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初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用巩固练习
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这是一份初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用巩固练习，文件包含9年级数学下册同步培优题典专题283解直角三角形教师版人教版docx、9年级数学下册同步培优题典专题283解直角三角形学生版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。听课过程中，要主动思考，这样遇到实际问题时，会应用所学的知识去解答问题。
专题28.3解直角三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•漳州期末）如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值是（ ）
A．13 B．12 C．55 D．255
【分析】首先判断∠ACB＝90°，利用勾股定理求出AB，BC即可解决问题．
【解析】观察图象可知：∠ACB＝90°，
∵AB=32+42=5，BC=12+22=5，
∴cos∠ABC=BCAB=55，
故选：C．
2．（2020•丰泽区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA=43，则CD的值为（ ）
A．43 B．25 C．65 D．2
【分析】延长AD、BC，两线交于O，解直角三角形求出OB，求出OC，根据勾股定理求出OA，求出△ODC∽△OBA，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【解析】延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA=43=OBAB，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴DCAB=OCOA，
∴DC3=25，
解得：DC=65，
故选：C．
3．（2020•清江浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（3，1），则tanα的值是（ ）
A．1010 B．10 C．13 D．3
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案．
【解析】如图：过点A做x轴的垂线，交x轴于点B
∵A（3，1），
∴OB＝3，AB＝1，
∴tanα=ABOB=13
故选：C．
4．（2019秋•沭阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则sinB等于（ ）
A．45 B．35 C．43 D．34
【分析】作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD=12BC＝6，由勾股定理得出AD=AB2−BD2=8，再由三角函数定义即可得出答案．
【解析】作AD⊥BC于D，如图所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD=12BC＝6，
∴AD=AB2−BD2=102−62=8，
∴sinB=ADAB=810=45；
故选：A．
5．（2019秋•富平县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，tan∠BCD的值为（ ）
A．34 B．43 C．45 D．54
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义计算即可．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴tan∠BCD＝tan∠A=BCAC=34，
故选：A．
6．（2020•盐池县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（ ）
A．43 B．35 C．53 D．34
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．
【解析】∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tan∠A=BCAC=68=34，
∴tan∠ACD的值34．
故选：D．
7．（2019秋•庆云县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA=45，则AC＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据正弦的定义得到sinA=BCAB=45，则可计算出AB＝5，然后利用勾股定理计算AC的长．
【解析】如图，
在Rt△ACB中，∵sinA=BCAB，
∴4AB=45，
∴AB＝5，
∴AC=AB2−BC2=3．
故选：A．
8．（2020•盐池县一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．1
【分析】作DE⊥AB于E，先根据腰直角三角形的性质得到AB=2AC＝62，∠A＝45°，设AE＝x，则DE＝x，AD=2x，在Rt△BED中，利用∠DBE的正切得到BE＝5x，然后由AE+BE＝AB可计算出x=2，再利用AD=2x进行计算．
【解析】作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB=2AC＝62，
∴∠A＝45°，
在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD=2x，
在Rt△BED中，tan∠DBE=DEBE=15，
∴BE＝5x，
∴x+5x＝62，解得x=2，
∴AD=2×2=2．
故选：A．
9．（2020•中山市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，cosB=23，点M是AB的中点，则CM的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】先根据锐角三角函数的边角间关系，求出AB的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论．
【解析】在Rt△ABC中，
∵cosB=23=BCAB，BC＝4，
∴AB＝6．
∵CM是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CM=12AB＝3．
故选：B．
10．（2020•哈尔滨模拟）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝2，tan∠C=12，则线段AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．85 D．45
【分析】由同角的余角相等可得出∠BAD＝∠C，在Rt△ABD中，由tan∠BAD=12可求出AD的长，利用勾股定理可求出AB的长，在Rt△ABC中，由tan∠C=12可求出AC的长，此题得解．
【解析】∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，
∴∠B+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C．
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝2，
∵tan∠BAD=BDAD=12，
∴AD＝2BD＝4，
∴AB=BD2+AD2=25．
在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝25，
