初中人教版第九章 不等式与不等式组9.1 不等式9.1.2 不等式的性质复习练习题

这是一份初中人教版第九章 不等式与不等式组9.1 不等式9.1.2 不等式的性质复习练习题，文件包含专题95不等式中含参问题十大题型举一反三人教版原卷版docx、专题95不等式中含参问题十大题型举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc6326" 【题型1 根据一元一次不等式的解(集)求参数】 PAGEREF _Tc6326 \h 1
\l "_Tc7460" 【题型2 根据一元一次不等式组的解集求参数】 PAGEREF _Tc7460 \h 3
\l "_Tc5901" 【题型3 根据一元一次不等式有最值解求参数】 PAGEREF _Tc5901 \h 5
\l "_Tc26856" 【题型4 根据一元一次不等式(组)的整数解的个数求参数】 PAGEREF _Tc26856 \h 8
\l "_Tc29959" 【题型5 根据一元一次不等式组有解或无解求参数】 PAGEREF _Tc29959 \h 10
\l "_Tc19018" 【题型6 根据一元一次不等式组的整数解的和求参数】 PAGEREF _Tc19018 \h 12
\l "_Tc8592" 【题型7 根据一元一次不等式组无整数解求参数】 PAGEREF _Tc8592 \h 14
\l "_Tc2751" 【题型8 一元一次方程与不等式(组)综合求参数】 PAGEREF _Tc2751 \h 16
\l "_Tc26011" 【题型9 二元一次方程组与不等式(组)综合求参数】 PAGEREF _Tc26011 \h 19
\l "_Tc10107" 【题型10 新定义问题与不等式综合求参数】 PAGEREF _Tc10107 \h 22
【题型1 根据一元一次不等式的解(集)求参数】
【例1】（2023春·江苏·七年级统考期末）已知关于x的不等式ax+b>0的解集为x<12，则不等式bx−3+a<0的解集是 ．
【答案】x<5.
【分析】不等式ax+b>0的解集是x<12，判断出a＜0且−ba=12则可以得到b>0，得到ab=−2再解出不等式bx−3+a<0的解集即可．
【详解】解：∵不等式ax+b>0的解集是x<12
根据不等式的性质可知，当a>0时，不等式的解集为x>−ba不符合题意
∴可以判断出a<0，即不等式的解集为x<−ba
∴−ba=12，即b>0且ab=−2
bx−3+a<0
即x−3<−ab，则x<3−ab=3+2=5
∴不等式的解集为x<5
故答案为：x<5.
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟悉不等式的性质是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·四川南充·七年级统考期末）已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集为x<13，则不等式bx＋a＜0的解集是 ．
【答案】x<3
【分析】根据已知不等式的解集确定出a与b的关系，用b表示出a，代入所求不等式求出解集即可．
【详解】解：∵关于x的不等式ax＋b＞0的解集为x＜13，
∴−ba＝13且a＜0，
整理得：a＝−3b，b＞0，
代入所求不等式得：bx−3b＜0，
解得：x＜3．
故答案为：x＜3．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
【变式1-2】（2023春·江苏镇江·七年级统考期末）若实数3是不等式x3+2m<−3的一个解，则m可取的最大整数是（ ）
A．−1B．2C．−3D．3
【答案】C
【分析】解不等式可得x<−6m−9，结合题意“实数3是不等式x3+2m<−3的一个解”，可得−6m−9>3，解该不等式即可获得答案．
【详解】解：由不等式x3+2m<−3，得x<−6m−9，
∵实数3是不等式x3+2m<−3的一个解，
∴−6m−9>3，
解得m<−2，
∴m可取的最大整数为−3．
故本题选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次不等式，结合题意得到不等式−6m−9>3是解题关键．
【变式1-3】（2023春·全国·七年级期末）已知关于x的一元一次不等式x−2m2+2<2x+33与2﹣x＜0的解集相同，则m＝ ．
【答案】23
【分析】首先计算出两个不等式的解集，再根据题意可得-6m+6=2，再解即可．
【详解】解：∵2﹣x＜0
∴x＞2
x−2m2+2<2x+33
3x−2m+12<22x+3
3x-6m+12＜4x+6，
解得：x＞-6m+6，
∵关于x的一元一次不等式x−2m2+2<2x+33与2﹣x＜0的解集相同
∴-6m+6=2，
解得：m=23
故答案为：23
【点睛】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确确定两个不等式的解集．
【题型2 根据一元一次不等式组的解集求参数】
【例2】（2023春·广西贺州·七年级校考期中）已知不等式组x+2>m+nx−1【答案】1
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于m、n的方程，然后求出m、n的值，最后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：x+2>m+n①x−1解不等式①得，x>m+n−2，
