初中数学人教版七年级下册9.2 一元一次不等式教案

9．2　一元一次不等式

第1课时　一元一次不等式的解法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解一元一次不等式的概念．

2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集．

【过程与方法】

经历一元一次不等式概念的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的定义．

【情感态度与价值观】

通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来．

【教学难点】

一元一次不等式的解法．

教学过程

环节1　自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P112～P113的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.

2．解一元一次不等式的一般步骤：

(1)去分母(根据不等式的基本性质2或3)；

(2)去括号(根据整式的运算法则)；

(3)移项(根据不等式的基本性质1)；

(4)合并同类项(根据整式的运算法则)；

(5)系数化为1(根据不等式的基本性质2或3)．

3．下列不等式中，属于一元一次不等式的是(　B　)

A．4>1　 B．3x－24<4

C．x2<2　 D．4x－3<2y－7

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】解下列一元一次不等式，并将其解集表示在数轴上：

(1)2－1≤－x＋9；

(2)－1＞.

【互动探索】(引发学生思考)解一元一次不等式的基本步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)两边都除以未知数的系数．

【解答】(1)去括号，得2x＋1－1≤－x＋9.

移项、合并同类项，得3x≤9.

两边都除以3，得x≤3.

解集在数轴上表示如下：

(2)去分母，得3(x－3)－6＞2(x－5)．

去括号，得3x－9－6＞2x－10.

移项，得3x－2x＞－10＋9＋6.

合并同类项，得x＞5.

解集在数轴上表示如下：

【互动总结】(学生总结，老师点评)一元一次不等式两边都除以未知数的系数时，一定要注意这个数是正数还是负数，如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号的方向改变．

【例2】已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m的值．

【互动探索】解不等式x＋8＞4x＋m→用含m的字母表示解集→求得关于m的方程→求得m的值．

【解答】因为x＋8＞4x＋m，

所以x－4x＞m－8，

解得x＜－(m－8)．

又因为其解集为x＜3，

所以－(m－8)＝3.

解得m＝－1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．下列不等式中，是一元一次不等式的是(　A　)

A．5x－2＞0　 B．－3＜2＋

C．6x－3y≤－2　 D．y2＋1＞2

2．不等式(1－9x)<－7－x的解集是(　D　)

A．任意实数　 B．全体正数

C．全体负数　 D．无解

3．不等式2x－1≥3x－5的正整数解有4个．

4．若不等式－1>x与－2x＋6>5a的解集相同，则a＝2.

5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：

(1)3(x＋2)－8≥1－2(x－1)；

(2)x－≤2－.

解：(1)去括号，得

3x＋6－8≥1－2x＋2.

移项，得

3x＋2x≥1＋2－6＋8.

合并同类项，得

5x≥5.

系数化为1，得

x≥1.

解集在数轴上表示如下：

(2)去分母，得

6x－3(x－1)≤12－2(x＋2)．

去括号，得

6x－3x＋3≤12－2x－4.

移项，得

6x－3x＋2x≤12－4－3.

合并同类项，得

5x≤5.

系数化为1，得

x≤1.

解集在数轴上表示如下：

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】求不等式1＋≥2－的非正整数解．

【互动探索】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非正整数即可．

【解答】1＋≥2－，

去分母，得

6＋3(x＋1)≥12－2(x＋7)．

去括号，得

6＋3x＋3≥12－2x－14.

移项，得

3x＋2x≥12－14－3－6.

合并同类项，得

5x≥－11，

系数化为1，得

x≥－.

将解集在数轴上表示如图所示．

故不等式的非正整数解为－2，－1,0.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解题时，根据解一元一次不等式的基本步骤，求出不等式的解集，并在数轴上表示出来，就可以直观地得出特殊解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　一元一次不等式的应用

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题．

【过程与方法】

初步认识一元一次不等式的应用价值，发展分析问题、解决问题的能力．

【情感态度与价值观】

通过利用一元一次不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣与信心．

二、重难点目标

【教学重点】

会用一元一次不等式解决实际问题．

【教学难点】

将实际问题抽象成数学问题的思维过程．

教学过程

环节1　自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P124～P125的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．解一元一次不等式应用题的步骤：

