【精品同步】数学同步培优练习七年级下册第三讲 平面直角坐标系（知识梳理+含答案）

这是一份【精品同步】数学同步培优练习七年级下册第三讲 平面直角坐标系（知识梳理+含答案），共69页。
第三讲 平面直角坐标系



研课本 知考向




1.课程目标要求



授课内容
目标层级
1.平面直角坐标系中相关概念

2.平面直角坐标系中点的变换

3.平面直角坐标系中的面积计算




2.实时考向





本讲内容难度较大，为代几综合的基础。在月考中，喜欢出压轴题。压轴题一般会结合平行线出动态分析的题目，所以本章为七下的重点章节内容。














解重点 固根基




基







【模块一】平面直角坐标系中的概念







1．有序数对：
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作．
注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的．
2．平面直角坐标系：
两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．
注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
3．点的坐标：
如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．
4．象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点的坐标满足：，；
（2）第二象限内的点的坐标满足：，；
（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；
（4）第四象限内的点的坐标满足：，.
（5）x轴上的点的坐标满足：；
（6）y轴上的点的坐标满足：；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
5．坐标系中的特殊直线：
（1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为；
（2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为．
（3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为；
（4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为．
6．点到特殊直线的距离：
（1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为；
（2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为．




























题型一 平面直角坐标系与点的坐标



例1、（2020南雅七下期中）在电影票上，将“排号”简记为，则排号可表示为__________.
例2、（2020长雅七下期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
演练1.（2020长芙七下第一次月考）已知点在第二象限，则点在第________象限.
例3、（2020湘培七下期中）方格纸上有、两点，若以点为原点建立直角坐标系，则点的坐标为，若以点为原点建立直角坐标系，则点坐标是( )
A. B. C. D.
演练1、（2020南雅七下期中）如图1，在正方形网格中，点坐标为，点坐标为，则点坐标为( )
A. B. C. D.

图1 图2
演练2、（2020怡雅七下第一次月考）如图2，小手盖住的点的坐标可能为( )
A. B. C. D.
演练3、（2020广益七下期末）若点在第二象限，则点所在象限应该是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例4、（2020青一七下期末）已知点在轴上，则的值为____________.
演练1、（2020青一七下期中）若点在轴上，则的值是___________.
演练2、（2020南雅七下期中）已知点在轴上，则的值为( )
A. B. C. D.
例5、（2020雅礼七下期末）点到轴的距离为________.
演练1、（2020北雅七下期中）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
演练2、（2020青一七下第三次月考）若轴上的点到轴的距离为，则点的坐标为( )
A. B.或 C. D.或
演练3、（2020南雅七下期中）设点在第二象限，且，，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
例6、（2020雅礼七下期末）已知关于的方程的解是负数，则点在哪个象限( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例7、（2020青一七下第一次月考）若，则点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【模块二】平面直角坐标系中点的变换




1．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
2．坐标系中的对称：
（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点关于点的对称点是．
（5）点关于的对称点是．
（6）点关于的对称点是．
（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．
（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．
（9）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；






















题型二 坐标系中的平移


例8、（2019广益七下期末）已知点，，则线段与轴（ ）
A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 不垂直
演练1、（2020长芙七下第一次月考）点与点之间的距离是________.
演练2、（2020雅实七下期中）已知线段，若轴，点的坐标为，则点的坐标为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
例9、（2019青一七下期末）如图，长方形中，，，，则点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
例10、（2020怡雅七下第一次月考）点向右平移个单位，再向下平移个单位到点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
演练1、（2020青一七下期末）将点向左平移个单位长度，向下平移个单位到点，那么到点的坐标是( )
A. B. C. D.
例11、（2020北雅七下期中）点可以由点通过两次平移得到，正确的移法是( )
A.先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
B.先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
C.先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
D.先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度

演练1、（2020立信七下第一次月考）在平面直角坐标系中，点的坐标变为，则点经历了怎样的图形变化( )
A.先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
B.先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
C.先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
D.先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
演练2、（2020湘培七下期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
演练3、（2020青一七下第三次月考/广益期末）如图，，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为( )
A. B.
C. D.
题型三 坐标系中的对称、位置