解不等式②得，x所以不等式组的解集是m+n−2∵不等式组的解集为−1∴m+n−2=−1m=2，解得m=2n=−1，
∴m+n2023=(2−1)2023=1．
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法、解二元一次方程以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于m、n的方程是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知m是使不等式组x2m−1无解的最小整数，请你解关于x，y的方程组8x−3y=−m−7x−3y=3m+7．
【答案】x=−1y=−2
【分析】先根据不等式组无解得出2m−1≥m+1，解之得m≥2，再结合m是使不等式组无解的最小整数知m=2，从而还原方程组，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：由题意得2m−1≥m+1，解得m≥2，
所以最小整数m=2，代入原方程组，得8x−3y=−2 ①−7x−3y=13 ②
由①−②，得15x=−15，解得x=−1．
把x=−1代入①，得y=−2．
所以原方程组的解为x=−1y=−2．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据不等式组无解得出m的值，并熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组的能力．
【变式2-2】（2023春·浙江宁波·七年级浙江省余姚市实验学校校考期末）试求出所有的实数对a、b，使得关于x的不等式组ax+3>2x+43bx−4<−5x+1的解集为2【答案】 a=52b=−43
【分析】先解不等式组，再由不等式组ax+3>2x+43bx−4<−5x+1的解集为2【详解】解：不等式组ax+3>2x+4①3bx−4<−5x+1②
由①得a−2x>1，
由②得，3b+5x<5，
∵不等式组ax+3>2x+43bx−4<−5x+1的解集为2∴a−2≠0，3b+5≠0
∴当a>2，b>−53时，有x>1a−2， x<53b+5，
当a<2，b<−53时，有x<1a−2，x>53b+5，
∴ 1a−2=253b+5=5或 1a−2=553b+5=2，
∴解得 a=52b=−43或 a=115b=−56（a<2，b<−53，不符合舍去）
∴实数对a、b为 a=52b=−43．
【点睛】此题考查不等式组和二元一次方程组的解法，解题关键在于要灵活运用运算法则．
【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知不等式组2x+1≥x−1−x+2≥2(x−1)，要使它的解集中的任意x的值都能使不等式3x≥m+3成立，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤−9
【分析】解不等式组得到解集，结合3x≥m+3成立列式求解即可得到答案；
【详解】解：分别解不等式得，
x≥−2，x≤43，
∴−2≤x≤43，
∴−6≤3x≤4，
∵3x≥m+3，
∴m+3≤−6，
解得：m≤−9，
故答案为：m≤−9；
【点睛】本题考查解不等式组及根据解集求参数，解题的关键是正确的求出不等式组的解集．
【题型3 根据一元一次不等式有最值解求参数】
【例3】（2023春·江苏·七年级阶段练习）若不等式2x<1−3a的解集中所含的最大整数为4，则a的范围为 ．
【答案】-3≤a＜-73．
【分析】先求出不等式的解集，根据解集中所含的最大整数为4，求出a的取值范围即可．
【详解】2x<1-3a，
x＜1−3a2，
∵解集中所含的最大整数为4，
∴4＜1−3a2≤5，
解得：-3≤a＜-73，
故答案为-3≤a＜-73．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解的应用，解此题的关键是能求出关于a的不等式组，难度适中．
【变式3-1】（2023春·安徽六安·七年级校联考期中）关于x的不等式3x−m+2>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A．5≤m<8B．5【答案】A
【分析】解出不等式，然后根据不等式的最小整数解为2，即可列出关于m的不等式，从而求出m的取值范围．
【详解】解：解不等式3x−m+2>0，得x>m−23，
∵不等式的最小整数解为2，
∴1≤m−23<2，
解得5≤m<8，故A正确．
故选：A．
【点睛】此题主要考查的是含参数的一元一次不等式，掌握根据不等式的最小整数解求参数的取值范围是解决此题的关键．
【变式3-2】（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x的不等式2x﹣3a+2≥0的最小整数解为5，则实数a的值为
【答案】103＜a≤4
【分析】先将a看作常数解不等式，根据最小整数解为5，得4＜3a−22≤5，解出即可．
【详解】解不等式2x-3a+2≥0得x≥3a−22，
∵不等式的最小整数解为5，
∴4＜3a−22≤5，
∴103＜a≤4，
故答案为103＜a≤4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
