2023年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是(    )

A. 邗江区明天将有的时间下雨 B. 邗江区明天将有的地区下雨
C. 邗江区明天下雨的可能性较大 D. 邗江区明天下雨的可能性较小

4.  如图是九章算术中“堑堵”的立体图形，它的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列方程中，有两个相等实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为，点的横坐标为，则不等式的解集是(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D.

8.  如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分至分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：

甲和乙的动手操作能力都很强；
缺少探索学习的能力是甲自身的不足；
与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；
乙的综合评分比甲要高．
其中合理的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  年春节期间，扬州市家景区接待游客约为人次，与年同期相比增长，增幅居全省第一将用科学记数法表示为______ ．

10.  分解因式： ______ ．

11.  写出一个比大且比小的整数为______ ．

12.  若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______ 用“”连接．

13.  若、满足方程组，则的值是______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，的边，的中点，的横坐标分别是，，则点的横坐标是______ ．

15.  如图，正方形的边长是，将对角线绕点顺时针旋转的度数，点旋转后的对应点为，则弧的长是______结果保留．

16.  幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是，则的值为            ．
 

17.  如图，已知在菱形中，，以点、为圆心，取大于的长为半径，分别作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点作图痕迹如图所示，连接、，若，则菱形的面积为______ ．

18.  在中，，，，则的长的取值范围是______．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．
化简：．

20.  本小题分
解不等式组：，并写出的所有整数解．

21.  本小题分
某校组织全休学生参加“党史知识竞赛”，小航对七年级班、八年级班两个班级全体同学的成绩百分制进行了整理、描述和分析，部分信息如下：
七年级班，八年级班的数分布直方图如图数据分为组：，，，，；
七年级班学生成绩在这一组的是：

七年级班、八年级学生成绩的中位数如下：

根据信息回答下列问题：
表中的值为______ ；
甲同学说：“这次考试没考好，只得了分，但班级排名仍属于前，请判断甲同学所在班级，并说明理由；
已知该校八年级有人，若分及以上为“优秀”，请用以上数据估计八年级达到“优秀”的人数．
 

22.  本小题分
某西瓜种植户在直播平台销售西瓜时宣传：“我家西瓜大又甜，个个都在公斤以上，每个仅售元”，当天最后还有四个西瓜封装在外观完全相同的纸箱中，所装西瓜的重量分别为公斤，公斤，公斤，公斤这四个纸箱随机摆放王先生下了当天的最后一单，发货员在不知道重量的情况下随机选择发货．
若王先生下单只买一个西瓜，则收到的西瓜重量符合卖家宣传的概率是______ ；
若王先生下单买了两个西瓜，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求他收到的西瓜重量符合卖家宣传的概率．

23.  本小题分
学校组织学生到距离为千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自行车先走，分钟后其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达，如果大巴士的平均速度是自行车平均速度的倍，问：大巴士与自行车的平均速度分别是每小时多少千米？

24.  本小题分
如图，在平行四边形中，，是对角线上的点，且，连接，．
求证≌；
连接，，若，求证：四边形是菱形．

25.  本小题分
如图，为半圆的直径，为半圆上一点，连结，点为的中点，过作，交的延长线于点．
求证：是半圆的切线．
若，，求的长．

26.  本小题分
如图，在▱中，为的中点，在上找出一点，使得：：，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
如图，已知，点为平面上一点，请用直尺不带刻度和圆规，按下列要求作图：不要求写作法，但要保留作图痕迹
如图，若点在边上，且：：，请在边上确定一点，使得：：；
如图，若点在内，过点作线段，在边上，在边上，满足：：．
 

27.  本小题分
已知正方形的顶点在等腰的斜边所在的直线上．
如图，当点在斜边上时，连接．
求的度数；
探究线段，，三者之间的数量关系，并说明理由；
如图，当点在斜边的延长线上时，探究线段，，三者之间的数量关系，并说明理由．
 

28.  本小题分
若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“最值差函数”．
函数；；其中函数______是在上的“最值差函数”；填序号
已知函数：．
当时，函数是在上的“最值差函数”，求的值；
函数是在为整数上的“最值差函数”，且存在整数，使得，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：．
利用有理数的加法，乘法，绝对值以及乘方法则分别计算即可判断．
此题考查了有理数的加法，乘法，乘方以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
不能合并，故选项B错误，不符合题意；
不能化简，是最简二次根式，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：“扬州市邗江区明天的降水概率为”表示“邗江区明天下雨的可能性较大”，
故选：．
根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答．
本题主要考查了概率反映随机事件出现的可能性大小，掌握相关概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：