例12、（2020中雅七下第一次月考）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
演练1、（2020青一七下第一次月考）已知点、，试根据下列条件求出、的值。
(1)、两点关于轴对称；
(2)轴；
(3)、两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上。



例13、（2019青一七下期末）嘉淇乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图3所示，每相邻两个圆之间距离是（最小圆的半径是），下列关于小艇，的位置描述，正确的是（ ）
A. 小艇在游船的北偏东方向上，且与游船的距离是
B. 游船在小艇的南偏西方向上，且与小艇的距离是
C. 小艇在游船的北偏西方向上，且与游船的距离是
D. 游船在小艇的南偏东方向上，且与小艇的距离是

图3 图4
演练1、（2020中雅七下第三次月考）如图4，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是( )
A. B. C. D.

题型四 坐标系的面积


例14、（2020雅实七下期中）已知，，.
(1)已知点在第一象限，且点和点到轴的距离相等，求点的坐标；
(2)求三角形的面积；
(3)设为轴上一点，若，试求点的坐标.






例15、（2020广益七下期末）如图，在边长为的正方形网格中，三角形中任意一点经平移后对应点为，已知，，，将三角形作同样的平移得到三角形.
(1)直接写出坐标；
(____，____)，(____，____)，(____，____)；
(2)三角形的面积为___________；
(3)已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的一半，求点坐标.









演练1、（2020北雅七下期中）如图，在边长均为个单位的正方形网格图中，建立了直角坐标系，按要求解答下列问题：
(1)写出三个顶点的坐标；
(2)面出向右平移个单位后的图形；
(3)求的面积.





演练2、（2020立信七下第一次月考）在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)在图中画出与关于轴对称的图形，并写出顶点、、的坐标；
(2)若将线段平移后得到线段，且，，求的值.













勤练习 促掌握




1、（2020长雅七下期中）已知点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
2、（2020立信七下第一次月考）若点在轴上，则点到原点的距离为( )
A. B. C. D.不能确定
3、（2020青一七下期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
4、（2020雅实七下期中）已知平面直角坐标系内的点，若将坐标系向右平移个单位，向下平移个单位，那么平移后点的坐标为( )
A. B. C. D.
5、（2020立信七下第一次月考）如图，正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为( )
A. B. C. D.

6、（2020北雅七下期中）已知点在轴上，则点的坐标为____________./
7、（2020怡雅七下第一次月考）若点在轴上，则点到原点的距离为___________个单位长度.
8、（2020广益七下期末）已知在轴上，在轴上，则的坐标为________.
9、（2020长雅七下期中）已知，，轴，且到轴距离为，则点的坐标是_________.





10、（2020青一七下期中）如图，向左平移个单位，再向上平移个单位得到.已知，，.
(1)直接写出三个顶点的坐标；
(2)求的面积.








11、（2020师博七下期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，，将向右平移个单位，向上平移个单位得到.
(1)画出平移后的；
(2)写出点，，的坐标.
















七年级培优教材答案
第一讲 实数及其简单应用
题型一、求平方根、算术平方根
例1、（1） （2） （3）
例2、
演练1、 演练2、
例3、
演练1、 演练2、
易错题1、 易错题2、 易错题3、
题型二、开平方及相关运算
例4、 （1） （2） （3） （4）或
演练1、 或
题型三、求立方根、开立方及相关运算
例5、
演练1、 演练2、
题型四、平方根和立方根的简单应用
例6、
演练1、
例7、
演练1、 演练2、
例8、
演练1、
题型五、实数的概念与分类
例9、
演练1、 演练2、 演练3、
例10、
演练2、
题型六、实数的计算
例11、 （1） （2）或
演练1、（1） （2）或
例12、
演练1、（1） （2） 演练2、 演练3、
加餐练习、
1. 2. 3. 4. 5. 6.
题型七、实数的估算
例13、
演练1、
例14、
演练1、 演练2、
勤练习 促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 或
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