【变式3-3】（2023春·湖北武汉·七年级校考期末）已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝ ．
【答案】−103
【分析】求出不等式的解集，根据已知得出3a+6【详解】解：解不等式x−a<0得：x∵关于x的不等式x−a<0的最大整数解为3a+6，
∴3a+6解得：−3.5≤a<−3，
∵3a+6为整数，
设m=3a+6，则a=13m−2，
即−3.5≤13m−2<−3，
解得：−4.5≤m<−3，
∵m为整数，
∴m=−4，
即a=13×(−4)−2=−103，
故答案为：−103．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解此题的关键是得出关于a的不等式组．
【题型4 根据一元一次不等式(组)的整数解的个数求参数】
【例4】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）已知关于x的不等式组x−m2≥2x−4≤3x−2的最小整数解是2，则实数m的取值范围是（ ）
A．−3≤m<−2B．−3【答案】B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大及不等式组的最小整数解求解即可．
【详解】解：解不等式x−m2≥2，得：x≥4＋m，
解不等式x−4≤3（x−2），得：x≥1，
∵不等式组的最小整数解是2，
∴1＜4＋m≤2，
解得−3＜m≤−2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式4-1】（2023春·江西赣州·七年级统考期末）若关于x的不等式x﹣a＞0恰好有两个负整数解，则a的范围为 ．
【答案】﹣3≤a＜﹣2．
【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定a的值．
【详解】解：∵x−a>0，
∴x>a，
∵不等式x−a>0恰有两个负整数解，
则其负整数解为-1、-2
且-3不是负整数解
∴a的取值范围为：−3≤a<−2
故答案为：−3≤a<−2.
【点睛】本题主要考查含参的一元一次不等式的解法，含参的不等式指的是不等式未知数的系数或常数项用字母表示的不等式，利用分类讨论及数形结合思想，可结合数轴，解决含参不等式．
【变式4-2】（2023春·云南曲靖·七年级统考期末）若关于x的不等式2x−m≥0的负整数解为−1,−2,−3，则m的取值范围是 ．
【答案】−8【分析】首先解不等式求得解集，然后根据不等式只有负整数解为-1，-2，-3，得到关于m的不等式，求得m的范围．
【详解】解：∵2x-m≥0，
∴2x≥m，
∴x≥m2．
则-4＜m2≤-3，
解得：-8＜m≤-6．
故答案为：-8＜m≤-6．
【点睛】此题考查了根据不等式解集的情况求参数的取值范围，根据x的取值范围正确确定m2的范围是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）若关于x的一元一次不等式组x+1≥03x−m<0，有3个非负整数解，则m的取值范围是( )
A．6【答案】A
【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中有3个非负整数解，确定出m的范围即可．
【详解】解：不等式组整理，得：x≥−1x解得：−1≤x∵不等式组有3个非负整数解，即非负整数解为0，1，2，
∴2解得：6故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
【题型5 根据一元一次不等式组有解或无解求参数】
【例5】（2023春·吉林松原·七年级校联考期中）若不等式组1k无解，则k的取值范围是（ ）
A．k≥2B．k<1C．k≤2D．1≤k<2
【答案】A
【分析】由已知不等式组无解，确定出k的范围即可．
【详解】解：∵不等式组1k无解，
∴k的范围为k≥2，
故选：A．
【点睛】此题考查了不等式组的解集，熟练掌握确定每个不等式的解集是解本题的关键．
【变式5-1】（2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）不等式组2(x+1)<3x−6x<4m无解，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤2
【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
【详解】不等式组整理得：x>8x<4m，
由不等式组无解，得到4m≤8，
解得：m≤2，
则m的取值范围是m≤2．
故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
【变式5-2】（2023春·广西梧州·七年级统考期末）关于x的不等式组a−x>32x+8>4a有解且每一个x的值均不在−2≤x≤6的范围中，则a的取值范围是（ ）
A．a<1B．a≤1C．1≤a≤5D．a≥5
【答案】A
【分析】求出不等式组a−x>32x+8>4a的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．
【详解】解：a−x>3①2x+8>4a②，
解不等式①得：x解不等式②得：x>2a−4，
∴原不等式组的解集为：2a−4∵不等式组有解且每一个x的值均不在−2≤x≤6的范围中，
∴2a−4≥6或a−3≤−2，
解得：a≥5或a≤1，
∵不等式组有解集，
∴a−3>2a−4，
