2024年江苏省扬州市邗江区京华梅岭中学中考数学三模试卷

这是一份2024年江苏省扬州市邗江区京华梅岭中学中考数学三模试卷，共30页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a+7a＝7a2B．7a﹣a＝6
C．a3•a3＝2a3D．（ab）5÷（ab）2＝a3b3
3．（3分）下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．55°B．65°C．70°D．75°
5．（3分）不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．如图显示了用计算机模拟实验的结果．
若盒子中共装60个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球的个数是（ ）
A．14B．21C．24D．39
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点（2，2）是一个光源，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1），则木杆AB在x轴上的投影A'B'长为（ ）
A．2B．3C．5D．6
7．（3分）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）2024年春节假期扬州市接待游客850万人次，同比增长78%，旅游总收入67.7亿元．将数据67.7亿用科学记数法表示为 ．
10．（3分）分解因式：x﹣2x2+x3＝ ．
11．（3分）请写出一个含字母x和y，系数为3，次数为3的单项式： ．
12．（3分）若点（m，n）在第二象限，则点（n+1，m）在第 象限．
13．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，则清酒 斗．
14．（3分）若a，b为连续整数，且，则a+b＝ ．
15．（3分）“栖灵塔”位于扬州瘦西湖畔，诗仙李白一句“宝塔凌苍苍，登攀览四荒”道出宝塔的气势磅礴．某数学兴趣小组用无人机测量“栖灵塔”AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面163m的P点，测得“栖灵塔”顶端A的俯角为37°，再将无人机面向“栖灵塔”沿水平方向飞行210m到达Q点，测得“栖灵塔”顶端A的俯角为45°，则“栖灵塔”AB的高度约为 .（结果精确到1m，参考数据：，，
16．（3分）如图，已知在菱形ABCD中，∠A＝30°，以点A、B为圆心，取大于AB的长为半径，分别作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，若AE＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
17．（3分）如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y＝（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝（k≠0）上的点D1处，则a＝ ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为 ．
三.解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）
19．（8分）计算：．
20．（8分）解不等式组：，并写出所有非正整数解．
21．（8分）6月初京华梅岭中学为学生开展了“对校园霸凌说不!”的安全教育活动，组织了七、八年级学生学习《防治中小学生欺凌和暴力相关条例》，并进行了相关安全知识的测试．学校从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分：100分．成绩用x表示，共分为五组：A组，50≤x＜60；B组，60≤x＜70；C组，70≤x＜80；D组，80≤x＜90；E组，90≤x≤100）进行整理、描述和分析，信息如下：
b．七年级测试成绩在C组的数据分别是：73 75 75 75 77 78 79 79．
c．七、八年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为 ；八年级测试成绩扇形图中E所对应的圆心角度数为 °．
（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级学生的测试成绩更好？请说明理由．
（3）若学校七年级学生有1400名，八年级学生有1300名，估计这两个年级本次测试成绩不低于80分的学生总人数．
22．（8分）2024年4月21日西咸新区半程马拉松赛拉开帷幕，万名跑友齐聚昆明池激情开跑．同时，场外一群默默奉献的志愿者为赛事保驾护航．大学生慕梓睿和走走报名参加赛事志愿者，两人根据组委会安排，随机参加以下四项志愿者工作中的任意一项：A．赛道指引，B．集结检录，C．物资发放，D．人群疏散．
（1）慕梓睿被随机安排参加“B．集结检录”志愿者工作的概率为 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求慕梓睿和走走中至少有一人被随机安排参加“A．赛道指引”志愿者工作的概率．
23．（10分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种20%，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48稞．实际每天种多少棵树？
本题所列的方程可以是：①；②．
（1）x表示的实际意义是 ，y表示的实际意义是 ．
（2）选择其中一种方程解答此题．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥CE，∠ADC的角平分线DE交AB于点E，连接CE、AC，AC交DE于点O．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，CD＝5，求AB的长．
25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ADC，AD＝6，，求AB的长．
26．（10分）农华公司以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农华公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润W元最大？
（3）若农华公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当20≤x≤25时，农经公司的日获利Q元的最大值为1215元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）
