中考数学压轴题及答案40例第4部分

中考数学压轴题及答案40例（4）

13.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；

（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .

①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

③设是②中函数S的最大值，那么 =                .

解：（1）令，则；

令则．∴．

∵二次函数的图象过点，

∴可设二次函数的关系式为

又∵该函数图象过点．

∴

解之，得，．

∴所求二次函数的关系式为 

（2）∵

=

∴顶点M的坐标为 

过点M作MF轴于F

∴

=

∴四边形AOCM的面积为10

（3）①不存在DE∥OC     

∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，．

设点E的坐标为∴，∴  ∵，

∴  ∴ 

∵>2，不满足．

∴不存在．

②根据题意得D，E两点相遇的时间为

（秒）

现分情况讨论如下：

ⅰ）当时，；

ⅱ）当时，设点E的坐标为

∴，∴

∴

ⅲ）当2 <<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得

设点D的坐标为

∴，

∴

∴

=

③

14.已知：如图，抛物线经过、、三点．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点C的直线与抛物线相交于点E （4，m），请求出△CBE的面积S的值；

（3）在抛物线上求一点使得△ABP0为等腰三角形并写出点的坐标；

（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．

解：（1）∵抛物线经过点、，

∴．

又∵抛物线经过点，

∴，．

∴抛物线的解析式为．

（2）∵E点在抛物线上，

∴m = 42–4×6+5 = -3．

∵直线y = kx+b过点C（0， 5）、E（4， –3），

∴  解得k = -2，b = 5．

设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，

当y=0时，-2x+5=0，解得x=．

∴D点的坐标为（，0）．

∴S=S△BDC + S△BDE

=

=10．

（3）∵抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，

∴点为所求满足条件的点．

（4）除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．

理由如下：

∵，

∴分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点、、、、、、、，除去、两个点外，其余6个点为满足条件的点

15.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

(注意：本题中的结果均保留根号)

解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：

OB＝OA=2，∠BOD＝60°

在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠OBD＝30°

 ∴OD＝1，DB＝

 ∴点B的坐标是（1，）

（2）设所求抛物线的解析式为，由已知可得：

 解得：

∴所求抛物线解析式为  

（备注：a、b的值各得1分）

（3）存在

由  配方后得：

∴抛物线的对称轴为   

（也可用顶点坐标公式求出）

∵点C在对称轴上，△BOC的周长＝OB+BC+CO；

∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，

∵点O与点A关于直线对称，有CO=CA

△BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA

∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。

设直线AB的解析式为，则有：

解得：

∴直线AB的解析式为

当时，

∴所求点C的坐标为（－1，）

（4）设P（），则  ①

过点P作PQ⊥y轴于点Q， PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=，PG=，由题意可得：

＝

=

＝                 ②

  将①代入②，化简得： 

＝

∴当时，△PAB得面积有最大值，最大面积为。

此时

∴点P的坐标为