江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团2020年中考数学三模试卷(含解析)

这是一份江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团2020年中考数学三模试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了﹣5的绝对值是，下列运算正确的是，若点A，8的算术平方根是　 　等内容，欢迎下载使用。

2020年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团中考数学三模试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a7 B．a3•a4＝a7 C．a4﹣a3＝a D．a3+a4＝a7
3．2018年3月，我市某区一周天气质量报告中某项污染指标的数据是：60、60、90、100、90，、70、90，则下列关于这组数据表述正确的是（　　）
A．众数是60 B．中位数是100
C．极差是40 D．平均数是78
4．如图，由三个小立方块搭成的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
5．若点A（﹣2020，y1）、B（2021，y2）都在双曲线上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C． D．
6．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝
7．如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为（　　）

A．4 B．3 C．4.5 D．3.5
8．如图，⊙O的半径为3，Rt△ABC的顶点A、B在⊙O上，∠B＝90°，点C在⊙O内，且tanA＝．当点A在圆上运动时，OC的最小值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
9．截至1月31日下午，我市慈善总会在这次新型冠状病毒肺炎疫情中，募集到疫情防控专项捐款累计8721000元．数据8721000用科学记数法可以表示为　 　．
10．8的算术平方根是　 　．
11．分解因式：x3﹣9x＝　 　．
12．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是　 　．
13．平面直角坐标系中一点P（m﹣3，1﹣2m）在第三象限，则m的取值范围是　 　．
14．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）．

15．如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是　 　．

16．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差S02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为S12，则S12　 　S02（填“＞”，“＝”或“＜”）
17．如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝　 　．

18．在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6．若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，则所有点P组成的区域的面积为　 　．
三．解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解不等式组
20．（8分）先化简，再求值：÷（+），其中x＝．
21．（8分）今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动．学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：
成绩x（分）分组
频数
频率
60≤x＜70
15
0.30
70≤x＜80
a
0.40
80≤x＜90
10
b
90≤x≤100
5
0.10
（1）表中a＝　 　，b＝　 　；
（2）这组数据的中位数落在　 　范围内；
（3）判断：这组数据的众数一定落在70≤x＜80范围内，这个说法　 　（填“正确”或“错误”）；
（4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在80≤x＜90范围内的扇形圆心角的大小为　 　；
（5）若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有　 　名学生获得优秀成绩．
22．（8分）某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用A、B、C表示）和三个化学实验（用D、E、F表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．
（1）小刚抽到物理实验A的概率是　 　．
（2）用“列表法”或“画树状图法”求小刚抽到物理实验B和化学实验F（记作事件M）的概率是多少？
23．（10分）某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？
24．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点逆时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

25．（10分）如图，已知⊙C过菱形ABCD的三个顶点B，A，D，连接BD，过点A作AE∥BD交射线CB于点E．
（1）求证：AE是⊙C的切线．
（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和围成的部分的面积．
（3）在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连接AF，使∠DAF＝15°，求点F到直线AD的距离．

26．（10分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB＝　 　°，AB＝　 　．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．

27．（12分）定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．
（1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，则其余两个角的度数为　 　；
（2）如图1，在▱ABCD中，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点C恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形；
（3）如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍；
①求证：∠C＝60°．
②若△ABC是半角三角形，CN＝1，直接写出BN的取值范围．

28．（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．
（1）求a、b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2020年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的性质求解．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．
故选：A．
2．下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a7 B．a3•a4＝a7 C．a4﹣a3＝a D．a3+a4＝a7
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、（a3）4＝a12，故此选项错误；
B、a3•a4＝a7，正确；
C、a4﹣a3，无法合并，故此选项错误；
D、a3+a4，无法合并，故此选项错误；
故选：B．
3．2018年3月，我市某区一周天气质量报告中某项污染指标的数据是：60、60、90、100、90，、70、90，则下列关于这组数据表述正确的是（　　）
A．众数是60 B．中位数是100
C．极差是40 D．平均数是78
【分析】根据众数、平均数、中位数、极差的概念求解．
【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为：60、60、70、90、90、90、100，
所以这组数据的众数是90、中位数是90、极差为100﹣60＝40、平均数为＝80，
故选：C．
4．如图，由三个小立方块搭成的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到两个相邻的正方形．
故选：A．
5．若点A（﹣2020，y1）、B（2021，y2）都在双曲线上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C． D．
【分析】根据已知得3+2a＜0，从而得出a的取值范围．
【解答】解：∵点A（﹣2020，y1），B（2021，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，
∴3+2a＜0，
∴a＜﹣，
∴a的取值范围是a＜﹣，
故选：D．
6．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝
【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故选：B．
7．如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为（　　）

