2023年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团中考数学二模试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共8小题,共24.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.下列式子的运算结果是负数的是( )
A. B. C. D.
2.下面图形是用数学家名字命名的,其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.化简的结果是( )
A. B. C. D.
4.某同学制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度,方法如下:将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上,使量角器的刻度线与三角板的底边平行将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在五角器中心点处,现将三角板底边紧贴被测物体表面,如图所示,此时重锤线在量角器:对应的刻度为,那么被测物体表面的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5.孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书大约在一千五百年前.其中一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步.问人与车各几何?”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐人,则空余两辆车;若每辆车乘坐人,则有人步行.问人与车各多少?设有人,辆车,可列方程组为( )
A. B. C. D.
6.众志成城,抗击疫情,救助重灾区.某校某小组名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区,他们捐款的数额分别是单位:元:,,,,,,下面有四个推断:
这名同学所捐的零花钱的平均数是;
这名同学所捐的零花钱的中位数是;
这名同学所捐的零花钱的众数是;
由这名同学所捐的零花钱的中位数是,可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是.
所有合理推断的序号是( )
A. B. C. D.
7.如图是某台阶的一部分,每一级台阶的宽度和高度之比为:,在如图所示的平面直角坐标系中,点的坐标是,若直线同时经过点,,,,,则与的乘积为( )
A. B. C. D.
8.关于的二次函数为整数,当时,随的增大而减小,则常数满足的条件是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)
9.年扬州鉴真国际半程马拉松赛报名通道于月日上午点开启,截止当日点,就报名成功了约人,数据用科学记数法表示为______ .
10.因式分解:______.
11.根据表格估算 ______ 精确到
12.等腰三角形周长为,腰长的范围是______ .
13.一圆锥的母线长为,它的侧面展开图的圆心角为,则这个圆锥的侧面积为______ .
14.如图,矩形中,,,点在边上,且,点,分别是、的中点,则 ______ .
15.如图,已知的半径为,是直径,分别以点、为圆心,以的长为半径画弧两弧相交于、两点,则图中阴影部分的面积是______ .
16.锐角、满足,,则 ______ .
17.如图,抛物线与轴交于点,交轴正半轴于,直线过,是抛物线第一象限内一点,过点作轴交直线于点,则的最大值为______ .
18.如图,,线段的两个端点分别在射线、上滑动,且,以为直角边在点的异侧作,且,,问滑动过程中的最大值为______ .
三、解答题(本大题共10小题,共96.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19.本小题分
计算:
;
.
20.本小题分
解不等式组,并写出的所有整数解.
21.本小题分
在“世界读书日”前夕,学校开展了“共享阅读,向上人生”的读书活动活动中,为了解学生对书籍种类:艺术类,:科技类,:文学类,体育类的喜欢情况,在全校范围内随机抽取若干名学生,进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图.
这次调查中,一共调查了______ 名学生?
求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数,并补全条形统计图;
若全校有名学生,请估计喜欢科技类的学生有多少名?
22.本小题分
将数,,分别写在三张相同的不透明卡片上的正面,将卡片洗匀后背面朝上置于桌面,甲乙两个同学从中随机各抽取一张卡片注:第一个同学抽取到的卡片不放回.
甲同学抽到的卡片上数字是的概率是______ ;
求甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的概率用画树状图或列表的方法求解
23.本小题分
如图,四边形中,,过点作交于点,点为边上一点且,连接.
求证:四边形为矩形:
若,,,求的长.
24.本小题分
某校甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加研学活动,此基地距离该校千米,甲班的甲车出发分钟后,乙班的乙车才出发,为了比甲车早到分钟,乙车的平均速度是甲车的平均速度的倍,求乙车的平均速度.
25.本小题分
如图,中,,过、两点,且是的切线,连接交劣弧于点.
证明:是的切线;
若,,求的半径.
26.本小题分
如图,四边形,,请用无刻度的直尺和圆规完成下列各题.
在图的上作一点,使得保留作图痕迹,不写作法;
在图的上作一点,使得保留作图痕迹,不写作法;
连接,在图的上作一点,使得保留作图痕迹,并简要说明作图方案范例:第一步:作的角平分,第二步:
27.本小题分
如图,等腰中,,过点作于点,延长到点,使得,连接、.