第二讲 实数的综合应用
题型一、利用实数性质解题
例1、
演练1、 演练2、 演练3、
例2、
例3、
演练1、 演练2、 演练3、
例4、
演练1、 演练2、 演练3、
例5、
演练1、（1） （2）
例6、
演练1、
题型二、实数与化简
例7、
演练1、 演练2、（1） （2）
题型三、实数中其他应用
例8、 ① ② ③ ④
演练1、
例9、
例10、
题型四、实数中的新定义
例11、
演练1、
例12、 （1） （2）
例13、
演练1、 演练2、
例14、
演练1、（1） （2） （3）
勤学习 促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. （1） （2） 9. 10.

第三讲 实数的综合应用
题型一、平面直角坐标系与点的坐标
例1、
例2、
演练1、 一
例3、
演练1、 演练2、 演练3、
例4、
演练1、 演练2、
例5、
演练1、 演练2、 演练3、
例6、
例7、
题型二、坐标系中的平移
例8、
演练1、 演练2、
例9、
例10、
演练1、
例11、
演练1、 演练2、 演练3、
题型三、坐标系中的对称、位置
例12、
演练1、（1） （2），为任意实数 （3）
例13、
演练1、
题型四、坐标系的面积
例14、 （1） （2） （3）或
例15、 （1），， （2）
（3） 或
演练1、（1），, （2）略
（3）
演练2、 （1），， （2）
勤学习 促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. ，
10. （1），， （2）.
11. （1）略 （2），，
第四讲 坐标系中的规律探究与新定义
题型一 一般规律问题
例题 1. 2. 3.
演练 1. 2.
例题 4.
演练 1.
题型二 正方形中的规律问题
例题 5.
演练 1. 2.
例题 6.
演练 1.
题型三 旋转类规律问题
例题 7.
演练 1.
例题 8.
题型四 坐标系中的新定义
例题 9. 10.（1）①，；②；（2）“识别距离”最小值为，
11. （1）；（2）；（3）
12. （1）；（2）；（3），
勤练习，促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6.（1）；（2）；（3）等腰三角形，理由如下：根据题意可求出
第五讲 坐标系中的综合应用
题型一、坐标与面积
例1、 （1） （2）
（3）设

， 或
例2、①
②
③当在线段上时,当在点左侧时
题型二、坐标与角度、面积的结合
例3、（1）
（2）的平分线和的平分线交于点



设,则
作，则
又





（3）存在某一时刻，使的面积等于长方形面积的，
作 轴于，，


例4、 (1)∵且
∴，
又∵点关于轴对称点为点
∴点的坐标
(2)∵为中点，为中点
∴为重心
∴
又∵
∴
(3)由题意可得：
∴
又∵
∴
又∵
∴
题型三、坐标与平行、面积的结合
例5、 (1)由题意得：，，
∴，，
∴点、、的坐标为：，，
(2)不变，
如图2，过点做
∵，
∴
∴，
∵，∴
∵，∴
∴
∵、分别平分，
∴，
∴
(3)设点
①若点位于轴正半轴上且，过点作轴，则
，，


由题意得：，即，解得.此时点
②若点位于轴负半轴上，则，




由题意：，即，解得，此时
③若点位于轴正半轴上且，此时显然不成立
综上所述：存在或使的面积等于的面积的

例6、 (1)∵
∴，
∴，
∴，
∴
(2)存在点或使，证明如下：
设坐标为，在

∴，
∴坐标为或
(3) (过点作轴平行线即可)

例7、 （1）


(2)




