2021-2022学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    在中，画出边上的高，画法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    医护人员身穿防护服，化身暖心“大白”到某校进行核酸检测．若每名“大白”检测人，则有一名“大白”少检测人；若每名“大白”检测人，则余下人．设该校共有师生人，有名“大白”来学校检测，根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

5.    若，，，，则、、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    下列选项中，可以用来说明“若，则”是假命题的反例是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.    一把直尺和一块直角三角尺含、角如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边、分别交于点、点，直尺的另一边过点且与三角尺的直角边交于点，若，则度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中，分别是稻叶的长和宽如图，是常数，则由图可知______填“”“”或“”试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长如图，大致都在稻叶的处“收尖”根据图进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中的值约为_______结果保留小数点后两位下列正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

9.    写出命题“如果，那么”的逆命题是：______．
10. 疾控中心实验室从一名新型冠状病毒感染者体中检测出该病毒直径大约是毫米，数据用科学记数法表示为______．
11. 多边形的每一个外角为，那么多边形的边数为______．
12. 三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是______．
13. 已知代数式是完全平方式，则______．
14. 已知是方程的解，则______．
15. 如图，在五边形中，，，分别平分，，则的度数是______．

16. 若关于的不等式组的解有且只有个整数解，则的取值范围是______．
17. 如图，在中，、是中线，若四边形的面积是，则的面积为______．

18. 在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如；
    已知，则的值是______．

三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    因式分解：
    ；
    ．
21. 本小题分
    解方程组：．
    解不等式组：将解集表示在数轴上．

22. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
23. 本小题分
    在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点网格线的交点上．
    画出先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的；
    画出的边上的高；
    找要求各顶点在格点上，不与点重合，使其面积等于的面积．满足这样条件的点共______个．

24. 本小题分
    如图，在四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．
    求证：；
    若平分，，，求的度数．

25. 本小题分
    已知：，．
    计算：；
    若的值与的取值无关，求的值．
26. 本小题分
    某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后，统计发现，若盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元．
    每盆种盆景、种盆景的利润各是多少元？
    为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植种、种盆景的总数量盆，若要求第二期种盆景的数量不超过种盆景数量的倍，当种、种盆景各多少盆时，总利润最高，最高利润是多少？
27. 本小题分
    完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值；
    解：因为，所以，即：，又因为，所以．
    根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
    若，，求的值；
    填空：若，则______；
    若，则______．
    如图，在长方形中，，，点是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为平方单位，求图中阴影部分的面积和．

28. 本小题分
    “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．
    若，求的大小；
    作交于点，且满足，当时，试说明：；
    在问的条件下，探照灯、照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，光线转至射线后立即以相同速度顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当光线回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，为何值时光线与光线互相平行或垂直，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：移项得，，
故此不等式的解集为：，
在数轴上表示为：
．
故选：．
先求出不等式的解集，在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线，垂足为，
纵观各图形，都不符合高线的定义，
符合高线的定义．
故选：．
根据高的定义对各个图形观察后解答即可．
本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：每名“大白”检测人，则有一名“大白”少检测人，
；
每名“大白”检测人，则余下人，
．
可列方程组．
故选：．
根据“每名“大白”检测人，则有一名“大白”少检测人；每名“大白”检测人，则余下人”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，，
、、、的大小关系是：．
故选：．
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当，时，，但，
故选：．
反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子．
本题考查了命题与定理，理解反例的概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
先根据平行线的性质求出，再根据三角形的内角和等于即可求出．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和等于，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可知，矩形的面积大于叶的面积，即，
，
，
由图可知，叶片的尖端可以近似看作等腰三角形，
稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，
矩形的长为，等腰三角形的高为，稻叶的宽为，
，
故选：．
根据矩形的面积大于叶的面积，即，可得，再把叶片的尖端可以近似看作等腰三角形，则稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，再求出的大约值即可．
本题主要考查数据的处理及应用，熟练掌握不等式的性质，理清题意，准确找出等量关系时解答此题的关键．
 