解得：a<1，
综上，a的取值范围是a<1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点．
【变式5-3】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）若关于x的一元一次不等式组x−a>01−x2>x−1无解，且方程2x−a+1=x−32−x的解是非负数，则满足条件的整数a的值有( )个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，继而根据不等式组无解确定出a的范围，再解一元一次方程求出用含a的式子表示的x的值，进而根据方程解为非负数得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围，进而即可确定出符合所有条件的整数a的值．
【详解】x−a>0①1−x2>x−1②，
由①得：x>a，
由②得：x<1，
由于不等式组无解，
所以a≥1；
解方程2x−a+1=x−32−x得
x=7−2a2，
由方程2x−a+1=x−32−x的解是非负数，则有
7−2a2≥0，
解得：a≤72，
所以a的取值范围为1≤a≤72，
所以满足条件的整数a为1、2、3，共3个，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、不等式组无解问题，熟练掌握相关解法是解题的关键．
【题型6 根据一元一次不等式组的整数解的和求参数】
【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x的不等式组{3x+m＜0x＞−5的所有整数解的和为-9，则m的取值范围（ ）
A．3≤m＜6B．4≤m＜8C．3≤m＜6或-6≤m＜-3D．3≤m＜6或-8≤m＜-4
【答案】C
【分析】先求解不等式组，再根据条件判断出含参代数式的范围，从而求得参数的范围即可．
【详解】解原不等式得：{x<−m3x>−5，即−5≤x<−m3，
由所有整数解的和为-9，可知原不等式包含的整数为-4，-3，-2或-4，-3，-2，-1，0，1，
当整数为-4，-3，-2时，则−2<−m3≤−1，解得：3≤m<6，
当整数为-4，-3，-2，-1，0，1时，则1<−m3≤2，解得：−6≤m<−3，
故选：C．
【点睛】本题考查含参不等式组求解问题，熟练掌握对含参代数式范围的确定是解题关键．
【变式6-1】（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）若关于x的不等式组3x−2<5x+4x≤m−1的所有整数解的和为0，则m的值不可能是（ ）
A．3B．3.2C．3.7D．4
【答案】D
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后根据整数解的和为0，确定整数解，即可求得m的取值范围．
【详解】解：3x−2<5x+4①x≤m−1②，
解①得x>−3，
解②得x≤m−1，
∵所有整数解的和为0，
∴整数解是−2，−1，0，1，2，
∴2≤m−1<3，
解得：3≤m<4，
∴m的值不可能是4，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【变式6-2】（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）已知不等式组x+13+12>0x+5a+43>43x+1+a的正整数解为x=1和2，求a的取值范围．
【答案】1【分析】先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式即可求解．
【详解】解：x+13+12>0①x+5a+43>43x+1+a②
解①得：x>−52
解②得：x<2a
∵不等式组的正整数解为x=1和2
∴2<2a≤3
∴1【点睛】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况确定参数的取值范围．注意计算的准确性．
【变式6-3】（2023春·四川绵阳·七年级统考期末）若关于x的不等式组x−105≤−1−15x,x−2>−12m的最大整数解与最小整数解的和为−2，则满足条件的整数m的和为 ．
【答案】27
【分析】依据题意，解出不等式组的解集，然后再由最大整数解与最小整数解的和为−2，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，x−105≤−1−15x①x−2>−12m②，
∴由①得，x≤52；由②得，x>2−12m．
∴原不等式组的解集为2−12m∴这个不等式组的最大整数解为2．
又最大整数解与最小整数解的和为−2，
∴这个不等式组的最小整数解为−4．
∴−5≤2−12m<−4．
∴12∴满足题意的整数m有13，14．
∴满足题意的整数m的和为27．
故答案为：27．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时要熟练掌握并理解是关键．
【题型7 根据一元一次不等式组无整数解求参数】
【例7】（2023春·安徽安庆·七年级校考期中）已知关于x的不等式组5−2x>1x>a无整数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a>1C．12
【答案】A
【分析】先求出不等式①的解集，根据不等式组无整数解即可得到答案.