A．4 B．3 C．4.5 D．3.5
【分析】连接MN，如图，利用点O为△ABC的重心得到BO＝2ON，根据三角形面积公式得S△AON＝S△ABO＝2，S△MON＝S△MBO＝1，则S△AMN＝3，再利用S△MNC＝S△NMA＝3，然后计算S△OMN+S△MNC即可．
【解答】解：连接MN，如图，
∵AM和BN为△ABC的两条中线，
∴点O为△ABC的重心，
∴BO＝2ON，
∴S△AON＝S△ABO＝×4＝2，S△MON＝S△MBO＝×2＝1，
∴S△AMN＝3，
∵AN＝CN，
∴S△MNC＝S△NMA＝3，
∴四边形MCNO的面积＝S△OMN+S△MNC＝1+3＝4．
故选：A．

8．如图，⊙O的半径为3，Rt△ABC的顶点A、B在⊙O上，∠B＝90°，点C在⊙O内，且tanA＝．当点A在圆上运动时，OC的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】延长BC交⊙O于点F，连接AF，当OC⊥AF时，OC值最小，由锐角三角函数和勾股定理可求AC2的值，由勾股定理可求OC的长．
【解答】解：延长BC交⊙O于点F，连接AF，如图所示：

∵∠B＝90°，
∴AF为⊙O的直径经过点O，AF＝2×3＝6，
∵tanA＝，
∴∠CAB、∠ACB为定值，
∴∠ACF为定值，
∴当OC⊥AF时，OC值最小，
设BC＝3x，则AB＝4x，x＞0，
∵OC⊥AF，OA＝OF，
∴FC＝AC＝＝＝5x，
∴BF＝CF+BC＝5x+3x＝8x，
在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即62＝（4x）2+（8x）2，
解得：x2＝，
∴AC2＝（5x）2＝25×＝，
∴在Rt△AOC中，OC＝＝＝，
∴线段OC的最小值是．
故选：B．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
9．截至1月31日下午，我市慈善总会在这次新型冠状病毒肺炎疫情中，募集到疫情防控专项捐款累计8721000元．数据8721000用科学记数法可以表示为　8.721×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：8 721 000＝8.721×106．
故答案为：8.721×106．
10．8的算术平方根是　2　．
【分析】依据算术平方根的定义回答即可．
【解答】解：由算术平方根的定义可知：8的算术平方根是，
∵＝2，
∴8的算术平方根是2．
故答案为：2．
11．分解因式：x3﹣9x＝　x（x+3）（x﹣3）　．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
12．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是　0　．
【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式△＞0求解即可；
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4+4m＞0，
∴m＞﹣1；
故答案为0；
13．平面直角坐标系中一点P（m﹣3，1﹣2m）在第三象限，则m的取值范围是　0.5＜m＜3　．
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列式不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（m﹣3，1﹣2m）在第三象限，
∴，
解得：0.5＜m＜3，
故答案为：0.5＜m＜3
14．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　45　°（点A，B，P是网格线交点）．

【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．

15．如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是　22.5°　．

【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，即可求∠ABD的度数．
【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'
∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°
∴∠ABD＝22.5°
故答案为：22.5°
16．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差S02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为S12，则S12　＝　S02（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴S12＝S02．
故答案为＝．
17．如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝　24　．

【分析】依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为7，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为y＝，依据点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，即可得到mn的值．
【解答】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6，
2018÷6＝336…2，
由抛物线y＝﹣x2+4x+2可得，顶点B（2，6），即A，B之间的水平距离为2，
∴点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，
由抛物线解析式可得AO＝2，即点C的纵坐标为2，
∴C（6，2），
∴k＝2×6＝12，
∴双曲线解析式为y＝，
2025﹣2018＝7，故点Q与点P的水平距离为7，
∵点P'、Q“之间的水平距离＝（2+7）﹣（2+6）＝1，
∴点Q“的横坐标＝2+1＝3，
∴在y＝中，令x＝3，则y＝4，
∴点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，
∴mn＝6×4＝24，
故答案为：24．

18．在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6．若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，则所有点P组成的区域的面积为　　．
【分析】分别作AB，AC的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，交AC于点D，利用线段垂直平分线的性质，结合PC≤PA≤PB的条件，判断点P在△DEF内部（含边界），再利直角三角形的性质求解；
【解答】解：分别作AB，AC的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，交AC于点D，
∵若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，
∴点P在△DEF内部（含边界），
∵DE⊥AC，EF⊥AB，
∴△DEF是直角三角形，△AEF是直角三角形，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AD＝4，AE＝25，DE＝13，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴＝，
∴AF＝，
∴DF＝，
∴△DEF的面积为×3×＝．
故答案为：．

