2023年高考第三次模拟考试卷-数学（上海B卷）（考试版）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

高三数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。

1．若（其中i表示虚数单位），则______．

2．从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值．

3．已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为___．

4．方程的解是________．

5．当时，的最小值为______．

6．已知全集，集合，则__________.

7．已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.

8．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是__________.

9．已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是_______.

10．设表示事件发生的概率，若，则__________.

11．已知向量，则在方向上的数量投影为___________

12．若的展开式中的系数为，则实数的值为__________.

二、选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，讲代表正确选项的小方格涂黑。

13．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

14．设，且，则（    ）

A．－1 B． C．1 D．

15．对于函数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围也恰为，则称区间是函数的保值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列命题：①函数有且仅有个保值区间；②函数的所有保值区间长度之和为.下列说法正确的是（    ）

A．结论①成立，结论②不成立 B．结论①不成立，结论②成立

C．两个结论都成立 D．两个结论都不成立

16．若实数x,y满足，则（    ）成立．

A． B．

C． D．.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）。

17．（本题满分14分，本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，为侧棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

自2015年上海启动《上海绿道专项规划（2035）》至今上海已建成绿道总长度近1600公里．根据《上海市气态空间专项规划（2021—2035）》，到2035年，上海绿道总长度将超过2000公里．届时，绿道会像城市的毛细血管一样，延伸到市民生活的各个角落，绿荫卜的绿道（步道、骑行道）给市民提供了散步休憩、跑步骑行运动的生态空间．某一线品牌自行车制造商在布局线下自行车体验与销售店时随机调研了1000位市民，调研数据如表1所示．166位有意愿购买万元级运动自行车的受访者的年龄（单位：岁），在各区间内的频数记录如表2所示．

表1

表2

(1)试估计有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄（结果精确到0.1岁）．

(2)将表1的2×2列联表中的数据补充完整，并判断是否有95%的把握认为“离家附近（2千米内）有骑行绿道与万元级运动自行车消费有关”？

附：，其中．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，半圆是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径的长为百米.为了保护景点，基地管理部门从道路上选取一点，修建参观线路,且,均与半圆相切，四边形是等腰梯形，设百米，记修建每百米参观线路的费用为万元，经测算.

（1）用表示线段的长；

（2）求修建参观线路的最低费用.

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．

(1)若，求，；

(2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；

(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B．

(1)当时，求到 l 的距离；

(2)若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴；

(3)设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由．