2023届中考数学考向信息卷 山东青岛专版

2023届中考数学考向信息卷

山东青岛专版

【满分：120】

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.-2022的倒数是(   )

A.2022 B. C.-2022 D.

2.如图所示几何体的左视图是(   )

A.   B.

C.   D.

3.如图，a，b两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是(   )

A. B. C. D.

4.下列计算正确的是(   )

A.  B. 

C.  D.

5.定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记做.例如：因为，所以；因为，所以.下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有(   )

A.①③ B.②③ C.①②③ D.②③④

6.如图, 与关于点位似, 且相似比为, 已知点B的横坐标为a, 则点的横坐标为(   )

A.  B.  C.  D.

7.如图, 在菱形ABCD 中, ,CE是AB 边上的高, 交对角线BD 于点F, 连接AF, 则 的度数 为(   )

A.  B.  C.  D.

8.已知关于x 的二次函数, 有如下结论:①函数没有最小值;②若, 则关于x 的方程 一定有一个根为;③若, 则函数 有最大值, 为 -1 ;④若，，, 则无论k 为何值, 直线 与抛物线 有且只 有一个公共点. 其中正确的有(   )

A. ②③ B. ②③④ C. ②④ D. ①②④

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，就是“纳米技术”已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示这个数为__________米

10.分解因式：___________.

11.若m是的小数部分，则__________.

12.某工厂生产的一种零件截面如图所示, 该零件截面由以 AB为边的正六边形及以AB 为边的正五边形组 成, 连接CD, 则的度数为_________.

13.如图, 扇形EOF的圆心O 是正三角形 ABC的中心, 点 B在 上, 若 , , 则图中阴影部分的面积为__________.

14.如图,在矩形ABCD 中, ,, 点E 为 AD的中点, 将沿 BE折叠得到 ,BF交 AC于点G, 则CG 的长为_________.

三、作图题（本大题满分4分）

15.如图, 在四边形ABCD 中,,,.

(1)请用尺规作图法, 作 的平分线, 交AB 于点E; (保留作图痕迹, 不要求写作法)

(2)在 (1) 的条件下, 若, 求CD 的长.

四、解答题（本大题共10小题，共74分）

四、解答题（本大题共9小题，共74分）

16.（8分）(1)计算：.

(2)先化简，再求值，其中x为方程的根.

17.（6分）如图所示, 琪琪将数字13,9,5,m 分别写在 4 张完全相同的卡片上, 已知这 4 个数的平均数为 9 .

(1)求m代表的数, 并直接写出这组数据的中位数.

(2)现将这 4 张卡片打乱顺序并反面朝上放置在水平桌面上.

①随机抽取一张卡片, 求卡片上的数能被 3 整除的概率.

②把写有 13,5 的 2 张卡片从中间纵向剪开, 得到 4 张形状相同的小卡片, 把这 4 张小卡片反面 朝上洗匀, 从中随机抽取 2 张, 求恰好拼成一张数字完整的卡片的概率是多少.

18.（6分）如图是某地铁出站口扶梯侧面设计示意图, 起初工程师计划修建一段坡度为, 高度 为 32 米的扶梯AB, 但这样坡度太陡容易引发安全事故. 现工程师对设计图进行了修改: 修建AC,DE 两段扶梯, 并在这两段扶梯之间修建 5 米的水平平台CD, 其中,, 扶梯AC 长 米, 点B,E 在同一水平线上. 求修改后扶梯底部 E与原来扶梯底部B 之间的距离. (结果精确 到 0.1 米. 参考数据: ,,,)

19.（6分）如图, 在菱形ABCD 中, , 过D点 作 于点P, 交CB 的延长线于点E, 求证:.

20.（6分）某校组织全体学生开展汉字听写大赛，从中抽取部分学生成绩(得分为正整数，满分为100分)进行统计，绘制了两幅不完整的统计图，直方图从左至右分别对应A、B、C、D、E组，其中C组图象缺失.已知A组的频数比B组小48.

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)求频数分布直方图中a、b的值；

(2)求出扇形统计图中D部分扇形所对的圆心角的度数；

(3)若80分以上为优秀，全校共有1000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名?

21.（6分）2023年是癸印兔年, 刘阿姨计划购买 A, B 两种兔年饰品装饰家里,已知购买 2 个 A 种饰品和 3 个 B 种饰品共 30 元, 购买 1 个A 种饰品和 4 个B种饰品共 25 元.

(1) 求每个A 种饰品和 B种饰品各多少元;

(2) 刘阿姨决定购买 A 种饰品和 B 种饰品共20个, 总费用不超过 150 元, 那么最多可以购买多少个 A 种饰品?