或
（3）设旋转t s后OA与CN平行
①当时








②当时




同理可得

（舍）
③时，如图2


同理可得：


综上所述或
题型四、坐标系中的定值问题
例8、 (1)
（2）


（3） 定值为3
例9、 （1）


又

（2） 当入射角为时，反射光线与平行
（3）
题型五、坐标系中的动态问题分析
例10、 （1）
（2）根据平移性质得： ,
∴ ，解得：AC=6，
（3）∵AC∥x轴，AC=6,∴C的坐标为（6，3），根据平移性质得D(4,7),
，
∴,∵B点横坐标为2，
又∵ ,
∴当P点在M,N点时等式成立，
满足条件的时间t如下：
1） 开始到第一次掉头时， ；
2） 第一次掉头到第二次掉头时， ；
3） 第二次掉头到第三次掉头时， ；
4） 第三次掉头到第四次掉头时， ；
5） 第四次掉头到第五次掉头时，（不符合题意），
∴符合的时间有：0s，18s，27s，33s，37.5s
例11、 （1）
（2） ① ② ③
（3） 或
勤练习 促掌握
1. （1） （2） （3）
2. (1)
(2) 或
(3)
3. (1)，
(2)的大小不变
延长、交于点
∵直线与直线垂直相交于
∴
∴
∴
∵、分别是和的角平分线
∴，
∴
∴
∴
∴
∵、分别是和的角平分线
∴
∴
(3)∵与的角平分线相交于
∴，
∴
∵、分别是和的角平分线
∴
在中
∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①，，
②，，(舍)
③，，
④，，(舍)
∴为或
4. （1）
（2） （提示：方程解题）
（3） ①当时，;当时，
②