三．解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解不等式组
【分析】（1）本题涉及二次根式的化简、三角函数、负整数指数幂、绝对值的意义4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2×+2﹣+1
＝+3；
（2），
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集是1≤x＜4．
20．（8分）先化简，再求值：÷（+），其中x＝．
【分析】原式括号中第二项变形后，利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝时，原式＝＝．
21．（8分）今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动．学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：
成绩x（分）分组
频数
频率
60≤x＜70
15
0.30
70≤x＜80
a
0.40
80≤x＜90
10
b
90≤x≤100
5
0.10
（1）表中a＝　20　，b＝　0.2　；
（2）这组数据的中位数落在　70≤x＜80　范围内；
（3）判断：这组数据的众数一定落在70≤x＜80范围内，这个说法　错误　（填“正确”或“错误”）；
（4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在80≤x＜90范围内的扇形圆心角的大小为　72°　；
（5）若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有　900　名学生获得优秀成绩．
【分析】（1）调查学生总数：15÷0.3＝50（名），70≤x＜80的频数：50﹣15﹣10﹣5＝20，即a＝2080≤x＜90的频率：1﹣0.3﹣0.4﹣0.1＝0.2，即b＝0.2．
（2）共50名学生，中位数落在“70≤x＜80”范围内．
（3）“70≤x＜80”范围内，虽然频数最大，但是这组数据的众数不一定落在70≤x＜80范围内．
（4）成绩在80≤x＜90范围内的扇形圆心角：＝72°．
（5）获得优秀成绩的学生数：＝900（名）．
【解答】解：（1）调查学生总数：15÷0.3＝50（名），
70≤x＜80的频数：50﹣15﹣10﹣5＝20，即a＝20
80≤x＜90的频率：1﹣0.3﹣0.4﹣0.1＝0.2，即b＝0.2，
故答案为20，0.2；
（2）共50名学生，中位数落在“70≤x＜80”范围内；
（3）“70≤x＜80”范围内，虽然频数最大，但是这组数据的众数不一定落在70≤x＜80范围内．，
故答案为错误；
（4）成绩在80≤x＜90范围内的扇形圆心角：＝72°，
故答案为72°；
（5）获得优秀成绩的学生数：＝900（名），
故答案为900．
22．（8分）某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用A、B、C表示）和三个化学实验（用D、E、F表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．
（1）小刚抽到物理实验A的概率是　　．
（2）用“列表法”或“画树状图法”求小刚抽到物理实验B和化学实验F（记作事件M）的概率是多少？
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，根据概率公式求出该事件的概率即可．
【解答】解：（1）小刚抽到物理实验A的概率是，
故答案为：；

（2）列表如下：

D
E
F
A
（A，D）
（A，E）
（A，F）
B
（B，D）
（B，E）
（B，F）
C
（C，D）
（C，E）
（C，F）
由表可知，所有可能出现的结果AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF，可能出现的结果共有9种，其中抽到物理实验B和化学实验F出现了一次，
所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率为．
23．（10分）某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？
【分析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm2，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为300m2区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm2，
依题意，得：﹣＝3，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝100．
答：甲施工队每天能完成绿化的面积是100m2，乙施工队每天能完成绿化的面积是50m2．
24．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点逆时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

【分析】（1）由把△ABC绕A点逆时针方向旋转得到△ADE，可得AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，则∠DAB＝∠EAC，可证△AEC≌△ADB
（2）由AC∥DB，可得∠ABD＝∠BAC＝45°可得△ADB为等腰直角三角形，可求DB的长度，且DF＝AC＝AB＝，所以BF的长可求．
【解答】解：（1）∵把△ABC绕A点逆时针方向旋转得到△ADE
∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝∠BAC
∴∠DAB＝∠EAC，且AD＝AB，AE＝AC
∴△AEC≌△ADB
（2）∵ADFC是菱形
∴AD＝AC＝CF＝DF＝AB＝，AD∥CF，DF∥AC
∴∠DBA＝∠BAC＝45°
∵AD＝AB∴∠DBA＝∠BDA＝45°
∴∠DAB＝90°
∴BD2＝AD2+AB2．
∴BD＝2
∴BF＝2﹣
25．（10分）如图，已知⊙C过菱形ABCD的三个顶点B，A，D，连接BD，过点A作AE∥BD交射线CB于点E．
（1）求证：AE是⊙C的切线．
（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和围成的部分的面积．
（3）在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连接AF，使∠DAF＝15°，求点F到直线AD的距离．