22.（8分）请阅读以下材料, 并完成相应的任务.

西姆松定理是一个平面几何定理, 其表述为: 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作 三边或其延长线的垂线, 则三垂足共线 (此线常称为西姆松线).数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.

如图 (1), 已知 内接于, 点P 在 上 (不与点A,B,C 重 合), 过点P 分别作AB,BC,AC 的垂线, 垂足分别为点D,E,F. 求证: 点D,E,F 在同一条直线上.

以下是他们的证明过程(不完整):

如图 (1), 连接PB,PC,DE,EF, 取PC 的中点Q, 连接QE,QF,

则 ,(依据1)

E,F,P,C四点共圆，

. (依据2)

又,

.

易得 B,D,P,E四点共圆，

……

任务:

(1) 填空:

①依据 1 指的是中点的定义及___________

②依据 2 指的是___________

(2) 请将证明过程补充完整.

(3) 善于思考的小东发现当点P 是 的中点时, , 请你利用图 (2) 证明该结论的正确性.

23.（8分）如图，反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于，C两点.

(1)求k的值及B点的坐标.

(2)不等式的解集为______.

(3)已知轴，以、为边作菱形，求菱形的面积.

24.（10分）如图 (1), 隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成, 矩形的一边BC 为 12 米, 另一边AB 为 2 米. 以 BC所在的直线为 x轴, 线段 BC的垂直平分线为 y轴, 建立平面直角坐标 系xOy,规定一个单位长度代表 1 米. 是抛物线的顶点.

(1)求此抛物线对应的函数表达式.

(2)在隧道截面内 (含边界) 修建“”” 型或“” 型栅栏,如图 (2)、图 (3) 中粗线段所示, 点 , 在x 轴上, MN与矩形 的一边平行且相等. 栅栏总长l 为图中粗线段 ,,,MN长 度之和, 请解决以下问题:

(i) 修建一个“”” 型栅栏, 如图 (2), 点 , 在抛物线 AED上. 设点 的横坐标为, 求栅栏总长l 与 m之间的函数表达式和l的最大值.

(ii) 现修建一个总长为 18 米的棚栏, 有如图 (3) 所示的“币” 型和“P” 型两种设计方案, 请你从中 选择一种, 求出该方案下矩形 面积的最大值, 及取最大值时点 的横坐标的取值范围 (在 右侧).

25.（10分）有两张全等的等腰直角三角形纸片ABC和DEF，，．

（1）如图1，若点F在边AB的中点M处，，将沿射线AB方向平移，当四边形CAFD是菱形时，求a的值；

（2）若将图1中的以点F为旋转中心，按逆时针方向旋转一定角度，DF交BC于点G，EF交AC于点H，如图2，发现，请你证明这个结论；

（3）若将图1中沿射线AB方向平移，接着以点F为旋转中心，按顺时针方向旋转至EF经过点C时，DF交BC于点G，如图3，求出此时两张等腰直角三角形纸片重叠部分的面积．

答案以及解析

1.答案：B

解析：由于，所以-2022的倒数是，故选：B.

2.答案： C

解析：该几何体的左视图如图所示：

故选C．

3.答案：B

解析：根据题意得，，，，

，A选项不符合题意；

，B选项符合题意；

，C选项不符合题意；

，D选项不符合题意.

故选：B.

4.答案：B

解析：A.，故该选项不正确，不符合题意；

B.，故该选项正确，符合题意；

C.，故该选项不正确，不符合题意；

D.，故该选项不正确，不符合题意；

故选：B.

5.答案：D

解析：解：根据新定义可得：，故①不符合题意；

，故②符合题意；

，

，

解得：，故③符合题意；

，

，故④符合题意，

故选D

6.答案：D

解析：分别过点 B,作x 轴的垂线, 垂足分别为 点D,E, 则,. 故选 D.

7.答案：C

解析：四边形ABCD 为菱形, ，BD平 分,. 在 和 中,,,,

,

又,,

,

8.答案：B

解析：， 函数 的图象开口向上, 可知该函数有最小值, 故①错误; 将 代入方程, 得, 故②正确: ， ，，函数 的图 象与x 轴有两个交点, 有最小值最小值为 0 , 故函数

有最大值, 为 -1 , 故③正确;，，，,

令, 即,

，

无论k 为何 值, 方程 只有一个解,

即直线 与抛物线 有且只 有一个公共点, 故④正确.

故选 B.

9.答案：

解析：绝对值的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

10.答案：

解析：原式.

故答案为：.

11.答案：5

解析：解：，

，

m是的小数部分，

，

，

，

，

故答案为：5.