9.【答案】如果，那么． 

【解析】解：命题“如果”，那么“”的逆命题是：如果，那么，
故答案为：如果，那么．
先找出命题的题设和结论，再说出即可．
本题考查了命题与定理的应用，能理解命题的有关内容是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：多边形的边数为：，
故答案为：．
根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
即．
故答案为：．
根据三角形的三边关系，即可求解．
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
故答案为：．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入方程中，得
，
解得．
故答案为：．
知道了方程的解，可以把这组解代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程．
 

15.【答案】 

【解析】解：五边形的内角和等于，，
，
、的平分线在五边形内相交于点，
，
．
故答案为：．
根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数．
本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
不等式组有且只有个整数解，
，整数解为，，，，
则的范围是．
故答案为：．
表示出不等式组的解集，根据题意确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，
和为的中线，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
利用三角形中线的定义和三角形面积公式得到，从而得到，进一步证得，从而求得．
本题考查了三角形的面积，三角形的中线把三角形分成面积相等两部分是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由知，
，
，
即，
，
，
故答案为：．
观察已知可得，列出算术可得的值，即可得到答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是理解求和符号“”的意义，求出，的值．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，最后算加减即可；
先算积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法，最后合并同类项即可．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】原式利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为．． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

22.【答案】解：

，
，
，
，，
，，
当，时，原式

． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求；

如图所示，线段即为所求；
如图，满足这样条件的点共有个，
故答案为：．
根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
取格点连接交于点，线段即为所求；
利用等底等高的两三角形面积相等即可求解．
本题考查了作图平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，

已知，
两直线平行，内错角相等．
，
等量代换．
同位角相等，两直线平行．
解：已知，
两直线平行，同旁内角互补．
已知，
．
平分已知，
．
．
在中，，，
． 

【解析】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质及角平分线的性质．
由知，结合得，据此即可得证；
由、知，再根据平分线定义及知，由三角形的内角和定理可得答案．
 

25.【答案】解：


；
，
又的值与的取值无关，
，
． 

【解析】利用去括号的法则去掉括号再合并同类项即可；
令的系数的和为，即可求得结论．
本题主要考查了整式的加减，正确利用去括号的法则进行运算是解题的关键．
 

26.【答案】解：设每盆种盆景的利润分别为元，每盆种盆景的利润各元，
由题意得：
解得：，
答：每盆种盆景的利润为元，每盆种盆景的利润为元；
设第二期种盆景盆，种盆景盆，利润为
由题意得：，
由可得：代入，
得：，
，
随的增大而减小，
当时，最大，
盆，盆时，元，
答：第二期种盆景盆，种盆景盆，利润最大，最大总利润是元． 

【解析】设每盆种盆景的利润分别为元，每盆种盆景的利润各元，由题意得二元一次方程组，求解即可；
设第二期种盆景盆，种盆景盆，利润为由题意得：，然后把代入，转化为一次函数在时求最值即可．
本题考查了一元一次不等式、一次函数和二元一次方程组在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：，
．
令，，
则，，
，
，
故答案为：．
令，，
则，，
，
，
故答案为：．
由题意得：，
令，，
则：，，
，
，
所以阴影部分的面积和为平方米．
利用完全平方公式的变形求解；
利用完全平方公式的变形，结合引入新参数简化计算；
理解题意，转化问题，再利用完全平方公式的变形求解．
本题考查了完全平方公式，公式的变形是解题的关键．
 

28.【答案】解：，，
，，
，
平分，
，
；
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
当时，则，如图，

，
，
，
由题意，，，
，
；
当时，则，如图，

，
，
，
，
，
；
当时，则，如图，

，
，
，
，
；
当时，则，如图，

由题意，，，
，
，
，
，
；
当时，，如图，

，
，
，
．

综上，的值为或或或或 

【解析】利用平行线的性质和角平分线的性质可解；
通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可；
分五种情况画图，列出关于的式子即可解答．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．