数学七年级下册9.1.2 不等式的性质教学设计

9．1.2　不等式的性质

第1课时　不等式的性质

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

掌握不等式的三个基本性质．

【过程与方法】

通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法．

【情感态度与价值观】

通过对不等式性质的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域．

二、重难点目标

【教学重点】

理解并掌握不等式的基本性质．

【教学难点】

能够运用不等式的基本性质解决问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P116～P117的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．用“>”或“<”填空，并总结其规律：

(1)5>3,5＋2>3＋2,5－2>3－2；

(2)－1<3，－1＋2<3＋2，－1－3<3－3；

(3)6>2,6×5>2×5,6×(－5)<2×(－5)；

(4)－2<3，(－2)×6<3×6，(－2)×(－6)>3×(－6)．

规律：当不等式的两边加(或减)同一个数(正数或负数)，不等号的方向不变.当不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.当不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

2．不等式的基本性质：

(1)不等式的基本性质1：不等式两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.

(2)不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

(3)不等式的基本性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空：

(1)－2x________－2y；

(2)2x________2y；

(3)x________y.

【互动探索】(引发学生思考)(1)根据不等式的性质2，不等式两边同乘2，不等号方向不变，故填“＜”；(2)根据不等式的性质3，不等式两边同乘－2，不等号方向改变，故填“＞”；(3)根据不等式的性质3，不等式两边同乘－，不等号方向改变，故填“＞”．

【答案】(1)＜　(2)＞　(3)＞

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用不等式的性质2、3把不等式进行变形时，首先必须弄清两边同时乘(或除以)的数的符号，如果这个数是正数，不等号的方向不变；如果是负数，不等号的方向改变．

【例2】已知a＞b，则下列不等式中，错误的是(　　)

A．3a＞3b

B．－<－

C．4a－3＞4b－3

D．(c－1)2a＞(c－1)2b

【互动探索】(引发学生思考)

A．在不等式a＞b的两边同时乘3，不等式仍成立，即3a＞3b，故本选项正确；

B．在不等式a＞b的两边同时除以－3，不等号方向改变，即－<－，故本选项正确；

C．在不等式a＞b的两边同时先乘4、再减去3，不等式号方向不变，即4a－3＞4b－3，故本选项正确；

D．当c－1＝0，即c＝1时，该不等式不成立，故本选项错误．故选D.

【答案】D

【互动总结】(学生总结，老师点评)“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如果m<n<0，那么下列结论中错误的是(　C　)

A．m－9<n－9　 B．－m>－n

C.>　 D．>1

2．若a－b<0，则下列各式中一定正确的是(　D　)

A．a>b　 B．ab>0

C.<0　 D．－a>－b

3．满足－2x>－12的非负整数有0,1,2,3,4,5.

4．若ax>b，ac2<0，则x<.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________.

【互动探索】根据不等式的性质可判断a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1.

【答案】a＜－1

【互动总结】(学生总结，老师点评)只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

不等式的基本性质

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时　不等式性质的应用

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

会根据不等式的性质解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集．

【过程与方法】

通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法．

【情感态度与价值观】

在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯．

二、重难点目标

【教学重点】

根据不等式的性质正确地解一元一次不等式．

【教学难点】

能够运用不等式的基本性质解决问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P117～P119的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．不等式不但具有上一课时学习的三个基本性质，还有：

(1)不等式的对称性：如果a＞b，那么b＜a；

(2)不等式的传递性：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.

2．教材P118“问题”答案：

符号“≥”表示大于或等于，即不小于的意思，符号“>”表示大于的意思；符号“≤”表示小于或等于，即不大于的意思，符号“<”表示小于的意思．

3．将下列不等式的解集表示在数轴上：

(1)x＋1＜0；　　(2)2x≥2.

略

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】(教材P117例1)利用不等式的性质解下列不等式．

(1)x－7＞26；　　(2)3x<2x＋1；

(3)x>50；　　(4)－4x>3.

【互动探索】(引导学生思考)解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为x>a或x<a的形式．

【解答】(1)根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，所以

x－7＋7>26＋7，

  x>  33.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图：

(2)根据不等式的性质1，不等式两边都减去2x，不等号的方向不变，所以

3x－2x<2x＋1－2x，

  x<  1.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图：

(3)根据不等式的性质2，不等式的两边都乘，不等号的方向不变，所以

×x>×50，

  x>  75.

这个不等式的解在数轴上的表示如图：

(4)根据不等式的性质3，不等式两边都除以－4，不等号的方向改变，所以

<，

  x<  －.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图：

【互动总结】(学生总结，老师点评)(3)(4)的求解过程，类似于解方程两边都除以未知数的系数(未知数系数化为1)，解不等式时要注意未知数系数的正负，以决定是否改变不等号的方向．

【例2】(教材P119例2)某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm，现准备向它继续注水．用V(单位： cm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围．

【互动探索】(引导学生思考)解题的关键是找出不等关系：新注入水的体积V与原有水的体积和不能超过容器的容积．

【解答】新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即

V＋3×5×3≤3×5×10，

  V≤  105.

又由于新注入水的体积不能是负数，因此，V的取值范围是

V≥0并且V≤105.

在数轴上表示V的取值范围如图所示．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在数轴上表示V的取值范围时，在表示0和105的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．把不等式x≤－2的解集在数轴上表示出来，下列正确的是(　D　)

2．已知一个不等式的解集在数轴上表示如图，则对应的不等式是(　C　)

A．x－1＞0　　　　　 B．x－1＜0

C．x＋1＞0　　　　　 D．x＋1＜0

3．如图，小雨把不等式3x＋1＞2(x－1)的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是－3.

4．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：

(1)3x＞－3；

(2)x－1＞3x＋5；

(3)x≤2＋x.

解：(1)x＞－1.数轴上表示略．

(2)x＜－3.数轴上表示略．

(3)x≤12.数轴上表示略．

5．某种商品的进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润率不低于10%.那么商店要降多少元出售此商品？将解集在数轴上表示出来．

解：0<x≤60.解集表示在数轴上如下：

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】探究：试比较2a与a的大小．

【互动探索】(引导学生思考)分a<0，a>0，a＝0三种情况讨论．

【解答】①当a<0时，∵2＞1，

∴2a＜a.(不等式的性质3)

②当a>0时，∵2＞1，

∴2a>a.(不等式的性质2)

③当a＝0时，2a＝a.(0乘任何数都得0)

【互动总结】(学生总结，老师点评)含有未知数的两个式子比较大小，在不知道未知数的取值范围时，需要对其进行分类讨论．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．含“≥”“≤”的不等式．

2.

练习设计

请完成本课时对应练习！