【详解】5−2x>1①x>a②，
解不等式①得x<2，
∵不等式②知x>a，不等式组5−2x>1x>a无整数解，
∴a≥1．
故选：A.
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况求未知数的取值范围.
【变式7-1】（2023春·上海·六年级校考阶段练习）关于x的不等式组2x−5<0x−a>0无整数解，则a的取值范围为 ．
【答案】a≥2
【分析】先分别求出两个不等式的解集为x<52和x>a，再分两种情况：①a≥52和②a<52进行讨论即可得．
【详解】解：由2x−5<0x−a>0得：x<52x>a，
①当a≥52时，原不等式组无解，符合题意；
②如图，当a<52时，
要使原不等式组无整数解，则a≥2，
所以此时2≤a<52；
综上，a≥2，
故答案为：a≥2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，熟练掌握不等式组的解法，正确分两种情况讨论是解题关键．
【变式7-2】（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）若不等式组2x>3x−33x−a<−6无正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．a≤15B．a＜9C．a＜15D．a≤9
【答案】D
【分析】解一元一次不等式组
【详解】2x＞3x-3,3x-a＞﹣6
即x<3,x>（a−6）3
因为不等式组无正整数解，所以不等式解集为x<1
则（a−6）3≤1
a-6≤3
a≤9
【点睛】掌握解一元一次不等式组的步骤： （1）求出这个不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．
【变式7-3】（2023春·七年级单元测试）关于x的不等式组2x+1＞mx＜−3有解但是无整数解，则m的取值范围为 ．
【答案】-7 ≤m＜－5
【详解】解：2x+1>m①x<−3② ．∵解不等式①得：x＞m−12．又∵关于x的不等式组2x+1>mx<−3有解但是无整数解，∴﹣4≤m−12＜﹣3，解得：﹣7≤m＜﹣5．故答案为﹣7≤m＜﹣5．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出关于m的不等式组﹣4≤m−12＜﹣3是解答此题的关键．
【题型8 一元一次方程与不等式(组)综合求参数】
【例8】（2023春·全国·七年级期末）若关于x的方程k−2x=3k−2的解为非负数，且关于x的不等式组x−2x−1≤32k+x3≥x有解，则符合条件的整数k值的和为（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【分析】根据关于x的方程k−2x=3k−2的解为非负整数，且关于x的不等式组x−2x−1≤32k+x3≥x有解，可以求得k的取值范围，从而可以求得符合条件的整数k的值的和，本题得以解决．
【详解】解：由方程k−2x=3k−2，得x=3−k，
∵关于x的方程k−2x=3k−2的解为非负整数，
∴3−k≥0，得k≤3，
x−2x−1≤3①2k+x3≥x②，
由①，得x≥−1，
由②，得x≤k，
∵关于x的不等式组x−2x−1≤32k+x3≥x有解，
∴−1≤k，得k≥−1，
由上可得，−1≤k≤3，
∴符合条件的整数k的值为：−1，0，1，2，3，
∴符合条件的整数k的值的和为：−1+0−1+1+2+3=5．
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程和不等式的方法．
【变式8-1】（2023春·陕西安康·七年级统考期末）关于x的方程2x−3=2m+8的解是负数，求m的取值范围．
【答案】m<−112
【分析】先解方程，用含m的代数式表示出x，根据解是负数得到关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：解方程2x−3=2m+8，
得x=m+112，
∵关于x的方程2x−3=2m+8的解是负数，
∴ x=m+112<0，
∴ m<−112．
【点睛】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，解题的关键是用含m的代数式表示出x．