第六讲 二元一次方程（组）及其解法和应用
题型一 二元一次方程（组）的定义
例题 1.
演练 1. 2.
例题 2. 3.
演练 1.
例题 4.
演练 1.
题型二 二元一次方程（组）的解的概念
例题 5.
演练 1. 2. 3.
题型三 二元一次方程（组）的解法
例题 7.
演练 1. 2.
例题 8.
演练 1. 2.
例题 9.（1）；（2）
演练 1.（1）；（2） 2.（1）；（2）
3.（1）；（2）
例题 10.
演练 1. 2. 3.
例题 11.（1）；（2）
演练 1.（1）；（2）
题型四 二元一次方程组一般应用
例题 12. 13. 14.
题型五 古文中的二元一次方程组
例题 15.
演练 1.
题型六 图形中的二元一次方程组
例题 16.
演练 1. 2.设加工竖式纸盒个，横式纸盒个。依题意，得
解得
题型七 二元一次方程组综合应用
例题 17.（1）设排球单价元，实心球单价元。依题意，得解得；（2）（元）
演练 1.（1）设购进甲型口罩个，乙型口罩个。依题意，得
解得；（2）设每袋乙型口罩打折。，，四折。
2.（1）购进黑色文化衫件，白色文化衫件。依题意，得解得；
（2）（元）
3.（1）设型车进价为元，型车进价为元。依题意，得解得；
（2）方案①型车：2辆，型车：15辆；方案②型车：4辆，型车：10辆；
方案③型车：6辆，型车：5辆。（3）方案①利润最大，最大利润是元。
勤练习，促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.（1）；（2） 13.（1）；（2）
14.设长方形地砖的长为，宽为。依题意，得解得。
15.（1）设茄子的种植面积为公顷，西红柿的种植面积为公顷。依题意，得解得；（2）（万元）
第七讲 含参二元一次方程（组）的解法
题型一、特殊方程组的解法
例1、
演练1、
例2、 、、
演练1、
例3、 、、
演练1、 、、
演练2、 （1） （2）、、、
例4、
演练1、
例5、
题型二、已知解求参数
例6、
演练1、 演练2、
题型三、已知解的关系求参数
例7、
演练1、 演练2、 演练3、 演练4、略
题型四、同解问题与错解问题
例8、
演练1、
例9、
演练1、（1）、 （2）、
题型五、整数解问题
例10、
例11、 （1）、 （2）
题型六、二元一次方程组中的新定义
例12、 （1） （2）
（3） ①当，时，不存在解坐标
②当，时，存在无数个解坐标
演练1、（1） （2） （3）
勤练习 促掌握
1. 2. 3.
4. （1） （2）
5. 6. 、、原式
7. （1）①不是②的“中雅方程组”
（2）或或
（3）
第八讲 一元一次不等式与不等式组
题型一、不等式的概念和性质
例1、
例2、
演练1、 演练2、 演练3、 演练4、
题型二、一元一次不等式的概念和解法
例3、
例4、
演练1、
例13、
演练1、
例5、
演练1、
例6、
例7、
演练1、 演练2、
例8、
题型三、一元一次不等式组的概念和解法
例9、 （1） （2）
演练1、 演练2、 演练3、
例10、
演练1、 演练2、 演练3、 整数解为、、
例11、
例12、
演练1、
勤练习 促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. （1） （2） 11.
12. （1） （2） 13. （1） （2）
14. 非整数解的和为 15.
第九讲 一元一次不等式组的实际应用
题型一、实际应用
例1、
演练1、（1）奖品每件元，奖品每件元
（2）奖品最多购买件
题型二、方案选择
例2、 （1）甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人
（2）两种租车方案①甲车辆，乙车辆②甲车辆，乙车辆，第①种方案最省钱
演练1、 （1）老师有人，学生有人；
（2）辆
（3）种，元
例3、 （1）大型渣土车每次运土方吨，小型渣土车每次运土方吨
（2） ①大型渣土车辆，小型渣土车辆，总费用为元
②大型渣土车辆，小型渣土车辆，总费用为元
③大型渣土车辆，小型渣土车辆，总费用为元
④大型渣土车辆，小型渣土车辆，总费用为元
最少需要花费元。
演练1、（1）类货车每辆补贴油费元，类货车每辆补贴油费元
（2）最少为元。
演练2、（1）甲货车每次满载能运输吨物资，乙货车每次满载能运输吨物资
（2）安排甲货车辆，乙货车辆最节省费用，最少为元
例4、 （1）型号的扫地车每周可以处理吨，型号的扫地车每周可以处理吨。
（2）一共有三种方案：
①购买型扫地车辆，型扫地车辆
②购买型扫地车辆，型扫地车辆
③购买型扫地车辆，型扫地车辆
方案①所需资金最少，最少为万元。
例5、 （1）改造个甲种型号大棚需要万元，改造个乙种型号大棚需要万元
（2）一共有三种方案：
①改造个甲种型号大棚，个乙种型号大棚
②改造个甲种型号大棚，个乙种型号大棚
③改造个甲种型号大棚，个乙种型号大棚
方案③所需资金最少，最少为万元。
例6、 （1）甲种笔每支元，乙种笔每支元
（2）共有种进货方案。
演练1、（1）甲种文具每件元，乙种文具每件元
（2）一共有三种方案：
①购买甲种文具件，乙种文具件
②购买甲种文具件，乙种文具件
③购买甲种文具件，乙种文具件
演练2、（1）每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元
（2）一共有三种方案：
①购进件甲产品，件乙产品
②购进件甲产品，件乙产品
③购进件甲产品，件乙产品
方案③利润最大，最大利润为万元。
例7、 （1）每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元
（2）一共有三种方案：
①购进数学文化本，文学名著本
②购进数学文化本，文学名著本
③购进数学文化本，文学名著本
演练1、（1）甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元
（2）一共有三种方案：
①购买甲种奖品个，乙种奖品个
②购买甲种奖品个，乙种奖品个
③购买甲种奖品个，乙种奖品个
方案①最省钱
例8、 （1）购买种树每颗需要元，购买种树每颗需要元
（2）一共有三种方案：
①购买种树棵，购买种树棵
②购买种树棵，购买种树棵
③购买种树棵，购买种树棵
演练1、（1）购买种树苗每颗需要元，购买种树苗每颗需要元
（2）一共有三种方案：
①购进种树苗棵，购进种树苗棵
②购进种树苗棵，购进种树苗棵
③购进种树苗棵，购进种树苗棵
方案①最省钱，最少工钱为元
例9、 （1） （2） （3），为或
例10、 （1）①③ （2） （3）
勤练习 促掌握
1. （1）奖品的单价为元，shshan商品的单价为元
（2）至少购买zh种商品个
2. （1）一件文化衫元，一套明信片元
（2）购买文化衫件，购买明信片套
3. （1）帐篷有个，食品包有个
（2）方案一：安排辆乙种货车；方案二：安排辆甲种货车，辆乙种货车；方案三：安排辆甲种货车，辆乙种货车；方案四：安排辆甲种货车，辆乙种货车；方案五：安排辆甲种货车，辆乙种货车；
（3）选用方案运费最少，最少是元。
4. （1）甲商品件，乙商品件
（2）乙商品最低售价为每件元