(1)审题，找出题中的不等关系；

(2)设未知数，用未知数表示有关代数式；

(3)列不等式；

(4)解不等式；

(5)根据实际情况写出答案．

2．2x＋1是不小于－3的负数，表示为(　C　)

A．－3≤2x＋1≤0　 B．－3<2x＋1<0

C．－3≤2x＋1<0　 D．－3<2x＋1≤0

3．八(1)班的几位同学拍了一张合影做留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片、几位同学共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数(　B　)

A．至多6人　 B．至少6人

C．至多5人　 D．至少5人

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】(教材P124例2)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？

【互动探索】(引发学生思考)“明年(365天)这样的比值要超过70%”指出了这个问题中蕴含的不等关系，转化为不等式，即>70%.

【解答】设明年空气质量良好的天数比去年增加x天．

去年有365×60%天空气质量良好，明年有(x＋365×60%)天空气质量良好，并且

>70%.

去分母，得

x＋219>255.5，

移项、合并，得

x>36.5.

由x应为正整数，得

x≥37.

即明年要比去年空气质量好的天数至少增加37天，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.

【互动总结】(学生总结，老师点评)用不等式解决实际问题的关键是找出题中的不等量关系．

【例2】(教材P125例3)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？

【互动探索】(引发学生思考)在甲商场优惠方案的起点为购物款达100元后；在乙商场优惠方案的起点为购物款达50元后．因此我们需要分三种情况讨论：

(1)累计购物不超过50元；

(2)累计购物超过50元而不超过100元；

(3)累积购物超过100元．

【解答】若设累计购物x元(x＞100)．

(1)当x≤50时，则在甲、乙两商场是一样的；

(2)当50<x≤100时，则在乙商场购买花费少些；

(3)当x＞100时，设在甲商场应付款y1元，在乙商场付款y2元，则

y1＝100＋0.9(x－100)＝0.9x＋10，

y2＝50＋0.95(x－50)＝0.95x＋2.5，

①当x＜150时，y1＞y2，则在乙商场购买花费少些；

②当x＝150时，y1＝y2，则在甲、乙两商场是一样的；

③当x＞150时，y1＜y2，则在甲商场购买花费少些．

【互动总结】(学生总结，老师点评)用不等式解决实际问题时注意根据题意，分情况讨论．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．现用甲、乙两种运输车将46 t抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5 t，乙种运输车载重4 t，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排(　C　)

A．4辆　 B．5辆　　

C．6辆　 D．7辆

2．小颖准备用21元钱买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，则她最多可以买笔的支数为(　D　)

A．1　 B．2　　

C．3　 D．4

3．某试卷共有20道题，每道题选对得10分，选错或者不选扣5分，则至少要选对12道题，得分才能不少于80分．

4．采石场爆破时，点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域．导火线燃烧速度是每秒1厘米，工人转移的速度是每秒5米，导火线至少要多少米？

解：设导火线为x米，则

≤.解得x≥0.8.

即导火线至少要0.8米．

5．小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？

解：设小明家每月用水x立方米．则

5×1.8＋(x－5)×2≥15.

解得x≥8.

即小明家每月用水量至少是8立方米．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.

(1)请你设计该企业有几种购买方案；

(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

【互动探索】(1)设购买A型号污水处理设备x台，则购买B型号污水处理设备(10－x)台，列出不等式求解即可，x的值取整数；(2)如表列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．

【解答】(1)设购买A型号污水处理设备x台，则购买B型号污水处理设备(10－x)台．

根据题意，得12x＋10(10－x)≤105，

解得x≤2.5.

∵x取非负整数，∴x可取0,1,2.

故有三种购买方案：①购A型号污水处理设备0台，B型号10台；②购A型号污水处理设备1台，B型号9台；③购A型号污水处理设备2台，B型号8台．

(2)设购买A型号污水处理设备x台，则购买B型号污水处理设备(10－x)台．

根据题意，得240x＋200(10－x)≥2040，

解得x≥1.

由(1)可得，x≤2.5.

又∵x取非负整数，∴x为1或2.

当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102(万元)；

当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104(万元)．

故为了节约资金，应选购购A型号污水处理设备1台，B型号9台．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：

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练习设计

请完成本课时对应练习！