若,求四边形的面积;
过点作交的延长线于,如图,写出与的面积之间有何数量关系,并说明理由;
在的条件下,若,则的值是多少?用的式子表示,直接写出答案
28.本小题分
在平面直角坐标系中,对于点,我们称直线为点的友好直线例如,点的友好直线为.
已知点,
则点的友好直线为______ ;
若与点的友好直线相切,求的半径;
已知点,点是轴上任意一点原点除外,点为直线上的动点.
当点坐标是时,求点到点的友好直线的距离的最大值;
以为圆心,为半径作在点运动过程中,当点的友好直线与交于、两点时,的最小值为,请直接写出点的坐标.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:、,故本选项符合题意;
B、,故本选项不符合题意;
C、,故本选项不符合题意;
D、,故本选项不符合题意;
故选:.
根据有理数的四则运算法则,逐项判断即可求解.
本题主要考查了有理数的四则运算,熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键.
2.【答案】
【解析】解:、该图形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项符合题意;
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C、该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D、该图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:.
观察四个选项中的图形,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转度后与原图重合,找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论.
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义,仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键.
3.【答案】
【解析】解:.
故选:.
根据幂的乘方,底数不变,指数相乘,计算后直接选取答案.
本题主要考查幂的乘方运算法则:底数不变,指数相乘.熟练掌握运算法则是解题的关键.
4.【答案】
【解析】解:如图,铅垂线交被测物体表面于点,交过点的水平线于点,刻度线交被测物体表面于点,
量角器的刻度线与三角板的底边平行,垂直量角器的刻度线,
,
,,
,
即被测物体表面的倾斜角为.
故选:.
如图,铅垂线交被测物体表面于点,交过点的水平线于点,刻度线交被测物体表面于点,利用三角形内角和求出即可.
本题考查了垂直的定义和平行线的性质:解决问题的关键是了解测倾器的制作原理.
5.【答案】
【解析】解:设有人,辆车,根据题意可得:
,
故选:.
根据“每辆车乘坐人,则空余两辆车;若每辆车乘坐人,则有人步行”,即可得出关于,的二元一次方程组,此题得解.
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
6.【答案】
【解析】解:这名同学所捐的零花钱的平均数是,错误;
这名同学所捐的零花钱的中位数是,正确;
这名同学所捐的零花钱的众数是,正确;
由这名同学所捐的零花钱的中位数是,不能推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数一定是,错误;
故选:.
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
本题考查了中位数与平均数,正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键.
7.【答案】
【解析】解:如图所示,设与,轴的交点分别为,,于点,
,,
依题意,,,
,
∽
每一级台阶的宽度和高度之比为:,
,
,即,
直线解析式为,
将点代入得,,
解得,
.
故选:.
设与,轴的交点分别为,,于点,则,,根据每一级台阶的宽度和高度之比为:,得出,将点代入待定系数法求解析式即可求解.
本题考查了一次函数的应用,相似三角形的性质与判定,待定系数法求一次函数解析式,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.
8.【答案】
【解析】解:,
抛物线开口向上,对称轴为直线,
当时,随的增大而减小,
,
,
故选:.
由抛物线开口向下及对称轴的位置可得的取值范围,
本题考查二次函数的图象与系数的关系,二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数的性质.
9.【答案】
【解析】解:.
故答案为:.
用科学记数法表示较大的数时,一般形式为,其中,为整数,据此判断即可.
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为,其中,确定与的值是解题的关键.
10.【答案】
【解析】解:原式,
故答案为.
先提取公因式,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.注意分解要彻底.
本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻底.
11.【答案】
【解析】解:由表格中的对应数值的变化可知,
,
,
即,
又,
,
,
故答案为:.
根据立方根的定义估算无理数的大小即可.
本题考查估算无理数的大小,理解立方根的定义是正确解答的前提.
12.【答案】
【解析】解:由等腰三角形的腰长为,则其底边长为:.
,
.
故答案为:.
根据等腰三角形的腰长为,则其底边长为:,根据三角形三边关系列不等式,求解即可.