∵tan∠C=ABAC=12，
∴AC＝2AB＝45．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2017秋•新华区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，∠BAC的平分线交BC于D，AD=1033cm，则∠B＝ 30° ，AB＝ 10cm ，BC＝ 53cm ．
【分析】在Rt△ACD中，由AC、AD用余弦求出∠DAC，再求出∠B．利用直角三角形的边角关系求AB、BC．
【解析】在Rt△ACD中，
∵cos∠DAC=ACAD=51033=32，
∴∠DAC＝30°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC=12∠BAC＝30°，
∴∠B＝30°，
在Rt△ACB中，∵sinB=ACAB，
∴AB=ACsinB=512=10（cm），
∵tanB=ACBC，
∴BC=ACtanB=533=53（cm）．
故答案为：30°，10cm，53cm．
12．（2020•吴忠一模）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为 45 ．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△ADC中，先由勾股定理得出AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠ADC＝90°，由勾股定理得：
AC=32+42=5，
∴sin∠BAC=CDAC=45．
故答案为：45．
13．（2020•浙江自主招生）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，P为线段AB上一点，且CP=1527，则sin∠PCA的值为 22 ．
【分析】根据题意画出图形并作PD⊥AC于点D，根据勾股定理求出AB、BP的长，进而可得AP的长，再根据三角函数求出PD的长，从而可求sin∠PCA的值．
【解析】如图，作PD⊥AC于点D，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，
∴AB=AC2−BC2=4，
在Rt△CBP中，CP=1527，BC＝3，
∴BP=CP2−BC2=37，
∴AP＝AB﹣BP=257，
∵sin∠A=BCAC=PDAP，
即35=PD257，
∴PD=157，
∴sin∠PCA=PDCP=157×7152=22．
故答案为：22．
14．（2020•汉寿县一模）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC=14，则sinB的值为 104 ．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值．
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA•cosC＝4×14=1，
∴AD=AC2−CD2=42−12=15；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝4﹣1＝3，AD=15，
∴AB=BD2+AD2=32+(15)2=26，
∴sinB=ADAB=1526=104．
故答案为：104．
15．（2019秋•宁阳县期末）如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=32，AB＝3，则AC的长为 213 ．
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【解析】过A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，sinB=13，AB＝3，
∴AD＝AB•sinB＝1，
在Rt△ACD中，tanC=32，
∴ADCD=32，即CD=233，
根据勾股定理得：AC=AD2+CD2=12+(233)2=213，
故答案为213．
16．（2020•吴江区三模）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C=45，那么GE＝ 172 ．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理、三角形相似可以求得GE的长，本题得以解决．
【解析】作EF⊥BC于点F，
∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C=45，
∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，
∴AD∥EF，BC＝8，
∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，
∴DGFE=BDBF=BGBE，BF＝6，
∴DG＝1，
∴BG=17，
∴46=17BE，
得BE=3172，
∴GE＝BE﹣BG=3172−17=172，
故答案为：172．
17．（2020•开福区校级一模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，若AB＝4，AC＝3，则cos∠BAD的值为 35 ．
【分析】在△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，利用面积法可求出AD的长，再根据余弦的定义，即可求出cos∠BAD的值．
【解析】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC=AB2+BC2=5．
∵AD⊥BC，
∴AD=AB⋅ACBC=125，
∴cos∠BAD=ADAB=1254=35．
故答案为：35．
18．（2020•成都模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点M，若CM＝1，BD＝3，则sinB＝ 35 ．
【分析】连接AD，利用等腰三角形的性质得出DM＝MC，进而利用直角三角形的解法解答即可．
【解析】连接AD，
由作图可知，AD＝AC，AM是∠DAC的角平分线，
∴AM⊥DC，DM＝MC＝1，
∵BD＝3，
∴BM＝3+1＝4，AB＝3+2＝5＝BC，
∴AM=AB2−BM2=52−42=3，
∴sinB=AMAB=35，
故答案为：35．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2018秋•运城期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
【分析】在Rt△CDE和Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出CE，BC的长，再结合BE＝BC﹣CE即可求出BE的长．
【解析】在Rt△CDE中，sinC=DECE，
∴CE=DEsin30°=12；
在Rt△ABC中，tanC=ABBC，
∴BC=ABtan30°=83．
∴BE＝BC﹣CE＝83−12，
∴BE的长为83−12．
20．（2018春•江岸区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB于点E，连接CE．
（1）求BE的长；
（2）求tan∠ECB的值．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，证明△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案；
（2）作EF⊥BC于F，根据相似三角形的性质求出EF、CF，根据正切的定义计算即可．
【解析】（1）由勾股定理得，AB=AC2+BC2=32+32=32，
由题意得，AD＝2，CD＝1，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴AEAC=ADAB，即AE3=232，
解得，AE=2，
