别为，的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，分别为，的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面平面.所以底面内满足满足面的点在线段上，又因为，所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角.在线段上任取一点，连接，，因为底面，底面，所以，所以为直角三角形，，在中，，，，因为点在线段上，所以当时，的长度最小，此时可利用等面积法，解得，所以的最小值为，当点和点重合时的长度最长为，所以的最大值为，所以的取值范围是.故选：C.9．【答案】ABC【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1AB，AB⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，故A为假命题；A1B1平面ABCD，B1C1平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B为假命题；ABCD，CD平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C为假命题；因为aα，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以ab或a与b异面，D为真命题．故选：ABC.10．【答案】ABD【解析】由及，得，则A正确；由，平面，平面，得平面，则B正确；以两个平行的平面和为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则C错误（由于延长后不交于一点，则几何体不为棱台）；以两个平行的平面和为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则D正确，故选：ABD11．【答案】BC【解析】选项A：在中，因为分别是边，的中点，所以且，当时，分别为中点，所以在中可得且，所以且，所以四边形是平行四边形，又分别为中点，所以，又，当时有，平行四边形为矩形，所以四边形不一定是矩形，A错误；选项B：当时，，所以，且，则由A可知且，所以四边形是梯形，B正确；选项C：当时，不平行于，又因为平面，平面，所以是异面直线，四边形是空间四边形，C正确；选项D：不妨设直线相交于一点，因为，平面，平面，所以 平面，又因为直线相交于点，所以平面，因为平面平面，所以，所以可得，矛盾，D错误；故选：BC12．【答案】BC【解析】对于A，由几何体是正方体可知，而平面,故平面相交，故A错误；对于B，平面平面，且平面，所以平面，故B正确；对于C，，与均为正方体面对角线，故， 三角形是等边三角形， 则直线与所成的角为60°，故C正确；对于D，,同理，三角形是等边三角形，直线与所成的角为60°，故D错误.故选：BC.13．【答案】①②③【解析】对①：若直线直线，则与经过的平面的位置关系有：平行或直线在该平面内，①为假命题；对②：若直线不平行于平面，则或，当，则与内任一直线的位置关系有：平行或相交；当，则与内任一直线的位置关系有：异面或相交；故若直线不平行于平面，则直线与内的直线可能平行，②为假命题；对③：若平面内有三条直线平行于平面，当这三条直线相互平行时，此时平面与平面的位置关系有：平行或相交，③为假命题.故答案为：①③③.14． 【答案】①②③【解析】图①：，，故，即四点共面，满足；图②：，若为中点，则，故，即共面，而，，故，即共面，且三点不共线，故共面，满足；图③：由题设，，故，则共面，满足；图④：若为中点，则，故，即共面，而面，面，则面，又，且三点不共线，故面即为面，故面，即不共面，不满足；故答案为：①②③15． 【答案】【解析】∵，且，∴，同理，.因为平面，平面，所以平面，同理可得：平面，又因为，且平面，所以平面平面，∵，，∴，同理，∴且，∴，故答案为：.16．【答案】          【解析】答题空1解：根据面面平行的性质定理得截面与平面的交线与平行，又因为为线段的中点，所以取的中点，即交线为，延长与的延长线交于点，又因为，即，连接与交于点，连接，又因为，即，所以时的中点，再根据面面平行的性质定理得截面与平面的交线与平行，所以取的中点，再连接，即截面为平面，因为六边形为正六边形且边长为，所以面积.答题空2解：①当点与重合时根据面面平行的性质定理得截面与平面的交线与平行，即交线为，连接，即等腰梯形的面积为；②当点与重合时，延长与的延长线交于点，连接与与交于点，延长与的延长线交于点，连接与交于点，则五边形为截面,如图，则面积等于的面积减去2个的面积，并且，相似比为，面积为：.③当点在线段（不包括端点时），延长与的延长线交于点，再连接并延长交于点，与的延长线交于点，延长交的延长线于点，再连接，则六边形即为截面.根据正方体的对称性得当点为的中点时面积最大，当点与重合时面积最小，故取值范围为故答案为：，17．【解析】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．∴QN∥BC，BC∥AD，∴QN∥AD，∵QN平面PAD，AD⊂平面PAD，∴QN∥平面PAD；（2）直线l与平面PBD平行，证明如下：∵M，N分别为PD，PB的中点，∴MN∥BD，∵BD⊂平面ABCD，MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，∵平面CMN与底面ABCD的交线为l，∴由线面平行的性质得MN∥l，∵MN∥BD，∴BD∥l，∵，且BD⊂平面PBD，平面PBD，∴l∥平面PBD．18．【解析】（1）取的中点，连接，，因为是的中点，所以且，又是的中点，是正方形，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为为的中点，是的中点所以，又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面.（3）因为平面，平面，所以平面平面，又为正方形，所以，平面，平面平面，所以平面，所以即为直线与面所成的角，又，所以为等腰直角三角形，所以，即直线与面所成的角为.