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用,难度适中.
13.【答案】
【解析】解:圆锥的侧面积.
故答案为.
圆锥的侧面积为扇形,扇形的面积公式为:,代入求解即可.
本题考查了扇形的面积公式.
14.【答案】
【解析】解:连接,
四边形是矩形,,,
,,
,
,
,,
点,分别是、的中点,
,,
,
故答案为:.
连接,由矩形的性质得,,因为,,所以,则,,即可求得,,则,于是得到问题的答案.
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
15.【答案】
【解析】解:连接,如图,
由作法可知,
为等边三角形
,
,
图中阴影部分的面积
.
故答案为:.
连接、,如图,先判断为等边三角形,则,由于,所以图中阴影部分的面积,然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算.
本题考查了扇形的面积和三角形的面积计算等知识点,明确阴影部分的面积是解此题的关键.
16.【答案】
【解析】解:,,
.
故答案为:.
直接根据公式计算即可.
本题主要考查了三角函数的计算,解决本题的关键是熟练掌握公式.
17.【答案】
【解析】解:当时,或,
点的坐标为,
点的坐标为,
直线的解析式为:,
设点的坐标为,
轴,
点的坐标为,
点在第一象限,
线段,
当时,有最大值为.
故答案为:.
先由二次函数的解析式求出点,点的坐标,然后求出直线的解析式,设出的坐标,根据平行的性质表示出点的坐标,然后、的横坐标相减,构造函数关系式,求出最大值即可.
本题是二次函数中典型的求最值问题,根据题意建立函数模型是解题的关键.
18.【答案】
【解析】解:作的外接圆,圆心为,连接,,,,过点作于,过点作于,如图:
,即,
,
,,,
,,
在中,,
,
,
在中,,,,
,
,
在中,,
,
又,
,
,,
,,
在中,,
,
,
,
,
根据“两点之间线段最短”得:,
当点,,在通一条直线上时,为最大,最大值为,
即的最大值为:.
故答案为:.
作的外接圆,圆心为,连接,,,,过点作于,过点作于,先计算出,,然后根据“两点之间线段最短”得,即当点,,在通一条直线上时,为最大,最大值为,据此可得出答案.
此题主要考查了最短路线,解答此题的关键是理解两点之间线段最短,灵活利用圆的相关性质和解直角三角形的知识求出相关线段的长是解答此题的关键.
19.【答案】解:原式
;
原式
.
【解析】先根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算,然后进行二次根式的混合运算;
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算,再把分子分母因式分解,然后约分即可.
本题考查了分式的混合运算:先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的.也考查了实数的运算.
20.【答案】解:,
解不等式,得,
解不等式,得.
原不等式组的解集为,
则的所有整数解为,,,.
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集,进而确定出整数解即可.
此题考查了一元一次不等式组的整数解,以及解一元一次不等式组,熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键.
21.【答案】
【解析】解:名,
故答案为:名;
所占百分比为,
扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数为:;
所占的百分比是,
的人数是:名,
补图如下:
名,
答:估计喜欢科技类的学生大约有名.
根据类的人数和所占的百分比,即可求出总人数;
用整体减去、、类所占的百分比,即可求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数以及所占的百分比;用总人数乘以所占的百分比,求出的人数,从而补全图形;
总人数乘以样本中所占百分比即可得.
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用,正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键.
22.【答案】
【解析】解:有张卡片,其中只有一张卡片上的数字是,
甲同学抽到的卡片上数字是,
故答案为:;
画树状图如下:
一共有种等可能的结果,其中甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数有种可能,
甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数.
根据概率的意义求出即可;
用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果数,从中找出甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的结果数,再用等可能事件概率公式求出即可.
本题考查列表法和树状图法求等可能事件概率,掌握列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键.
23.【答案】证明:,,
四边形是平行四边形,
,
平行四边形是矩形;
解:,,,
,
四边形是矩形,
,,
,,
,
,
,
∽,
,
即,
,
.
【解析】根据平行四边形的判定和矩形的判定解答即可;
根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可.
此题考查矩形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答.
24.【答案】解:设甲车的平均速度是千米时,则乙车的平均速度是千米时,
根据题意,得,
解得.
