数学（青岛卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．(本题3分)春季是传染病的高发季节，目前发现一种直径为的新型病毒，用科学记数法表示该病毒直径为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】B
【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：由题意，得：．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
2．(本题3分)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．(本题3分)估计的值应在（）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】B
【分析】根据式子的结构特点，先利用乘法分配律计算原式的大小为，再估计的大小在4和5之间，从而估计的大小在3和4之间．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估值方法，根据乘法分配律化简原式是解决问题的前提，掌握估计无理数大小的方法是解决问题的关键．
4．(本题3分)如图是化学实验室经常用到的玻璃漏斗，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据从上向下看，确定俯视图，进行判断即可．
【详解】解：玻璃漏斗的俯视图是：
故选D．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握从不同的方向观察几何体，确定三视图，是解题的关键．
5．(本题3分)如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．15D．20
【答案】A
【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
6．(本题3分)如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（4，0）B．（2，﹣2）C．（4，﹣1）D．（2，﹣3）
【答案】C
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向右平移1个单位，再绕P点顺时针方向旋转，得到△A′B′C′，即可得点B的对应点的坐标．
【详解】作出旋转后的图形如下：
∴B'点的坐标为（4，﹣1），
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换−旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
7．(本题3分)如图，正方形的边长为，为边上一点与点、不重合，连接，交于点当是等腰三角形时，则的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】当是等腰三角形时，存在两种情况：如图，当时，先计算的长，证明，可利的长，由线段的差可得的长；当时，与重合，此种情况不符合题意．
【详解】解：如图，当时，

，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
；
当时，与重合，此种情况不符合题意．
综上，的长是．
故选：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
8．(本题3分)抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(， 0)，其部分图象如图所示．下列结论：①；②方程的两个根是；③；④当时，x的取值范围是；⑤m为任意实数，其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数，可判断①；利用抛物线的对称性结合图象，可求出抛物线与x轴的另一个交点，可判断②；由对称轴的方程可得出．然后根据当时，函数值为0，即可得出，从而得出，可判断③；根据抛物线在x轴上方时，x的取值范围可判断④；由当时，函数有最大值，即可知m为任意实数时，恒成立，从而得出，可判断⑤．
【详解】由图象可知该抛物线与x轴有两个交点，即其相关一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，即，故①正确；
由图象可知该抛物线与x轴的一个交点坐标为(，0)，
∵对称轴为，
∴该抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，
∴方程的两个根是，故②正确；
∵该抛物线对称轴为，
∴，即．
将(，0)代入，得：，
将代入，得：
∴，故③错误；
当时，即取抛物线在x轴上方的部分，
由图象结合②可知此时x的取值范围是，故④错误；
由图象可知当时，函数有最大值，
∴m为任意实数时，，
∴，故⑤正确．
综上可知正确的结论有3个．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．(本题3分)的绝对值的倒数是：_________．
【答案】
【分析】先根据绝对值的性质得到绝对值，再求出绝对值的倒数．
【详解】解：∵，
∴的倒数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，倒数的定义，理解倒数的定义是解题的关键．
10．(本题3分)小明数学的平时成绩，期中考试成绩，期末考试成绩分别是：90分，80分，90分．学校按平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩进行总评，那么小明本学期数学总评分应为______分．
【答案】87
【分析】按的比例算出本学期数学总评分即可．
【详解】解：根据题意，则
（分）；
故答案为：87．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，平时成绩期中考试成绩：期末考试成绩的含义，从而进行解题．
11．(本题3分)为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？设原计划每天种x棵树，由题意列方程得___________________．
【答案】
【分析】设原计划每天种树x棵，实际每天植树棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．
【详解】设原计划每天种树x棵，实际每天植树棵，由题意，得
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
12．(本题3分)如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】根据菱形的性质，得到，，再根据垂直平分线性质，得到，从而得到，最后利用三角形外角性质即可求出的度数．
【详解】解：连接，
四边形是菱形，，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握菱形的基本性质是解题关键．
13．(本题3分)如图，矩形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，再以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】2
【分析】连接AE，根据阴影部分的面积＝△DAE的面积＋扇形EAB的面积−扇形EDA的面积解答即可．
【详解】解：连接AE，
由题意可知：
阴影部分的面积＝△DAE的面积＋扇形EAB的面积−扇形EDA的面积，
∵以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，，
∴，
∵以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E，，