【变式8-2】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期中）若关于x的一元一次不等式组−2x+3m4<2x2x+7<4(x+1)的解集为x>32，且关于y的方程3y−2=2m−(5−3y)2的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（ ）．
A．2B．7C．11D．10
【答案】D
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，由方程有非负整数解，确定出m的值，求出之积即可．
【详解】解：−2x+3m4<2x①2x+7<4(x+1)②，
由①得：x>310m，
由②得x>32，
由解集为x>32，得到310m≤32，即m≤5，
方程去分母得：6y−4=2m−5+3y，即y=2m−13，
由y为非负整数，结合m≤5且m为整数，
∴m=5或m=2，
∴符合条件的所有整数m的积为2×5=10，
故选D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-3】（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）已知关于x的方程：x−22−1=4x3+m．
(1)若方程的解是x=3．那么m=？
(2)若该方程的解是负数，并且m是负整数，请你试求该方程的解．
【答案】(1)m=−412
(2)x=−65
【分析】（1）把x=3代入方程得到一个关于m的方程，求得常数即可；
（2）求出关于x的方程，进一步探讨得出答案即可．
【详解】（1）把x=3代入x−22−1=4x3+m，得：
12−1=4+m，
解得：m=−412．
（2）x−22−1=4x3+m
去分母得，3x−6−6=8x+6m，
解得：x=−12−6m5，
∵x<0，
∴−12−6m5<0，
∴m>−2．
∵m是负整数，
∴m=−1，
∴x=−65．
【点睛】此题考查了方程解的定义和解方程的步骤与方法，注意审清题意，正确理解方程的解．
【题型9 二元一次方程组与不等式(组)综合求参数】
【例9】（2023春·重庆·七年级统考期末）若关于x的不等式组x−24A．−2B．−3C．−6D．−7
【答案】D
【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中恰有2个整数解，确定出m的范围，再由方程组有整数解，确定出满足题意的整数m的值，求出之和即可．
【详解】解：不等式组整理得：x>−2x≤m+45，
解得：-2＜x≤m+45，
∵不等式组恰有2个整数解，即-1，0，
∴0≤m+45＜1，
解得：-4≤m＜1，即整数m=-4，-3，-2，-1，0，
解方程组mx+y=43x−y=0得：x=4m+3y=12m+3，
∵x，y为整数，
∴m+3=±1或±2或±4，
解得：m=-4或-2或-1，
则m值的和为-4-2-1=-7．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式9-1】（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）若关于a、b的二元一次方程组a+2b=42a+b=3−m
(1)用含m的代数式表示a+b．
(2)若方程组的解满足a−b>−4，求m的取值范围．
(3)在（2）的条件下，若m为正整数，求关于x的方程mx−1−x2=5的解．
【答案】(1)a+b=7−m3
(2)m<3
(3)x=113或x=115．
【分析】（1）把两个方程相加，再利用等式基本性质，两边同时除以3即可；
（2）解含有字母参数m的方程组，求出a，b，代入不等式进行解答即可；
（3）根据已知条件，求出m，把m值代入方程，进行解答．
【详解】（1）解：a+2b=4①2a+b=3−m②，
由①+②得：3a+3b=7−m，
∴a+b=7−m3；
（2）解：a+2b=4①2a+b=3−m②，
由②−①得：a−b=−1−m，
∵又a−b>−4，
∴−1−m>−4，
解得：m<3，
∴m的取值范围是m<3；
（3）解：由（2）得m的取值范围是m<3，m为正整数，则m为1或2，
当m=1时，关于x的方程化为x−1−x2=5，
解得：x=113；
当m=2时，关于x的方程化为2x−1−x2=5，