第十讲 不等式组的综合应用
题型一、已知范围求解
例1、
演练1、
演练2、 演练3、
演练4、 （1） （2） （3） 为
演练5、（1） （2） （3）
题型二、整数解问题
例2、
例3、
演练1、 演练2、
题型三、不等式中的新定义
例4、 （1）① ② （2） （3） （4）或
演练1、（1） （2） （3）或
演练2、（1）① ② （2） （3）或
例5、 （1） （2）① ② ③
例6、 （1）① ② （2）或 （3）
例7、 （1） （2） （3）
例8、 （1） （2）或 （3）
例9、 （1）②是 （2）或 （3）
例10、 （1） 是 （2） （3）
例11、 （1）存在“雅含”关系，是的“子式”
（2） （3）
勤练习 促掌握
1. 2. 3. 4.
5. （1） （2） 6.（1） （2）
7.（1） （2） （3）或
8. （1） （2） （3）

第十一讲 调查统计和直方图
题型一、统计相关的概念
例1、 每名考生的数学成绩
演练1、
例2、
例3、
演练1、 演练2、 演练3、③
例4、
例5、
例6、
演练1、 演练2、 演练3、
例7、
题型二、数据的描述
例8、
演练1、 演练2、
例9、 （1）人 （2） （3） 名
演练1、（1）名 （2） （3）名
演练2、（1）名 （2） （3）名
演练3、（1）踢毽子人数为名 （2） （3）人
演练4、（1） （2）略 （3）万人
演练5、（1）吨 （2） （3）吨

勤练习 促掌握
1. 2. 3.
4. （1）名 （2） （3）万户
5. （1） （2）略 （3）名
6.（1）， （2）略 （3）人
第十二讲 三角形及其简单应用
题型一、三角形的稳定性
例1、
演练1、
例2、
题型二、三角形的边
例3、
演练1、 演练2、 演练3、 演练4、
例4、
演练1、 演练2、
例5、
演练1、 演练2、 演练3、 演练4、
题型三、三角形的角
例6、
例7、
演练1、 演练2、
例8、
例9、
演练1、 八边形 演练2、
例10、
演练1、 十二 演练2、 演练3、
例11、
例12、 （1） （2）
演练1、 （1） （2）
题型四、两大模型的应用
例13、 （1） （2） （3）
例14、 （1）在和中



（2） 由（1）得


例15、 （1）
（2）
例16、 （1）、、
（2）
（3）
例17、
演练1、 演练2、
勤练习 促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8.三角形得稳定性 9. 10.
11. 12. 13.（1） （2）
14.
15.（1）
（2）
（3）



第十三讲 全等三角形
题型一 全等三角形的性质
例题 1.
演练 1. 2.
例题 2. 3.
演练 1.
例题 4.
演练 1.（1）先求证即可证明；（2）由（1）可得，所以
例题 5.
演练 1.（1）∵∴；（2）∵是等腰直角三角形，∴垂直平分
2.（1）∵∴；（2）由（1）可知∴是等腰三角形，
例题 6.（1）∵∴；（2）设点到的距离为，，
演练 1.（1）∵∴；（2）
例题 7.（1）∵∴；（2），∵∴，
演练 1.（1）∵平分，∴
又，
∴，
∵，度，∴度
又度，∴度，度
（2）由题知，∴
∵度，∴，∴度，∴度
又平分，∴
又，∴，∴
2. （1）∵∴；（2）且，
由（1）可知,；
（3） .
例题 8.①②③ 9. 10.
11.
演练 1.（1）1；（2）过点作，∵∴，∴
2.方法一：过点作，∵∴，
方法二：过点作，过点作,∵∴，∴，
方法三：过点作交的延长线于点，∴，
例题 12.延长至点，使，∵
∴，在中，﹤,﹥
∴﹤﹤
演练 1. 2.②③④
例题 13.截长：












