2023年高考第三次模拟考试卷-数学（新高考Ⅱ卷B卷）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学·参考答案

一、选择题

二、填空题

13．和    14．-3         15．##             16．

三、解答题

17．【详解】（1）根据，由正弦定理得，

整理得，即，

又，所以；

即A的大小为.……………………………………5分

（2）因为,

所以，又，所以；

所以

又因为，

则，所以（当且仅当时，等号成立），

可得，

即的取值范围是……………………………………10分

18．【详解】（1），

∴，为首项，公差的等差数列，

∴，，

当时，，

因此……………………………………6分

（2），

，

作差可得：，

∴，

又因为当时，，整数的最小值为2．……………………………………12分

19．【详解】（1）零假设为：学生是否经常锻炼与性别无关，

，

故依据的独立性检验，可以认为学生是否经常锻炼与性别有关；……………………………………4分

（2）设从这200人中随机选择1人，

记“选到的学生经常锻炼”为事件A，“选到的学生为男生”为事件B，

则，，

则所求概率为；……………………………………8分

（3）设第n次传球后球在甲手中的概率为，n＝1,2,3,…，则，

第(n＋1)次传球传给甲，则第n次传球必须传给甲之外的人，概率是，无论该人是谁，第(n＋1)次传球给甲的概率都是，

因此，

则，其中，

故数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

故，

即第n次传球后球在甲手中的概率为．……………………………………12分

20．【详解】（1）证明：取中点，连接，，，

因为为菱形且，

所以为等边三角形，故．

又在等边三角形中，，，平面，

所以平面，

因为平面，

所以；……………………………………5分

（2）由，，可得就是二面角的平面角，所以，

在中，，所以为边长为的等边三角形，

由（1）可知，面底面，取中点，以为坐标原点，

以，，所在的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

在中，，，可得，，，，

故，，，……………………8分

设为平面的一个法向量，则有，

令，则，得， ……………………10分

设直线与平面所成角为，

则有，

故直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………12分

21．【详解】（1）依题意，离心率，，解得，，

故双曲线的方程为.……………………………………3分

（2）方法一：设，，直线PQ为，代入双曲线方程，

得：，则且，，

∴，∵，

∴，……………………6分

∴直线AP方程为，令得：，∴，

∵直线PQ为，令

得：，即，……………………8分

设线段MN的中点坐标为，则，，

∵过点P的切线方程为：，……………………10分

要证双曲线在点P处的切线平分线段EF，即证点P处的切线经过线段MN的中点T.

∵，

，

所以点P处的切线经过线段MN的中点T，即点P处的切线平分线段MN.……………………12分

方法二：设，，则，.由题意可知，点M在直线PA上，

且纵坐标为，设，由可得：，整理得：

，∴，

同理可得，……………………6分

设线段MN的中点坐标为，

则，，……………………8分

又∵过点P的切线方程为：，要证双曲线在点P处的切线平分线段EF，

即证点P处的切线经过线段MN的中点T，∵，

∵，，

∴，

所以点P处的切线经过线段MN的中点T，即点P处的切线平分线段MN.……………………………………12分

22．【详解】（1）由函数，可得，所以不是函数的零点，

因为函数有且仅有一个零点，即方程仅有一个实数根，

即方程仅有一个实数根，即方程仅有一个实数根，……………………2分

设，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递减，

所以函数的极小值为，……………………4分

又由当且时，；当且时，，

所以函数的图象如图所示，

要使得函数有且仅有一个零点，则满足或，

即实数的取值范围是.……………………………………6分

（2）解：设，即，……………………7分

当，令

满足，且，

若在区间单调递增，此时，不满足题意；……………………9分

若在区间单调递减，此时，不满足题意；……………………10分

所以函数在区间上不是单调函数，所以函数在区间上必有极值点，

即存在，使得，即，

即，使得.……………………………………12分