解得：x=115．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组、一元一次不等式组及一元一次方程．
【变式9-2】（2023春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）已知关于x，y的方程组x−3y=4−tx+y=3t，其中−3≤t≤1，若M=x−y，则M的最小值为（ ）
A．−2B．−1C．2D．3
【答案】B
【分析】由①+②得x-y=2+t，将M=x−y代入得t=M-2，再根据−3≤t≤1可得−1≤M≤3即可得出答案．
【详解】解：x−3y=4−t①x+y=3t②
①+②得2x-2y=4+2t
即x-y=2+t，
∵M=x−y，
∴M=2+t，
∴t=M-2
∵−3≤t≤1,
∴−3≤M−2≤1
即−1≤M≤3
∴M的最小值为-1
故选：B．
【点睛】本题考查含参二元一次方程组参数满足的条件求字母的最小值问题，用整体思想直接找到两个参数之间的关系是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·四川南充·七年级统考期末）关于x，y的方程组x−y=1x+y=6a−7的解x，y都是非负数，如果2a+b=1，m=a+b，那么m的取值范围是 ．
【答案】m≤−13
【分析】根据二元一次方程组的解法求出x−y=1x+y=6a−7的解，再根据解的情况得到a≥43，从而由2a+b=1，m=a+b得到m=a+b=a+1−2a=1−a，即可得到m的取值范围．
【详解】解：x−y=1①x+y=6a−7②，
①+②得：2x=6a−6，解得：x=3a−3，
②−①得：2y=6a−8，解得：y=3a−4，
∵关于x，y的方程组x−y=1x+y=6a−7的解x，y都是非负数，
∴3a−3≥03a−4≥0，解得：a≥43，
∴−a≤−43，
∵2a+b=1，即b=1−2a，
∴m=a+b=a+1−2a=1−a，则m的范围是m≤1+−43=−13，
故答案为：m≤−13．
【点睛】本题考查解二元一次方程组、根据二元一次方程组解的情况求参数范围，熟练掌握二元一次方程组的解法、二元一次不等式组的解法、不等式的性质是解决问题的关键．
【题型10 新定义问题与不等式综合求参数】
【例10】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）定义一种新运算max，规定：当a>b时，maxa,b=a；当a=b时，maxa,b=a=b；当a(1)max3,−1=______，max6,9=______；
(2)若关于x的方程，满足maxx+12,x3+2=x+12，求x的取值范围；
(3)若关于x的方程组maxx−1,2x+1=2x+1,maxx2+a,x+3=x2+a,无解，求a的取值范围．
【答案】(1)3；9
(2)x≥9
(3)a<2
【分析】（1）根据新定义求值即可；
（2）根据新定义列不等式计算即可；
（3）先根据新定义求出含参数的x的取值范围，再由无解求a的取值范围．
（1）
∵3＞-1，
∴max3,−1=3
∵9＞6，
∴max6,9=9
（2）
∵maxx+12,x3+2=x+12
∴x+12≥x3+2
解得x≥9
（3）
由maxx−1,2x+1=2x+1可得：2x+1≥x−1
解得x≥−2
由maxx2+a,x+3=x2+a可得：x2+a≥x+3
解得：x≤2a−6
∵关于x的方程组maxx−1,2x+1=2x+1,maxx2+a,x+3=x2+a,无解，
即x≥−2x≤2a−6无解
∴2a−6<−2
解得：a<2
【点睛】本题考查一元一次不等式应用，理解新定义，能将所求知识根据新定义转化为一元一次不等式求解是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期中）我们定义；如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”
(1)不等式x≥2 x≤2的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．
(2)若关于x的不等式x+2m≥0不是2x−3(3)若a≠−1，关于x的不等式x+3>a与不等式ax−1≤a−x互为“云不等式”，求a的取值范围．