【精品同步】数学同步培优练习七年级下册第一讲实数及其简单应用（知识梳理+含答案）

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 第一讲 实数及其简单应用
实数及其简单应用





研课本 知考向




1.课程目标要求



授课内容
目标层级
1.算术平方根和平方根的概念和计算方法

2.立方根的概念和计算方法

3.无理数及实数的概念

4.实数的性质及运算




2.实时考向



本讲内容比较简单，在中考中常以简单的选择题和填空题为主。在月考中，难度稍大，会结合之前所学内容进行考察。在学习过程中，需要注重培养计算能力，本讲内容是二次根式的基础。











解重点 固根基




基










【模块一】平方根和立方根

就




1．平方根
平方根
解释
总结
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）．0只有一个平方根，它是0本身．
例如：9的平方根为±3，225的平方根为±15.
（1）一个正数有两个互为相反数的平方根；
（2）0的平方根为0；
（3）负数没有平方根．
表示
一个非负数a的平方根可用符号表示为．
数学语言：若，则．
例如：7的平方根为，26的平方根为．
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（开方），a叫做被开方数．开方运算和平方运算互为逆运算．
2．算术平方根
算术平方根
解释
总结
定义
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．记作，读作“根号a”．特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即．
例如：9的算术平方根为3，7的算术平方根为，0的算术平方根为0．
（1）一个正数只有一个算术平方根；
（2）0的算术平方根为0；
（3）负数没有算术平方根．
重要性质
双重非负性：在式子中，有且．
两个重要等式：
（1）如果，则有；
（2）对于任意的数a，则有．



































3．立方根
立方根
解释
总结
定义
一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
例如：27的立方根为3，的立方根为，0的立方根为0．
（1）任何实数都只有1个立方根；
（2）正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．
表示
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数，可用符号表示为，读作“三次根号a”，中“3”叫做根指数．
数学语言：若，则．
例如：7的立方根为，的立方根为．
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算．
重要性质
（1）在式子中，a为任何实数；（2）；．




















题型一 求平方根，算术平方根


例1、 求下列各数的平方根
（1） （2） （3）

例2、（2020长芙七下第一次月考）的平方根为( )
A. B. C. D.
演练1、（2020中雅七下第一次月考）正数的平方根是__________.
演练2、（2020长郡七下期末）3的平方根是( )
A.或 B. C. D.或
例3、（2020师博七下期中）的算术平方根是( )
A. B. C. D.
演练1、（2019雅礼七下期末）9的算术平方根是（ ）
A.
B.3
C.9
D.

演练2、（2020怡雅七下第一次月考）的算术平方根是( )
A. B. C. D.
易错题1、（2020麓山七下第一次月考）的平方根是___________.
易错题2、（2020北雅七下期中）的算术平方根为（ ）
A. B. C. D.
易错题3、（2020长雅七下期中）的算术平方根是_________.

题型二 开平方及相关运算


例4、求下列各式中的值
（1） （2）（3） （4）

演练1、（2020雅实七下期中）若满足：，求的值.

题型三 求立方根，开立方及相关运算


例5、（2020立信七下第一次月考）的立方根是( )
A. B. C. D.
演练1、（2020雅实七下期中）实数等于( )
A. B. C. D.
演练2、（2019广益七下期末）的算术平方根是（ ）
A.2
B.
C.
D.
题型四 平方根和立方根的简单应用


例6、（2019青一七下期末）要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
演练1、（2020长雅七下期中）要使有意义，的取值范围为( )
A. B. C. D.
例7、（2020麓山七下第一次月考）下列各式，正确的是( )
A. B. C. D.
演练1、（2020长芙七下第一次月考）下列说法正确的是( )
A.的平方根是 B. C.的平方根是 D.的算术平方根是
演练2、（2020中雅七下第三次月考）下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
例8、（2020青一七下第三次月考）下列各数中，互为相反数的是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
演练1、（2020长芙七下第一次月考）计算：________.


【模块二】实数的概念和分类

就


1．无理数：无限不循环小数叫无理数．
2．实数：有理数和无理数统称实数．
3．实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的.
4．实数的分类

5.实数的运算法则：
（1）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算总可以进行，且结果仍然是实数.但开方运算不能无条件进行，只有正数和0才可以开偶次方.
（2）在有理数范围内适用的运算律和运算法则，在实数范围内仍然可以使用。
（3）实数的混合运算顺序：与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的。





















题型五 实数的概念与分类


例9、（2020立信七下第一次月考）在实数：，，，，，中，无理数有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
演练1、（2020麓山七下第一次月考）下列各数中，，……，，，，无理数的个数有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
演练2、（2020长芙七下第一次月考）下列各数，，，，，其中有理数有( )
A. 个 B.个 C.个 D.个
演练3、（2020中雅七下第一次月考）在，，…，，，中，无理数有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
例10、（2020南雅七下期中）下列说法正确的是( )
A.负数没有立方根 B.
C.无理数包括正无理数、负无理数和零 D.实数和数轴上的点是一一对应的
演练1、（2020麓山七下第一次月考）下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有( )
A.个 B.个 C.个 D.个

题型六 实数的计算


例11、（2020青一七下第一次月考）计算：
(1) (2)解方程：

演练1、（2020北雅七下期中）计算：
(1) (2)已知，求的值.


例12、（2019雅礼七下期末）计算：



演练1、（2020麓山七下第一次月考）计算:
(1) (2)


演练2、（2020怡雅七下第一次月考）计算：.



演练3、（2020青一七下期中）计算：


计算没过关，记得来加餐



1、（2020中雅七下第一次月考）计算：


2、（2020中雅七下第三次月考）计算：.

3、（2020师博七下期末）计算：



4、 （2020广益七下期末）计算:.



5、（2020中雅七下期末）



6、（2020广益七下期中）计算


【模块三】实数的估算




1．估算法：
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．










题型七 比较大小，估算


例13、（2019雅礼七下期末）比较大小：__________4.
演练1、（2020广益七下期末）比较大小：________.
例14、（2020青一七下第一次月考）估计的值( )
A.在和之间 B.在和之间 C.在和之间 C.在4和5之间
演练1、（2020怡雅七下第一次月考）估计的值( )
A.在和之间 B.在和之间 C.在和之间 D.在和之间
演练2、（2019广益七下期末）若，为两个连续的正整数，且，则等于（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9


勤练习 促掌握




1、（2020广益七下期末）下列实数，，，，，中无理数有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
2、（2020广益七下期中）在实数，，，……，，中，无理数有( )个
A. B. C. D.
3、（2020中雅七下期末）在下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
4、（2020立信七下第一次月考）实数的值在( )
A.和之间 B.和之间
C.和之间 D.和之间
5、（2020中雅七下第一次月考）在，，，四个数中，最大的是( )
A. B. C. D.
6、（2020中雅七下期末）的绝对值是________.
7、（2020广益七下期中）的算术平方根是__________.
8、（2020麓山七下第一次月考）若；则等式中的值为___________.
9、（2020师博七下期中）比较大小：_____(填“>”、“=”或“