故选：．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，
方程有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B.，
，，，
，
方程没有实数根，选项B不符合题意；
C.，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D.，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：．
根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式可求出各方程的根的判别式的值，取的选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、如图，两个角都是，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意；
B、如图，两个角都是，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
C、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
D、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
故选：．
根据对顶角的概念、假命题的概念解答即可．
本题考查的是命题与定理以及假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
不等式的解集为：或，
故选：．
根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式的解集，此题得解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图形可知：
甲和乙的动手操作能力都是分，即最高等级，故合理；
甲的探索学习的能力为分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故合理；
甲与他人的沟通和合作能力为分，乙与他人的沟通和合作能力为分，故乙与他人的沟通和合作能力弱于甲，故合理；
甲的各项得分为，，，，；乙的各项得分为，，，，，乙的综合评分比甲要高分，故合理．
综上，合理的选项有．
故选：．
根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可．
本题考查了统计图表，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解： 用科学记数法表示为．
故答案为：．
用科学记数法表示绝对值大于的数，将原数化为的形式，其中，为整数，的值等于把原数变为时小数点移动的位数．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为，其中，为整数是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提取公因数，再利用完全平方公式即可直接分解．
本题考查运用完全平方公式分解因式，熟记其公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
比大且比小的整数为，
故答案为：．
用夹逼法，估算出和的大小，即可进行解答．
本题考查无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把点代入得：，
把点代入得：
，
把点代入得：
，
，
，
故答案为：．
将点，，代入分别求出、、的值，再进行比较即可．
本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
得：
，
，
的值是，
故答案为：．
把两个方程相加即可求出的值，然后进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：边，的中点为点、，
是的中位线，，
点，的横坐标分别是，，
，
，
点的横坐标为．
故答案为：．
由、的横坐标求出线段的长度，结合中位线的定义和性质，得出的长度，从而得到点的横坐标．
本题主要考查了中位线定义和性质应用，解题的关键是由点、的横坐标求出线段的长度．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
对角线绕点顺时针旋转的度数，点旋转后的对应点为，
的长度为
故答案为：
先根据正方形的性质得到，，然后利用弧长公式计算的长度．
本题考查了弧长的计算：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了正方形的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：幻方右下角的数字为，
幻方第二行中间的数字为．
依题意得：，
解得：．
故答案为：．
利用幻方中每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是，可求出幻方右下角及第二行中间的数字，再利用幻方中对角线上的数字之和为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及数字常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：
由作图得：垂直平分，设交于，
则：，，
，
，
，
在菱形中，有，
，
故答案为：．
先根据三角函数值求出菱形的边长，再根据三角形的面积公式求解．
本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质和菱形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出的外接圆进行推理计算是解题的关键。作的外接圆，求出当时，是直径最长；当时，是等边三角形，，根据进行解答即可；
【解答】
解：作的外接圆，如图所示：

，，
当时，是直径且最长，
，
，
设圆心为点，连接，
且，
为等边三角形，
，
，，


当时，是等边三角形，，
，
长的取值范围是
故答案为  

19.【答案】解：原式；
原式

． 

【解析】先将锐角三角函数，二次根式，负整数次幂化简，再进行计算即可；
先将括号里面的进行通分，再按照分式混合运算的运算法则和运算顺序进行计算即可．
本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算顺序和运算法则，准确进行计算．
 

20.【答案】解：
解不等式，得，
解不等式，得．
原不等式组的解集为，
则的所有整数解为，，． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：由直方图中的数据可知，
中位数是这一组第一个和第二个数的平均数，
故，
故答案为：；
甲同学属于八年级，因为甲同学的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，故甲同学属于八年级；
由频数分布直方图可得，
在这次测试中，八年级达到“优秀”的人数有人．
根据题意和直方图中的数据，可以求得的值；
根据表格中的数据，可以得到甲同学属于哪个年级，并说明理由；
根据题目中的数据和直方图中的数据，可以得到在这次测试中，八年级达到“优秀”的人数．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】 

【解析】解：由题意知，个西瓜中重量在公斤以上的有个，
王先生下单只买一个西瓜，收到的西瓜重量符合卖家宣传的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中他收到的西瓜重量符合卖家宣传的结果有，，，，，，共种，
他收到的西瓜重量符合卖家宣传的概率为．
直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及他收到的西瓜重量符合卖家宣传的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设自行车的平均速度是每小时千米．则大巴士的平均速度是每小时千米．
由题意：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：自行车的平均速度是每小时千米，大巴士的平均速度是每小时千米． 

【解析】设自行车的平均速度是每小时千米．则大巴士的平均速度是每小时千米．由题意：学校组织学生到距离为千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自行车先走，分钟后其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
连接，交于点，

，四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形． 

【解析】由“”可证≌；
先证四边形是菱形，，，，可得，即可得结论．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

25.【答案】证明：连结交于点，
是的中点，
，
，
，
是半圆的切线；
解：，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接、，由，点是的中点，推出，又，推出，即可证明是的切线；
通过证得∽，根据相似三角形的性质求得，然后根据勾股定理即可求得．
本题考查了切线的判定和性质，垂径定理以及勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图，点即为所求．


如图，点即为所求．


如图，线段即为所求．
 

【解析】连接交于点，点即为所求．
过点作交于，点即为所求．
延长到，使得，过点作交于点，连接，延长交于，线段即为所求．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平行线分线段成本定理定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

27.【答案】解：如图，四边形是正方形，
，，
，，
，，
在和中，
，
≌，
．
，
理由：如图，，，
，
由得≌，
，
，
．
，
理由：如图，四边形是正方形，
，，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】由四边形是正方形得，，由，得，，即可证明≌，得；
由勾股定理得，由≌得，则；
由勾股定理得，由四边形是正方形得，，由，得，即可证明≌，得，则．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：对于，
当时，，
当时，，
，不符合题意；
对于，
当时，，
当时，，
，符合题意；
对于，
当时，，
当时，，
，不符合题意；
故答案为：；

当时，二次函数：为，对称轴为直线．
当时，，
当时，，
当时，．
若，则，解得舍去；
若，则，解得舍去，；
若，则，解得，舍去；
若，则，解得舍去．
综上所述，或；
二次函数的对称轴为直线，
又，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时取得最大值，时取得最小值，
，
，为整数，且，
的值为，
又，
，
．
根据概念分别将；；的最大值，最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案；
分别求出、、时的值，再分号、、进行讨论，即可得出的值；
由，可得出，即可知，此时在抛物线的对称轴右侧，随的增大而增大，即可得出的表达式，再根据为整数，求出的值，即可求出的值．
此题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，新定义问题，解题的关键是分类讨论，分析在一定范围内的最值问题，属于中考压轴题．