2023年高考第三次模拟考试卷-数学（天津A卷）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

 数学·参考答案

一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。）

10、-2  11、6    12、   13、2.5  14、    

 15、      9

三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）

16．（14分）

【详解】(1)

(2)①，；②

(1)

解：因为，

由正弦定理得

又，

所以，

即

所以，

又，故.

在中，，所以.

(2)

①的面积，得，

由余弦定理，得，

由，，可得，

整理得，解得，

又，故，.

②

由余弦定理，得，

又，，，故，

所以，

，

，

故

.

17．（15分）

【详解】(1)证明见解析；

(2)；

(3)存在，.

【详解】（1）由题意可得，，两两互相垂直，所以可以以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图示：

，，，.

∴.

设平面的一个法向量为.

，不妨令，.

又，，

.

不在平面内，

平面.

（2）设点坐标为，，.

由，，.

，

设平面的一个法向量为，

由，不妨令，

，

，

又由图可知，该二面角为锐二面角，

二面角的余弦值为

（3）设，.

，

，

与面所成角的余弦值是.其正弦值为，

，

整理得：，

，

存在满足条件的点，且．

18．（15分）

【详解】(1)，

(2)

(3)证明见解析

(1)

解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），

由，，即，解得，所以，

由，所以，由，即，解得或（舍去）

所以；

(2)

解：由（1）可知，所以，

所以是首项为，公比为的等比数列，

令的前项和为，则，

当为奇数时，

当为偶数时，

综上可得的前项和的最大值为；

(3)

证明：因为，

所以

①，

②，

由①②可得

所以，得证；

19．（15分）

【详解】(1)

(2)

【详解】（1）由题意可设椭圆的方程，

∵椭圆经过，两点，

则，即，解得，

∴椭圆的方程为．

（2）设，，则，，

∵点A、B均在椭圆上，则，，

且点E在椭圆上，则，

即，可得.

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程，消去得，

则，，，

∵，

则，

∴，解得，

故所求直线的方程为；

当直线斜率不存在时，则直线的方程为，即，

可得，该方程组无解，不合题意；

综上所述：所求直线的方程为．

20．（16分）

【详解】（1）当时，所以函数的定义域为，，

当时，，，，故，所以函数为减函数，

当时，，，，故，所以函数为增函数，

综上，函数的单调增区间为，单调减区间为；

（2）证明：（ⅰ）当时，，，

即函数存在零点和，且，因此点坐标为；

由于，所以，

所以，即，

令，则，

当时，，

，

，，，，

，为减函数，

同理，当时，为增函数，

即在上单调递减，在上单调递增，

，

所以当时，；

（ⅱ）由于方程有两根，，不妨设，则，

设，则，

由（ⅰ）知，，由于是增函数，所以，

．