经检验,是原方程的解,
此时.
答:乙车的平均速度是千米时.
【解析】设甲车的平均速度是千米时,则乙车的平均速度是千米时,根据甲车行驶的时间乙车行驶的时间小时路程方程,求解即可.
本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
25.【答案】证明:是的切线,
,
.
在和中,
,
≌,
,
,
为的半径,
是的切线;
解:设的半径为,则,.
在中,
,
,
解得:.
的半径为.
【解析】利用全等三角形的判定与性质和圆的切线的性质定理得到,再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论;
设的半径为,则,,在中,利用勾股定理列出方程,解方程即可得出结论.
本题主要考查了圆的有关性质,圆的切线的判定定理与性质定理,全等三角形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握圆的有关性质是解题的关键.
26.【答案】解:如图:
点即为所求;
点即为所求;
第一步:作的角平分线角于;
第二步:在上截取;
第三步:连接交于;
第四步:以为圆心,为半径作弧交于,
点即为所求.
【解析】作的平分线与的交点即为所求;
作的垂直平分线与的交点即为所求;
根据等腰三角形的性质、平行线的性质、及角平分线的性质作图.
本题考查了复杂作图,掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、及角平分线的性质是解题的关键.
27.【答案】解:,
四边形的面积的面积的面积
;
结论:.
理由:过点作于点.
,
,,
,
,
,
,
≌,
,
,,
,
,
;
设,则,,
.
【解析】把四边形面积科学两个三角形面积的和求解即可;
结论:过点作于点证明≌,推出,可得结论;
设,分别用,表示出两个三角形的面积,可得结论.
本题属于四边形综合题,考查了四边形的面积,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
28.【答案】
【解析】解:点,
点的友好直线为.
故答案为:;
设直线与轴交于点,与轴交于点,如图,
令,则,
,
.
令,则,
,
,
.
过点作于点,
与点的友好直线相切,
的半径,
,
,
,
的半径为;
设直线的解析式为,
,,
,
解得:,
直线的解析式为,
点为直线上的动点,
.
点的友好直线为,
,
点的友好直线经过定点,
如图,直线为点的友好直线,过点作于点,连接,
,
当点与点重合时,取得最大值,
即点到点的友好直线的距离的最大,
点到点的友好直线的距离的最大值;
点是轴上任意一点原点除外,
设,
设直线的解析式为,
,
解得:,
直线的解析式为,
点为直线上的动点,
.
点的友好直线为,
,
点的友好直线经过定点,
如图,直线为点的友好直线,过点作于点,连接,
则,
,
要使最小,则取得最大值,
由知:当点与点重合时,即点与重合时最大,
的最小值为,
的最大值为.
,,
,
解得:或.
点的坐标为或.
利用友好直线的定义解答即可;
利用圆的切线的定义,直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可得出结论;
利用待定系数法求得直线的解析式,利用新定义的规定求得点的友好直线,进而求得点的友好直线经过定点,再利用垂线段最短,得到,当点与点重合时,取得最大值,即点到点的友好直线的距离的最大;
利用中的方法求得点的友好直线经过定点,直线为点的友好直线,过点作于点,连接,利用垂径定理,勾股定理和的结论得到当点与点重合时,即点与重合时最大,利用两点之间的距离公式列出方程解答即可.
本题主要考查了圆的有关性质,一次函数的图象与性质,待定系数法,圆的切线的性质,垂径定理,勾股定理,两点之间的距离,一次函数图象上点的坐标的特征,本题是新定义型,理解新定义的规定和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.
2023年江苏省扬州市邗江区梅岭中学中考数学适应性试卷(二)(含解析): 这是一份2023年江苏省扬州市邗江区梅岭中学中考数学适应性试卷(二)(含解析),共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023年江苏省扬州市邗江区中考数学二模试卷(含解析): 这是一份2023年江苏省扬州市邗江区中考数学二模试卷(含解析),共27页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023年江苏省扬州市邗江区梅岭中学中考数学适应性试卷(一)(含解析): 这是一份2023年江苏省扬州市邗江区梅岭中学中考数学适应性试卷(一)(含解析),共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。