2023年高考第三次模拟考试卷-数学（新高考Ⅱ卷A卷）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学·参考答案

13．           14．        15．              16．①③④

17．【详解】（1）选①：∵，时，，

∴两式相减得，即，又当n=1时，，

∴，满足上式，∴；………………………………………………5分

选②：当n=1时，，∴，

∵，时，，

∴两式相减得，

数列是以2为首项2为公比的等比数列，

∴；………………………………………………5分

选③∵，时，，

∴两式相除得，当n=1时，，满足上式，∴；………………………………………………5分

（2）因为当时，，，

所以当时，，

当时，，

当时，.

当时，，

当时，，

当时，，

所以.………………………………………………10分

18．【详解】（1）在中，由，得，

由正弦定理，得，因为，

因此，即，

而，，有，即有，且显然，

于是，解得，

所以.………………………………………………6分

（2）令，四边形内角和为，由（1）的结论知：，

在中，由正弦定理得：，即有，

在中，，则，

又，则有，即，，

因为，则，于是，即，

又，

因此，，

所以的面积.…………………………………12分

19．【详解】(1)因为，，所以………………………4分

(2) （i）记检查结果呈阳性为事件A，被检查者患有肺癌为事件B，由题意可得：，，由贝叶斯公式得

，

因此某烟民的检查结果为阳性，他真的患有肺癌的概率是.…………………………10分

（ii）同（i），.………………………………………………12分

20．【详解】（1）证明：取线段的中点，连接、，如图所示：

因为、分别为、的中点，则，

在三棱台中，，所以，，且，

故、、、四点共面，

因为，，则，

又因为底面，、平面，所以，，

因为，、平面，所以平面，

因为，所以平面，

因为平面，所以，

因为，，

又因为，所以四边形是正方形，所以，

又因为，、平面，所以平面，

因为平面，所以.………………………………………………6分

（2）解：延长与相交于点，连接，则，

因为、分别为和的中点，，则，

则，所以，为的中点，

又因为为的中点，且，则为的重心，则，

由（1）知，所以、、两两垂直，

以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

则、、、、，

所以，，，，

设平面的法向量，则，

取，则，

设平面的法向量为，则，

取，可得，

所以，，

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.…………12分

21．【详解】（1）因为，所以右焦点为，

又因为，所以到直线的距离，解得；………………2分

（2）设，，

由得，

所以，即，且，

所以

，

又因为O到直线的距离为，

所以的面积为

，

解得满足，所以；………………………………………………8分

（3）若，则直线经过点，此时直线和直线的夹角为（舍去），

若，由直线和直线的夹角为，且得，

直线的方程为或代入得或，

所以直线的方程为或代入椭圆方程得

或，

由或

解得或，

综上得的取值范围为且．………………………………………………12分

22．【详解】（1）当时，，所以.

又，所以切线的斜率为.

所以切线方程为.

令，得；令，得.

所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积.………………………………………………4分

（2）因为，所以.

当时，，单调递增，所以至多有一个零点.

令，则.

当时，因为，所以.

所以，单调递减，所以至多有一个零点.

当时，令，得且.

当时，时，即时，，，单调递增，又，所以.

因为是连续的函数，且，

所以，所以在上只有一个零点.………………………6分

当或，即，或时，，，单调递减，

因为.………………………8分

设，，

所以单调递增，所以，即，

因为，即.

因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.

所以在上又有一个零点，设，

因为，

所以，又，所以，

因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.

综上可知，当时，函数在在三个不同的零点.

故实数的取值范围为.………………………………………………12分