27．（12分）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联…
【模型认识】
（1）如图①，在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AC，AE，△ABC∽△AED．
（Ⅰ）求证：AC•AE＝AB•AD；
（Ⅱ）∠BCD与∠CAD满足的数量关系为 ；
【初步理解】
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在△ABC外，AD＝AB，连接DA并延长到点E，AE＝AD，点N在AC上，DN交AB于点M，∠DNE＝∠BAD＝45°．
求证：S△AMN＝．
【问题解决】
（3）如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D在△ABC外，D到A的距离等于AB．过点D作直线l，使l分别交AB，AC于点M，N，且平分△ABC的面积．
（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
28．（12分）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足a1≠0，a2≠0，|a1+a2|+＝0，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式；
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，﹣4≤y2≤4，求a，c的值；
（3）关于x的函数y1＝ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从右往左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，是否存在b使得AMDN为矩形？
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）
1．（3分）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
【解答】解：∵，
故选：C．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a+7a＝7a2B．7a﹣a＝6
C．a3•a3＝2a3D．（ab）5÷（ab）2＝a3b3
【解答】解：∵a+7a＝8a，
∴选项A不符合题意；
∵7a﹣a＝6a，
∴选项B不符合题意；
∵a3•a3＝a6，
∴选项C不符合题意；
∵（ab）5÷（ab）2＝a3b3，
∴选项D符合题意，
故选：D．
3．（3分）下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、主视图和左视图都为矩形的，所以A选项正确；
B、主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项错误；
C、主视图为矩形，左视图为圆，所以C选项错误；
D、主视图是矩形，左视图为三角形，所以D选项错误．
故选：A．
4．（3分）将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．55°B．65°C．70°D．75°
【解答】解：如图，
由题意可得：∠CAE＝90°，∠ACF＝45°，
∵∠1＝25°，
∴∠BAC＝∠1+∠CAE＝115°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝65°，
∴∠3＝180°﹣∠ACD﹣∠ACF＝70°．
故选：C．
5．（3分）不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．如图显示了用计算机模拟实验的结果．
若盒子中共装60个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球的个数是（ ）
A．14B．21C．24D．39
【解答】解：随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，
∴60×0.35＝21，
故选：B．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点（2，2）是一个光源，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1），则木杆AB在x轴上的投影A'B'长为（ ）
A．2B．3C．5D．6
【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即，
∴A′B′＝6．
故选D．
7．（3分）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝0，
∴图象与x轴交于点（﹣1，0），
故选：D．
8．（3分）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．
由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．
∴∠BEP+∠AEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠BEP＝∠AGE．
∵∠FGQ＝∠AGE，
∴∠BEP＝∠FGQ．
∵∠B＝∠F＝90°，
∴△PBE∽△QFG．
故①正确；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
，
∴△BEC≌△MEC（AAS）．
∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．
∵CG＝CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），
∴S△CMG＝S△CDG，
∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，
∴②不正确；
③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
即EC平分∠BEG．
∴③正确；
④连接DH，MH，HE，如图，
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，
∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP＝45°．
∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．
由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，
∴EH⊥CG．