∴BE＝AB﹣AE＝22；
（2）作EF⊥BC于F，
则EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EFAC=BFBC=BEBA，即EF3=BF3=2232，
解得，EF＝2，BF＝2，
∴CF＝1，
∴tan∠ECB=EFCF=2．
21．（2017秋•闵行区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交边BC于点D，DE⊥AD交边AB于点E，且线段AE比BE大1，BD=6．
（1）求AB的长；
（2）求tan∠ADC的值．
【分析】（1）根据题意可证出△BDE∽△BAD进而得出BD2＝BE•BA，再设未知数列方程求解即可求出AB，
（2）利用（1）中三角形相似，把tan∠ADC的值转化为相似三角形的相似比．从而得出答案．
【解析】（1）∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠EDB+∠ADC＝90°
∴∠EDB＝∠CAD
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠EDB，
又∴∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴BD2＝BE•BA
设BE＝x，则AE＝x+1，
∴（6）2＝x（2x+1）
即：2x2+x﹣6＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝1.5，
∴AB＝2x+1＝4，
答：AB的长为4．
（2）tan∠ADC＝tan∠AED=ADDE，
由（1）△BDE∽△BAD，
∴ADDE=ABBD=46=263=tan∠ADC，
答：tan∠ADC的值为263．
22．（2019秋•建湖县期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA=13．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝DH，根据正切的定义、勾股定理求出AD；
（2）根据勾股定理求出BD，根据正弦的定义计算即可．
【解析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH，
设AH＝x，则DH＝x
∵tan∠DBA=13，
∴BH＝3x，
∴AB＝4x，
由勾股定理可知：AB=AC2+BC2=82+82=82，
∴x＝22，
由勾股定理可得，AD=AH2+DH2=4；
（2）∵AD＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝4，
由勾股定理得，DB=CD2+BC2=42+82=45，
∴sin∠DBC=CDBD=445=55．
23．（2019秋•平谷区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
（1）如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE＝2，sin∠CAE=23，求tanB的值．
【分析】（1）根据∠CAE＝∠CAB﹣∠EAB，想办法求出∠CAB，∠EAB即可．
（2）在Rt△ACE中，求出AE，再求出BC即可解决问题．
【解析】（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝25°．
∴∠CAE＝40°．
（2）∵∠C＝90°，
∴sin∠CAE=CEAE=23．
∵CE＝2，
∴AE＝3，
∴AC=5，
∵EA＝EB＝3，
∴BC＝5，
∴tanB=ACBC=55．
24．（2020•丰台区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．
（1）求证：点D为BF的中点；
（2）如果BC＝5，sinC=35，求AF的长．
【分析】（1）证明OD∥AE可得结论．
（2）在Rt△ODC中，根据sin∠C=ODOC=35，求出半径r，再在Rt△AOH中，求出AH即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥EC，
∴OD∥AE，
∴∠ADO＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴DF=DB，
即点D是BF的中点．
（2）解：过点O作OH⊥AE于H，则AH＝HF．设OA＝OB＝OD＝r，
∵∠ODC＝90°，
∴sin∠C=ODOC，
∴rr+5=35，
解得r=152，
∵OH⊥AE，EC⊥AE，
∴OH∥EC，
∴∠AOH＝∠C，
∴sin∠AOH＝sin∠C=35，
∴AHAO=35，
∴AH=92，
∴AF＝2AH＝9．
初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。听课过程中，要主动思考，这样遇到实际问题时，会应用所学的知识去解答问题。
专题28.3解直角三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•漳州期末）如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值是（ ）
A．13 B．12 C．55 D．255
【分析】首先判断∠ACB＝90°，利用勾股定理求出AB，BC即可解决问题．
【解析】观察图象可知：∠ACB＝90°，
∵AB=32+42=5，BC=12+22=5，
∴cos∠ABC=BCAB=55，
故选：C．
2．（2020•丰泽区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA=43，则CD的值为（ ）
A．43 B．25 C．65 D．2
【分析】延长AD、BC，两线交于O，解直角三角形求出OB，求出OC，根据勾股定理求出OA，求出△ODC∽△OBA，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【解析】延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA=43=OBAB，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴DCAB=OCOA，
∴DC3=25，
解得：DC=65，
故选：C．
3．（2020•清江浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（3，1），则tanα的值是（ ）
A．1010 B．10 C．13 D．3
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案．
【解析】如图：过点A做x轴的垂线，交x轴于点B
∵A（3，1），
∴OB＝3，AB＝1，
∴tanα=ABOB=13
故选：C．
4．（2019秋•沭阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则sinB等于（ ）
A．45 B．35 C．43 D．34
【分析】作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD=12BC＝6，由勾股定理得出AD=AB2−BD2=8，再由三角函数定义即可得出答案．
【解析】作AD⊥BC于D，如图所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD=12BC＝6，
∴AD=AB2−BD2=102−62=8，
∴sinB=ADAB=810=45；
故选：A．
5．（2019秋•富平县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，tan∠BCD的值为（ ）
A．34 B．43 C．45 D．54