∴，
∴△DAE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠EAB＝45°，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解决问题的关键．
14．(本题3分)如图，在正方形中，点为的中点，，交于点，于点，平分，分别交，于点，，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________．（填序号即可）．
【答案】①③④
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，证明∠CDF＝∠ECB，求出，可得①正确；根据平行线分线段成比例结合勾股定理求出，，，进而求出可得②错误；过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EC于点P，用a表示出GM，GF，FN可得③正确；证明∠BEF＝∠HCD，求出，可得④正确．
【详解】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EC于点P，设正方形ABCD的边长为2a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AE＝EB＝a，BC＝2a，
∴，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ECB＋∠DCF＝90°，
∵∠DCF＋∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ECB，
∴，故①正确，
∵BECD，
∴，
∵，，
∴，， ，
在Rt△CDF中，，CD＝2a，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵FM平分∠DFE，GQ⊥DF，GP⊥EC，
∴GQ＝GP，
∵，
∴，
∴，
∴BG＝DG，
∵DMBN，
∴，
∴GM＝GN，
∵，
∴，
∴，
∵∠GPF＝∠PFQ＝∠FQG＝90°，GP＝GQ，
∴四边形GPFQ是正方形，
∴，
过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，
∴，
∴，
∴，
∴MG＝GN＝GF＋FN＝，
∴MG：GF：FN＝，故③正确，
∵，
∴∠BEF＝∠HCD，
∵，，
∴，
∴△BEF∽△HCD，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、作图题（本大题共4分）
15．(本题4分)如图，已知，，线段a．用尺规求作（保留作图痕迹）：
(1)，使，，．
(2)作中线段的垂直平分线．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）先作线段，再以点A为顶点作一个角等于，以点B为顶点作一个角等于，两角相交于点C，即可得到所求作三角形；
（2）分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，在线段上下各得到一个交点，过两交点的直线即为所求作垂直平分线．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如上图所示，直线m即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，正确掌握尺规作图步骤是解题关键．
四、解答题（本大题共9小题，满分74分）
16．(本题8分)先化简，再求值：，其中为不等式组 的整数解．
【答案】当时，原式=
【分析】先根据分式的四则混合运算法则将原式进行化简，再解不等式组求出x的范围，结合原式中各个分式有意义的条件找出x的整数解.再代入化简以后的式子中求值即可．
【详解】

解不等式组
由①式得，
由②式得
，
∵为不等式组 的整数解
∴不等式的整数解是或
∵且
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算和解不等式组，解题的关键是计算要准确，代入求值时要注意x的取值．
17．(本题6分)年7月日，由著名演员吴京执导和主演的电影《战狼2》在各大影院上映，并得到空前好评，小明和小亮都想去观看，但是只有一张电影票．于是他们决定采用抽卡片的办法决定谁去看电影，规则如下：将正面分别标有数字1、2、3的三张卡片（卡片除了所标数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明随机抽出一张卡片记下数字，放回后，重新洗匀背面朝上放置在桌面上，小亮再随机抽出一张记下数字，如果两个数字之和为奇数，小明去，如果两个数字之和为偶数，则小亮去．
(1)请用列表法或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果．
(2)你认为这个规则公平吗？请说明理由．
【答案】(1)2、3、4、3、4、5、4、5、6，9种可能出现的结果；
(2)不公平，理由见详解；
【分析】（1）利用树状图列出所有情况即可得到答案；
（2）从树状图中找到奇数、偶数的情况求出概率比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
由上图可得总共有：2、3、4、3、4、5、4、5、6，9种可能出现的结果；
（2）解：由（1）得，
奇数有4种情况，偶数由5种情况，
∴，，
，
∴这个游戏不公平．
【点睛】本题考查树状图法求概率及判断游戏公平性，解题的关键是正确画出树状图．
18．(本题6分)已知二次函数的图像经过点，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)直接写出二次函数的图像与轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法，把点的坐标代入函数解析式，解出即可．
（2）令，解方程即可．
【详解】（1）因为二次函数的图像经过点
则有 解方程组得
即二次函数解析式为
（2）令
所以
所以二次函数的图像与轴的交点坐标为
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、抛物线与轴的交点坐标；掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
19．(本题6分)习近平总书记指出“没有全民健康，就没有全面小康”，全民健身被越来越多的人接纳，人们的健身方式更加多元，健身场地更加丰富，沿河跑步也成为一种时尚．九年级学生小明在河边跑步时，决定用数学知识计算河的宽度，如图是一条河的示意图，小明沿河岸跑步，对岸EF上有两棵大树A，B，当小明跑到C处时，测得大树A在北偏东方向，小明继续跑步5分钟到达D处，此时大树B刚好在北偏西方向，已知，，小明跑步的平均速度是每分钟，请根据以上数据求出该段河的宽度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】该段河的宽度约是．
【分析】过点A作于点M，过点B作于点N，得，四边形是矩形，则，设，在中，则，在中，，根据的长度列方程求解即可．
【详解】解：过点A作于点M，过点B作于点N，
则，
∵，
∴，四边形是矩形，
∴，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
即该段河的宽度约是．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，锐角三角函数的定义、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