∴EG2﹣EH2＝GH2．
由折叠可知：EH＝CH．
∴EG2﹣CH2＝GH2．
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC＝∠EHC＝90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC＝∠HEC＝45°．
在△CMH和△CDH中，
，
∴△CMH≌△CDH（SAS）．
∴∠CDH＝∠CMH＝45°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠GDH＝45°，
∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，
∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．
∵∠HGQ＝∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴＝，
∴GH2＝GQ•GD，
∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故选：B．
二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）2024年春节假期扬州市接待游客850万人次，同比增长78%，旅游总收入67.7亿元．将数据67.7亿用科学记数法表示为 6.77×109 ．
【解答】解：67.7亿＝6770000000＝6.77×109，
故答案为：6.77×109．
10．（3分）分解因式：x﹣2x2+x3＝ x（1﹣x）2 ．
【解答】解：原式＝x（1﹣2x+x2）
＝x（1﹣x）2，
故答案为：x（1﹣x）2．
11．（3分）请写出一个含字母x和y，系数为3，次数为3的单项式： 3x2y（答案不唯一） ．
【解答】解：3x2y是一个含字母x、y，系数为3，次数为3的单项式，
故答案为：3x2y（答案不唯一）．
12．（3分）若点（m，n）在第二象限，则点（n+1，m）在第 四 象限．
【解答】解：∵点（m，n）在第二象限，
∴m＜0，n＞0，
∴n+1＞0，
∴点（n+1，m）在第四象限．
故答案为：四．
13．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，则清酒 斗．
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
根据题意得：10x+3（5﹣x）＝30，
解得x＝，
∴清酒斗．
故答案为：．
14．（3分）若a，b为连续整数，且，则a+b＝ 11 ．
【解答】解：∵25＜35＜36，
∴5＜＜6，
∴a＝5，b＝6，
即a+b＝11．
故答案为：11．
15．（3分）“栖灵塔”位于扬州瘦西湖畔，诗仙李白一句“宝塔凌苍苍，登攀览四荒”道出宝塔的气势磅礴．某数学兴趣小组用无人机测量“栖灵塔”AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面163m的P点，测得“栖灵塔”顶端A的俯角为37°，再将无人机面向“栖灵塔”沿水平方向飞行210m到达Q点，测得“栖灵塔”顶端A的俯角为45°，则“栖灵塔”AB的高度约为 73m .（结果精确到1m，参考数据：，，
【解答】解：延长BA交PQ于点C，
由题意得：BC⊥PQ，BC＝163m，PQ＝210m，
设PC＝x m，
∴CQ＝PQ﹣PC＝（210﹣x）m，
在Rt△APC中，∠APC＝37°，
∴AC＝PC•tan37°≈x（m），
在Rt△ACQ中，∠AQC＝45°，
∴AC＝CQ•tan45°＝（210﹣x）m，
∴x＝210﹣x，
解得：x＝120，
∴AC＝210﹣x＝90（m），
∴AB＝BC﹣AC＝163﹣90＝73（m），
∴“栖灵塔”AB的高度约为73m，
故答案为：73m．
16．（3分）如图，已知在菱形ABCD中，∠A＝30°，以点A、B为圆心，取大于AB的长为半径，分别作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，若AE＝2，则菱形ABCD的面积为 6 ．
【解答】解：
由作图得：MN垂直平分AB，设MN交AB于F，
则：AF＝AB，∠AFE＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AF＝AEcsA＝，
∴AB＝2，
在菱形ABCD中，有AD＝AB＝2，
过点D作DH⊥AB于H，
在Rt△ADH中，AH＝AD＝，
∴S菱形ABCD＝2S△ABD＝2×××＝6，
故答案为：6．
17．（3分）如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y＝（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝（k≠0）上的点D1处，则a＝ 2 ．
【解答】解：对于直线y＝﹣3x+3，
令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝1，即A（0，3），B（1，0）．
过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠ABO+∠EBC＝90°，
∴∠OAB＝∠EBC．
在△AOB和△BEC中，∠AOB＝∠BEC＝90°，∠OAB＝∠EBC，AB＝BC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝1，
∴C（4，1）．
把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即y＝，
同理得到△DFA≌△BOA，
∴DF＝BO＝1，AF＝AO＝3，
∴D（3，4），
把y＝4代入反比例解析式得x＝1，即D1（1，4），
则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝（k≠0）上的点D1处，即a＝2．
故答案为：2．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为 ．
【解答】解：∵△ABC∽△CAD，
∴＝，
∵AB＝3，
∴＝，
∴CD＝AC2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2，
∴CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2，
设BC＝x，
∴BC+CD＝x+3﹣x2
＝﹣+
∴x＝时，BC+CD的最大值为．
故答案为：．
三.解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）
19．（8分）计算：．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝．