补短：延长至点使，∵∴，∵,，∴，
演练 1.延长到点，使，连接



例题 14.













15.














16. ③⑤⑥
勤练习，促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6.（1）由题可知,所以；（2）
7.（1）；（2）；（3）当，当。
8.






9.【证明】∵
∴，(两直线平行，内错角相等)
∵
∴
又∵
∴
∴
∴，(等式的性质)
∴
10.【证明】(1)由题意可知，
∴，
又
在和中
，，
∴，∴
∵，
∴，∴，即
(2)∵，∴ ①
∵，∴
∵，
∴ ②
∴由①、②得：，
11.










12.











13.





























第十三讲 全等三角形中的模型
题型一 一线三垂直
例题 1.


















2.（1）∵,,，∴，；（2）连接，,∴，∵，∴
3.过点，分别作，先求证可知；再求证可知；∴，∴，是的中线
4.（1）①，；②，求证；
（2）
题型二 角平分线模型
例题 5.










6.














7.



















演练 1.









2. 3. 4. 5.（1）；（2）；
（3）在上截取，连
在和中

∴
∴，
又，
∴
∴
∴
题型三 手拉手模型
例题 8.















演练 1.①②③④
例题 9.








10.














11.（1）∵∴,
（2）∵∴，
题型四 半角模型
例题 12.










13.














演练 1.（1）①；②相等，；（2）①
2. （1）；（2）
勤练习，促掌握
1.
2.










3.【解析】(1)证明：∵，
∴
在和中

∴
∴
则，，
∴平分
(2)由(1)知，又
∴


4.

















5.











6. （1）；（2），求证
7.



























8.





























第十四讲 全等三角形综合
题型一 全等中的新定义
例题1.(1)∵四边形是互补等对边四边形
∴
在和中

∴
(2)∵四边形是互补等对边四边形
∴
又由(1)
∴
∴
∵
∴
∴
(3)证明：如图③所示：过点、分别作的延长线与的垂线，垂足分别为、
∵四边形是互补等对边四边形，
∴，
又
∴
又∵，
∴
在和中

∴
∴
在和中

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵，
∵















例题2.





























例题3.


题型二 全等三角形中的大综合
例题4.（1）证明：如图，设
则，
在中，∵
∴
∴
∴
∴平分
（2）证明：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点
∵
∴
∴，
∴
在和中，

∴
∴
在和中，

∴
∴
（3）解：如图，连接
在和中

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴















例题5.





























例题6.





























例题7.(1)、、
(2)∵，；又
∴或
当在线段上时，如图①.连接、，则
∵
∴，.又为中点
∴，且
又
∴
又
∴
∴，
∵
∴
即轴
∴.
当在线段的延长线上时，如备用图
∴
由①得，
∴
又
∴
∴，
∵
∴
即轴
∴
综上所述：点的坐标为或
(3)设，.过点作直线轴.
∵
∴
又，
∴
∴，且
∵
∴
∴轴
∴.
∴当从点沿轴负方向运动时，点从点沿直线向下运动
∵为中点
∴
又
∴
∴
∴
∵
∴，且
∴
∴
∴
∴点从运动至.路径长为

例题8.




















勤练习，促掌握
1.①③④
2.(1)证明：证明即可
(2)解：①当时，点在线段上，点在线段上
，
∴
∴(不合题意，舍去)
②当时，点在线段上，点在线段上
，
∴
∴
综上，
综上所述当时，与全等
(3)解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴



3.





























4.





















（3）