20．(本题6分)年3月5日时分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将银河航天批卫星（6颗）及其搭载的1颗商业遥感卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，为了普及航天科学的相关知识，某中学在全校范围内开展了“空天逐梦，青春飞扬”知识竞赛活动（活动采取累计得分制，满分分），同学们纷纷踊跃参加，现随机抽取了部分参赛学生的成绩进行调查，下面是根据调查情况绘制的统计表：
*注：其中成绩在B组的最低分为分，成绩在C组的最高分为分．
根据上面的图表信息，解答下列问题：
(1)填空：________；________；
(2)本次抽取的学生成绩的中位数为________分；
(3)若本次活动参赛学生共人，试估计成绩在分以上（包含分）的学生人数；
(4)已知本次抽取的学生中甲、乙两名同学成绩均为分，为了激励更多的同学们了解航天知识，组委会打算邀请这两名同学分别从空间站、航天员、卫星、运载火箭（分别用K，H，W，Y表示）四个方面中任选一个整理自己对其所了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及，用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名同学至少有一名选中“卫星”的概率．
【答案】(1)9，；
(2)；
(3)人；
(4)．
【分析】（1）A组的频数除以频率可以求出样本的总量，进而可求出m和n的值；
（2）由中位数的定义即可求解；
（3）由本次活动参赛学生人数乘以成绩在分以上（包含分）的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学至少有一名选中“卫星”的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次抽取的样本容量为：，
∴，，
故答案为：9，；
（2）解：∵样本容量为，，中位数为在B组的最低分和成绩在C组的最高分的平均数，
∴本次抽取的学生成绩的中位数为（分），
故答案为：；
（3）解：估计成绩在分以上（包含分）的学生人数为：（人）
（4）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学至少有一名选中“卫星”的结果有7种，
∴甲、乙两名同学至少有一名选中“卫星”的概率为．
【点睛】本题及考查了中位数、频数分布表、树状图法求概率等知识，正确画出树状图是解题的关键．
21．(本题6分)一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．
(1)若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）
(2)如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取．求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；
(3)如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由倍余角的定义可求解即可；
（2）由等腰三角形的性质可求∠ADE＋∠BDC＝180°−，由三角形内角和定理可求∠ABC＝2（90°−∠EDB），可得结论；
（3）由倍余角的定义可求∠EDB＝45°，由平行线的性质可求∠EDB＝∠DBF＝45°，由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠DBP＝45°−α，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠1＝30°，∠2是∠1的倍余角，
∴∠2＝2（90°−30°）＝120°；
∵∠1＝α，∠2是∠1的倍余角，
∴∠2＝2（90°−α）＝180°−2α．
故答案为：120°；180°−2α．
（2）设，
∵CD＝CB，AE＝AD
∴，
∴，
，
∴即∠ABC是∠EDB的倍余角．
（3）由（2）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，理解倍余角的定义并运用，是解题的关键．
22．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接并延长与反比例函数图象交于点，连接，求的面积．
【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的表达式为
(2)
【分析】（1）把，两点代入，根据得到关于的方程，解方程求得的值，即可求得、的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据的坐标求得直线，由题意求得，过点作轴，交于，即可求得，，然后根据即可求得．
【详解】（1）解：，两点代入中，得，
解得，，
，，
，
反比例函数的解析式为，
把，代入得，，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：由题意可知，点与点关于原点对称，
，
过点作轴，交于，
，
直线的解析式为，
，，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式．
23．(本题8分)如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴ABCD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
（2）证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
24．(本题10分)某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126
(2)当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，然后根据总利润等于每千克的利润×销售量，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质．
25．(本题10分)综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题：
(1)当时，求的值；
(2)点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似；
(3)如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程）
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】（1）利用勾股定理求出，再结合以及两点的速度列出方程，解之即可；
（2）利用勾股定理求出，再根据题意知：，，当，则，利用其对应边成比例即可求得，当，则，利用其对应边成比例即可求得．
（3）过点作、，分别交于、交于，则四边形是矩形，证明，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出的值即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由题意知：，，
当，则，
，
，
，；
当，则，
，
，
，
当或时，以、、为顶点的三角形与相似，
故答案为：或；
（3）过点作、，分别交于、交于，如图所示：
，
四边形是矩形，
当时，即时，为等腰三角形，
此时把沿翻折得到四边形是菱形，
，
，
，
即，
解得：，
，
，
解得：，
当时，四边形是菱形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相似才能得出结果．
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
B
D
A
C
D
B
成绩/分
频数/人
频率
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……