20．（8分）解不等式组：，并写出所有非正整数解．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
∴不等式组的非负整数解有﹣1，0、1．
21．（8分）6月初京华梅岭中学为学生开展了“对校园霸凌说不!”的安全教育活动，组织了七、八年级学生学习《防治中小学生欺凌和暴力相关条例》，并进行了相关安全知识的测试．学校从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分：100分．成绩用x表示，共分为五组：A组，50≤x＜60；B组，60≤x＜70；C组，70≤x＜80；D组，80≤x＜90；E组，90≤x≤100）进行整理、描述和分析，信息如下：
b．七年级测试成绩在C组的数据分别是：73 75 75 75 77 78 79 79．
c．七、八年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中m的值为 75 ；八年级测试成绩扇形图中E所对应的圆心角度数为 72 °．
（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级学生的测试成绩更好？请说明理由．
（3）若学校七年级学生有1400名，八年级学生有1300名，估计这两个年级本次测试成绩不低于80分的学生总人数．
【解答】解：（1）由题意得：m＝＝75．
八年级测试成绩扇形图中E所对应的圆心角度数为：360°×（1﹣35%﹣5%﹣30%﹣10%）＝72°．
故答案为：75；72；
（2）八年级学生的测试成绩更好，理由如下：
因为八年级学生的测试成绩的平均数和中位数均高于七年级，所以八年级学生的测试成绩更好；
（3）1400×+1300×（1﹣5%﹣35%﹣30%）＝350+390＝740（人），
答：估计这两个年级本次测试成绩不低于80分的学生人数大约为740人．
22．（8分）2024年4月21日西咸新区半程马拉松赛拉开帷幕，万名跑友齐聚昆明池激情开跑．同时，场外一群默默奉献的志愿者为赛事保驾护航．大学生慕梓睿和走走报名参加赛事志愿者，两人根据组委会安排，随机参加以下四项志愿者工作中的任意一项：A．赛道指引，B．集结检录，C．物资发放，D．人群疏散．
（1）慕梓睿被随机安排参加“B．集结检录”志愿者工作的概率为 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求慕梓睿和走走中至少有一人被随机安排参加“A．赛道指引”志愿者工作的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中慕梓睿被随机安排参加“B．集结检录”志愿者工作的结果有1种，
∴慕梓睿被随机安排参加“B．集结检录”志愿者工作的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中慕梓睿和走走中至少有一人被随机安排参加“A．赛道指引”志愿者工作的结果有：AA，AB，AC，AD，BA，CA，DA，共7种，
∴慕梓睿和走走中至少有一人被随机安排参加“A．赛道指引”志愿者工作的概率为．
23．（10分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种20%，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48稞．实际每天种多少棵树？
本题所列的方程可以是：①；②．
（1）x表示的实际意义是 原计划每天种树的棵数 ，y表示的实际意义是 实际种树的天数 ．
（2）选择其中一种方程解答此题．
【解答】解：（1）∵青年志愿者的支援，每天比原计划多种20%，
∴方程①中的x表示的实际意义是原计划每天种树的棵数，（1+20%）x表示的实际意义是实际每天种树的棵数；
∵青年志愿者的支援，提前1天完成任务，
∴方程②中的y表示的实际意义是实际种树的天数，y+1表示的实际意义是原计划种树的天数．
故答案为：原计划每天种树的棵数，实际种树的天数；
（2）选择方程①＝﹣1，
∴480+48＝480×（1+20%）﹣（1+20%）x，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴实际每天种40棵树；
选择方程②＝（1+20%）•，
∴（480+48）（y+1）＝（1+20%）×480y，
解得：y＝11，
经检验，y＝11是所列方程的解，且符合题意，
∴＝＝40（棵），
∴实际每天种40棵树．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥CE，∠ADC的角平分线DE交AB于点E，连接CE、AC，AC交DE于点O．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，CD＝5，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DE是∠ADC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
又∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴平行四边形AECD是菱形．
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴AE＝CD＝5，
∵点E是AB的中点，
∴AB＝2AE＝2×5＝10．
25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ADC，AD＝6，，求AB的长．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AC是⊙O的直径，CE⊥AC，
∴∠ADC＝∠ACE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∵点F为CE的中点，
∴DF＝CF＝EF＝CE，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠FCD＝∠ACE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：∵AD＝6，∠ACD＝∠E＝90°﹣∠CAE，
∴＝tan∠ACD＝tan∠E＝，
∴CD＝AD＝×6＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵BD平分∠ADC，
∴∠BDA＝∠BDC，
∵∠BCA＝∠BDA，∠BAC＝∠BDC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝CB，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝AB＝2，
∴AB＝，
∴AB的长是．
