人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列多媒体教学ppt课件

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列多媒体教学ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了2等差数列，素养目标·定方向，必备知识·探新知，n－m，ap＋aq，an－1，an－k＋1，pd1＋qd2，关键能力·攻重难，课堂检测·固双基等内容，欢迎下载使用。

4.2.1　等差数列的概念
第2课时　等差数列的性质及应用
(1)两项关系an＝am＋(_______)d(m，n∈N*)．(2)多项关系若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝_________．特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝______．
等差数列中的项与序号的关系
练一练：如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)A．14　　B．21C．28　　D．35[解析]　由a3＋a5＝2a4可知a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为_____的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为_____的等差数列．(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为___________的等差数列．
练一练：若等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中不是等差数列的是(　　)A．{λan}(λ为常数)B．{an＋bn}
由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d的影响．(1)当d>0时，数列为递增数列，图象如图1所示；(2)当d<0时，数列为递减数列，图象如图2所示；(3)当d＝0时，数列为常数列，图象如图3所示．
练一练：(多选题)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(　　)A．a1＋a101>0　　B．a2＋a100＝0C．a3＋a100≤0　　D．a51＝0[解析]　设等差数列{an}的公差为d，易知d>0，∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B，D正确，A错误．又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，∴a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d>0，故C错误．故选BD．
　若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
解法二：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项，∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
【对点训练】❶等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝____．
(1)(2022·天津宝坻区高二月考)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(　　)A．9　　B．12　　C．15　　D．18(2)(2022·塘沽高二检测)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝_____．(3)(2022·湖北武汉高三月考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，则a2＋a8＝(　　)A．150　　B．160　　C．200　　D．300
[分析]　(1)根据等差数列的性质得出2a9＝a5＋a13，然后将值代入即可求出结果．(2)方法一：求a5＋b5⇒各设出公差⇒利用通项公式；方法二：求a5＋b5⇒{an}，{bn}都是等差数列⇒{an＋bn}也构成等差数列．(3)求a2＋a8的值⇒a3＋a7＝a4＋a6＝2a5⇒a5⇒a2＋a8＝2a5.
[解析]　(1)∵{an}是等差数列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.(2)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴5a5＝750，∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.
[规律方法]　等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解，观察等差数列中的项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.特别提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d取值的限制．
【对点训练】❷(1)在等差数列{an}中，a1＋a2＝3，a5＋a6＝7，则a9＋a10＝(　　)A．8　　B．9　　C．10　　D．11(2)已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝_____．
[解析]　(1)(a1＋a2)＋(a9＋a10)＝2(a5＋a6)，则a9＋a10＝2×7－3＝11，故选D．(2)方法一：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴5a8＝120，∴a8＝24，∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝24.方法二：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴a1＋3(a1＋7d)＋(a1＋14d)＝120，∴a1＋7d＝24，∴2a9－a10＝a1＋7d＝24.
成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．[分析]　已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．
[规律方法]　三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
【对点训练】❸(2022·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48，求这三个数．
对等差数列的定义理解不透彻而致误已知数列{an}是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列{an}为等差数列”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[错解]　C[误区警示]　应用定义法判断或证明一个数列是等差数列时，必须要判定或证明an＋1－an或an－an－1(n≥2)等于一个常数，不能只对数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列中的每一项都满足等差的要求．[正解]　B
1．在等差数列{an}中，若a1＋a7＝14，则a4＝(　　)A．7　　B．8C．14　　D．16
2．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则a4＋a10＝____．[解析]　a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，∴3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝6(a4＋a10)＝24，∴a4＋a10＝4.
3．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝_____．[解析]　设公差为d，因为a5＝a2＋6，a5－a2＝3d＝6，所以a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.4．数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70，则a3＋b3＝_____．[解析]　因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也构成了等差数列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90.