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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教学课件ppt
展开4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念
一般地,如果一个数列从________起,每一项与它的前一项的比都等于_____________,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_______,公比通常用字母____表示(显然q≠0).
想一想:关于等比数列定义的理解有哪些注意事项?提示:(1)由于等比数列每一项都可能作分母,因此每一项均不为0,且q也不能是0;(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”;
(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列.这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列;(5)如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比虽是一个与n无关的常数,但却是不同的常数,这时此数列也不是等比数列;(6)常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.若常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列.当常数列各项不为0时,是等比数列;
练一练:等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )A.-24 B.0 C.12 D.24
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成___________,那么G叫做a与b的等比中项.由等比中项的定义可知:=⇒G2=ab⇒G=_______.
想一想:“a,G,b成等比数列”与“G2=ab”等价吗?提示:“a,G,b成等比数列”与“G2=ab”是不等价的.前者可以推出后者,但后者不能推出前者.如G=a=0,b=1,满足G2=ab,而0,0,1不成等比数列.因此“a,G,b成等比数列”是“G2=ab”的充分不必要条件.
等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则这个等比数列的通项公式是an=__________(a1,q≠0).
想一想:关于等比数列通项公式的推导,除了教材方法外还有哪些方法?提示:方法一(迭代法) 根据等比数列的定义,得an=an-1q=(an-2q)q=an-2q2=(an-3q)q2=an-3q3=…=a2qn-2=(a1q)qn-2=a1qn-1(n≥2);当n=1时,上面等式也成立.故当n∈N*时,an=a1qn-1.
练一练:已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为( )A.an=2·3n+1 B.an=3·2n+1C.an=2·3n-1 D.an=3·2n-1[解析] 由已知可得a1=2,公比q=3,则数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1=2·3n-1.
在等比数列{an}中,(1)a1=3,a3=27,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.[分析] (1)已知等比数列的通项公式an=a1qn-1代入a1,a3,求出q,最后求出an.(2)已知项的和,代入等比数列的通项公式,求出a1,q,由an=1求n.
[解析] (1)a3=a1·q2,所以27=3q2,所以q=±3,an=3n或an=-(-3)n.(2)设公比为q,由题意,得
[规律方法] 等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
[解析] (1)三个实数a,b,c成等比数列,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.
【对点训练】❸(1)等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{an}的前10项之和是( )A.90 B.100 C.145 D.190(2)互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=______.
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1(n∈N*).(1)求证:{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式.
忽视等比中项的符号致错等比数列{an}的前三项的和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
[误区警示] 错误的原因在于认为a5,a7的等比中项是a6,忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数.
1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于( )A.64 B.81C.128 D.243[解析] 设等比数列的公比为q,∵a1+a2=3,a2+a3=q(a1+a2)=6,∴q=2.又a1+a2=a1+a1q=3,∴3a1=3.∴a1=1,∴a7=26=64.
5.数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n∈N*,且n≥2).(1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课文ppt课件: 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课文ppt课件,共27页。PPT课件主要包含了新知初探·课前预习,题型探究·课堂解透,同一个,qq≠0,a1qn-1,答案D,答案C等内容,欢迎下载使用。
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