26．（10分）农华公司以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农华公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润W元最大？
（3）若农华公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当20≤x≤25时，农经公司的日获利Q元的最大值为1215元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）
【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，
则，
解得：k＝﹣15，b＝450，
∴p＝﹣15x+450，
检验：当x＝15，p＝225；当x＝20，p＝150；当x＝25，p＝75，符合一次函数解析式；
（2）设日销售利润w＝p（x﹣10）＝（﹣15x+450）（x﹣10）
即w＝﹣15x2+600x﹣4500，
∴当x＝﹣＝20时，w有最大值1500元，
故这批农产品的销售价格定为20元，才能使日销售利润最大；
（3）日获利Q＝p（x﹣10﹣a）＝（﹣15x+450）（x﹣10﹣a），
即w＝﹣15x2+（600+15a）x﹣（450a+4500），
对称轴为x＝﹣＝20+a，
①若a≥10，则当x＝25时，Q有最大值，
即q＝1125﹣75a＜1215（不合题意）；
②若0＜a＜10，则当x＝20+a时，Q有最大值，
将x＝20+a代入，可得Q＝a2﹣150a+1500，
当Q＝1215时，a2﹣150a+1500＝1215，
解得a1＝2，a2＝38（舍去），
综上所述，a的值为2．
27．（12分）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联…
【模型认识】
（1）如图①，在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AC，AE，△ABC∽△AED．
（Ⅰ）求证：AC•AE＝AB•AD；
（Ⅱ）∠BCD与∠CAD满足的数量关系为 ∠BCD+∠CAD＝180° ；
【初步理解】
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在△ABC外，AD＝AB，连接DA并延长到点E，AE＝AD，点N在AC上，DN交AB于点M，∠DNE＝∠BAD＝45°．
求证：S△AMN＝．
【问题解决】
（3）如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D在△ABC外，D到A的距离等于AB．过点D作直线l，使l分别交AB，AC于点M，N，且平分△ABC的面积．
（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
【解答】解：（1）（Ⅰ）∵△ABC∽△AED，
∴，
∴AC•AE＝AB•AD；
（Ⅱ）∵△ABC∽△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，∠B＝∠AED，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE＝∠CAD，∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠B+∠AEC＝180°，
又∵∠B+∠AEC+∠BCD+∠BAE＝360°，
∴∠BCD+∠BAE＝180°，
∴∠BCD+∠CAD＝180°，
故答案为：∠BCD+∠CAD＝180°．
（2）∵∠BAC＝90°，∠DNE＝∠BAD＝45°，
∴∠NAE＝∠DAM＝45°，∠DAN＝45°+90°＝135°，
∵∠D+∠DNA＝180°﹣135°＝45°，∠DAN+∠ANE＝∠DNE＝45°，
∴∠D＝∠ANE，
∴△DMA∽△NEA，
∴，
∴，
∴；
（3）具体作法分成两个步骤：第一步：如图①，确定点E的位置．
作∠CAE＝∠BAD，AE＝AC，确定点E的位置．
第二步：如图②，确定点N的位置（∠DNE为定角，等于90°﹣∠BAD），作∠EDO＝∠BAD，射线DO与DE的垂直平分线交于点O，以O为圆心，以OD长为半径作圆，交AC于点N，过点D、N作直线l交AB于点M，即直线l即为所求．
28．（12分）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足a1≠0，a2≠0，|a1+a2|+＝0，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式；
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，﹣4≤y2≤4，求a，c的值；
（3）关于x的函数y1＝ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从右往左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，是否存在b使得AMDN为矩形？
【解答】解：（1）∵，
则a1＝﹣a2，b1＝b2，c1＝﹣c2，
则y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）y＝ax2+2ax+c的“回旋”函数为：y＝﹣ax2+2ax﹣c，
由y＝ax2+2ax+c知，其顶点坐标为：（﹣1，c﹣a），
将该点代入y＝﹣ax2+2ax﹣c得：c﹣a＝﹣a﹣2a﹣c，
解得：a＝﹣c，
则函数的表达式为：y＝﹣a（x﹣1）2+2a，
即﹣1≤x≤2时，﹣4≤y2≤4，
当a＞0时，
当x＝1时，y＝﹣a（x﹣1）2+2a＝2a＝4，
解得：a＝2，则c＝﹣2；
当a＜0时，
当x＝1时，y＝﹣a（x﹣1）2+2a＝2a＝﹣4，
解得：a＝﹣2，则c＝2；
综上，a＝2，c＝﹣2或a＝﹣2，c＝2；
（3）如下图：
设点A、B、C、D的横坐标分别为：x1，x2，x3，x4，Δ＝b2﹣4ac，
则点M的坐标为：且x1，，点N的坐标为：且x3，，
则，，
则，
当四边形AMDN为矩形时，则∠ADN＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
在Rt△ADN中，，
则NH2＝AH•DH，
而，，
同理可得：，
则，
将代入上式得：b＝0（舍去）或6，
即b＝6时，四边形AMDN为矩形．平均数
中位数
众数
七年级
75
m
75
八年级
77
76
76
销售价格x（元/千克）
10
15
20
25
30
日销售量p（千克）
300
225
150
75
0
平均数
中位数
众数
七年级
75
m
75
八年级
77
76
76
销售价格x（元/千克）
10
15
20
25
30
日销售量p（千克）
300
225
150
75
0