12.答案：

解析：由题意易得 ，(正n 边形每个内角的度数为，),

. 又 ，

13.答案：

解析：如图, 连接OB,

过点O 分别 作 于点 G,于点H,

易知  ,,,,.

易 证,, 

14.答案：

解析：如图, 延长BF 交CD 于点H, 连接EH.

由折叠可知，,.

点E是AD的中点,，. 又，

  ,. 又 ，

, 由此易得，，

，，，

，，，

，

15.答案： (1)见解析

(2)4

解析：(1)如图, 射线CE 即为所求作的角平分线

(2) 由 (1) 知CE平分,

，

，

，

，

，

，

又，

四边形 AECD 为平行四边形

16.答案：(1)

(2)

解析：(1)原式

；

(2)原式

，

解方程得：，

如果已知分式有意义，必须x不等于2，-1，1，

x为方程的根，

x只能为-2，

当时，原式.

17.答案：(1)9

(2)

解析：(1)13,9,5,m 的平均数 为 9 ,

解得.

这组数据的中位数为 9 .

(2)①随机抽取一张卡片, 共有 4 种等可能的结果, 其 中卡片上的数能被 3 整除的结果有 2 种,故所求概率为.

(2)将写有 13 的卡片分成的两部分分别记为，, 写 有 5 的卡片分成的两部分分别记为，. 根据题意画树状图如图所示：

由树状图可知, 共有 12 种等可能的结果, 其中恰好拼 成一张数字完整的卡片的结果有 4 种,故所求概率为.

18.答案：25.71

解析：如图, 分别过点A,D 作EB 的垂线, 垂足分别为点F,H, 延长DC 交AF 于点M,

则四边形DMFH 是矩形,

，，，

在中, ，

，AB的坡度为,

,

在中, ,

19.答案：见解析

解析：证明: 连接BD.

四边形ABCD 是菱形, ,

，,

是等边三角形.

,

( 点拨:等边三角形“三线合一”)，

，

又，

20.答案：(1)，

(2)

(3)估计成绩优秀的学生有470名

解析：(1)本次调查的学生有：(人)，

，；

(2)扇形图中D部分所对的圆心角的度数：.

(3)(名)，

答：估计成绩优秀的学生有470名.

21.答案：(1) 每个A 种饰品 9 元、B 种饰品 4 元

(2)最多可以购买 14 个A 种饰品

解析：(1)设每个A 种饰品 x元、B 种饰品y 元,

根据题意得

解得,

答: 每个A 种饰品 9 元、B 种饰品 4 元.

 (2)设购买m 个A 种饰品, 则购买 个B 种饰品.

根据题意得

解得.

答: 最多可以购买 14 个A 种饰品.

22.答案： (1)①直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半

②圆内接四边形对角互补

解析：(1)略

(2).

,

,

点D,E,F 在同一条直线上.

(3) 证明: 如图, 连接PA,PB,PC.

点P是的中点,

，

，

又，，

，

23.答案：(1)，

(2)或

(3)

解析：(1)解：将代入，

得，

解得，

.

将代入，

得.

(2)根据题意，得，

，

解得，

，

，

或.

(3)如图，过点B作于点E.

点B与C关于原点对称，

，

，，

由勾股定理，得.

四边形是菱形，

，

菱形的面积为.

24.答案： (1)

(2) (i) 栅栏总长l 与 m之间的函数表达式为 ，l的最大值为 26

(ii)

解析：(1) 由题意可知.

设, 将 ，分别代入,

故此抛物线对应的函数表达式为.

(2) (i) 由题意得,

将代入, 得,

，

，，

，，

，

当 时, l的值最大,最大值为 26 .

综上, 栅栏总长l 与 m之间的函数表达式为 ，l的最大值为 26 .

(ii) 方案一: 设, 则,

，

当 时, 的值最大, 最大值为 27 .

将 代入,

解得，,

横坐标的最小值为 ， 横坐标的最大值 为.

当 时, ,

横坐标的最小值为,

横坐标的取值范围为.

方案二: 设, 则,

当时,的值最大, 最大值为,

此时.

把 代入, 解得，,

横坐标的最小值为 ， 横坐标的最大值 为.

当 时, ,

当 的横坐标为 时, 的横坐标取最小值, 为,

的横坐标的取值范围是.

25.答案： (1)

(2)见解析

(3)

解析：（1）如图1，在和中，，

，

点M是AB中点，

．

四边形ACDF是菱形，

，

．

（2）证明：如图2，连接DF，

，，点F是AF的中点，

，

，，

，

，

，

．

（3）如图3，连接CM，过点G作于点K，

在中，，

由平移知，，

．

，，

．

，

，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，

．