【分析】（1）连接AC．证明AE⊥AC即可解决问题．
（2）证明△ABC是等边三角形，推出∠ACB＝60°，AE＝AC•tan60°＝2，根据S阴＝S△AEC﹣S扇形ACB求解即可．
（3）分两种情形：①如图2中，当点F在上时．②如图3中，当点F在优弧上时，分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵BD∥AE，
∴AC⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．

（2）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵AC＝2，
∴AE＝AC•tan60°＝2，
∴S阴＝S△AEC﹣S扇形ACB＝×2×2﹣＝2﹣π．

（3）①如图2中，当点F在上时，

∵∠DAF＝15°，
∴∠DCF＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACF＝∠FCD，
∴点F是弧AD的中点，
∴CF⊥AD，
∴点F到直线AD的距离＝CF﹣CA•cos30°＝2﹣．
②如图3中，当点F在优弧上时，

∵∠DAF＝15°，
∴∠DCF＝30°，
过点C作CG⊥AD于D，过点F作FH⊥CG于H，
可得∠AFH＝15°，∠HFC＝30°，
∴CH＝1，
∴点F到直线AD的距离＝CG﹣CH＝AC•cos30°﹣CH＝﹣1．
综上所述，满足条件的点F到直线AD的距离为2﹣或﹣1．
26．（10分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB＝　75　°，AB＝　4　．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．

【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB＝∠OAC＝75°，结合∠BOD＝∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD＝75°＝∠ADB，由等角对等边可得出AB＝AD＝4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE＝4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【解答】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝＝．
又∵AO＝，
∴OD＝AO＝，
∴AD＝AO+OD＝4．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4．
故答案为：75；4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝＝．
∵BO：OD＝1：3，
∴＝＝．
∵AO＝3，
∴EO＝，
∴AE＝4．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝AC＝8，AD＝12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即82+122＝CD2，
解得：CD＝4．

27．（12分）定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．
（1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，则其余两个角的度数为　60°，30°或45°，45°　；
（2）如图1，在▱ABCD中，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点C恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形；
（3）如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍；
①求证：∠C＝60°．
②若△ABC是半角三角形，CN＝1，直接写出BN的取值范围．

【分析】（1）根据半角三角形定义和三角形内角和定理即可得出正确答案；
（2）由定义，已知：∠D＝108°，由翻折可得∠BFE＝∠C＝72°，根据平角定义和三角形内角和定理即可得出∠DFE＝18°，∠DEF＝54°，得证；
（3）①应用相似三角形性质，将面积比转化为对应边的比，再根据解三角形和特殊角三角函数值即可；②分两种情况讨论计算即可得到BN的最大值和最小值．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，或∠B＝60°，∠C＝30°或∠B＝30°，∠C＝60°，
∴其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°，
故答案为45°，45°或30°，60°；
（2）如图1中，∵平行四边形ABCD中，∠C＝72°，
∴∠D＝108°，
由翻折可知：∠EFB＝72°，
∵BF⊥AD，
∴∠EFD＝18°，
∴∠DEF＝54°，
∴∠DEF＝∠D，即△DEF是半角三角形；
（3）①如图2中，连接AN．
∵AB是直径，
∴∠ANB＝90°，
∵∠C＝∠C，∠CMN＝∠B，
∴△CMN∽△CBA，
∴（）2＝，即＝，
在Rt△ACN中，sin∠CAN＝，
∴∠CAN＝30°，
∴∠C＝60°
②由①知：∠C＝60°，
∵△ABC是半角三角形，
∴∠B＝30°或90°或40°或80°，
当∠B＝90°时，点N与点B重合，BN取得最小值0，
当∠B＝30°时，BN取得最大值，
∵CN＝1，∠BAC＝∠ANB＝90°
∴∠CAN＝30°，∠BAN＝60°
∴AN＝CN•tan∠C＝tan60°＝，BN＝AN•tan∠BAN＝tan60°＝3
∴0≤BN≤3．


28．（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．
（1）求a、b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求出点A、B的坐标，即可求解；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即：﹣≥0，即可求解；
（3）过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，S△PAB＝×AB×PH＝2×PQ×＝1，则|yP﹣yQ|＝1，即可求解．
【解答】解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，
则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，
将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，
则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，
即：﹣≥0，解得：a，
故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；
（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，

∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，
S△PAB＝×AB×PH＝2×PQ×＝1，
则PQ＝yP﹣yQ＝1，
在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，
故：|yP﹣yQ|＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），
即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，
解得：x＝﹣1或﹣1，
故点P（﹣1，2）或（﹣1，）或（﹣1﹣，﹣）．