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义计算即可．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴tan∠BCD＝tan∠A=BCAC=34，
故选：A．
6．（2020•盐池县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（ ）
A．43 B．35 C．53 D．34
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．
【解析】∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tan∠A=BCAC=68=34，
∴tan∠ACD的值34．
故选：D．
7．（2019秋•庆云县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA=45，则AC＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据正弦的定义得到sinA=BCAB=45，则可计算出AB＝5，然后利用勾股定理计算AC的长．
【解析】如图，
在Rt△ACB中，∵sinA=BCAB，
∴4AB=45，
∴AB＝5，
∴AC=AB2−BC2=3．
故选：A．
8．（2020•盐池县一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．1
【分析】作DE⊥AB于E，先根据腰直角三角形的性质得到AB=2AC＝62，∠A＝45°，设AE＝x，则DE＝x，AD=2x，在Rt△BED中，利用∠DBE的正切得到BE＝5x，然后由AE+BE＝AB可计算出x=2，再利用AD=2x进行计算．
【解析】作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB=2AC＝62，
∴∠A＝45°，
在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD=2x，
在Rt△BED中，tan∠DBE=DEBE=15，
∴BE＝5x，
∴x+5x＝62，解得x=2，
∴AD=2×2=2．
故选：A．
9．（2020•中山市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，cosB=23，点M是AB的中点，则CM的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】先根据锐角三角函数的边角间关系，求出AB的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论．
【解析】在Rt△ABC中，
∵cosB=23=BCAB，BC＝4，
∴AB＝6．
∵CM是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CM=12AB＝3．
故选：B．
10．（2020•哈尔滨模拟）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝2，tan∠C=12，则线段AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．85 D．45
【分析】由同角的余角相等可得出∠BAD＝∠C，在Rt△ABD中，由tan∠BAD=12可求出AD的长，利用勾股定理可求出AB的长，在Rt△ABC中，由tan∠C=12可求出AC的长，此题得解．
【解析】∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，
∴∠B+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C．
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝2，
∵tan∠BAD=BDAD=12，
∴AD＝2BD＝4，
∴AB=BD2+AD2=25．
在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝25，
∵tan∠C=ABAC=12，
∴AC＝2AB＝45．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2017秋•新华区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，∠BAC的平分线交BC于D，AD=1033cm，则∠B＝ 30° ，AB＝ 10cm ，BC＝ 53cm ．
【分析】在Rt△ACD中，由AC、AD用余弦求出∠DAC，再求出∠B．利用直角三角形的边角关系求AB、BC．
【解析】在Rt△ACD中，
∵cos∠DAC=ACAD=51033=32，
∴∠DAC＝30°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC=12∠BAC＝30°，
∴∠B＝30°，
在Rt△ACB中，∵sinB=ACAB，
∴AB=ACsinB=512=10（cm），
∵tanB=ACBC，
∴BC=ACtanB=533=53（cm）．
故答案为：30°，10cm，53cm．
12．（2020•吴忠一模）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为 45 ．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△ADC中，先由勾股定理得出AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠ADC＝90°，由勾股定理得：
AC=32+42=5，
∴sin∠BAC=CDAC=45．
故答案为：45．
13．（2020•浙江自主招生）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，P为线段AB上一点，且CP=1527，则sin∠PCA的值为 22 ．
【分析】根据题意画出图形并作PD⊥AC于点D，根据勾股定理求出AB、BP的长，进而可得AP的长，再根据三角函数求出PD的长，从而可求sin∠PCA的值．
【解析】如图，作PD⊥AC于点D，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，
∴AB=AC2−BC2=4，
在Rt△CBP中，CP=1527，BC＝3，
∴BP=CP2−BC2=37，
∴AP＝AB﹣BP=257，
∵sin∠A=BCAC=PDAP，
即35=PD257，
∴PD=157，
∴sin∠PCA=PDCP=157×7152=22．
故答案为：22．
14．（2020•汉寿县一模）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC=14，则sinB的值为 104 ．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值．
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA•cosC＝4×14=1，
∴AD=AC2−CD2=42−12=15；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝4﹣1＝3，AD=15，
∴AB=BD2+AD2=32+(15)2=26，
∴sinB=ADAB=1526=104．
故答案为：104．
15．（2019秋•宁阳县期末）如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=32，AB＝3，则AC的长为 213 ．
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【解析】过A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，sinB=13，AB＝3，
∴AD＝AB•sinB＝1，
在Rt△ACD中，tanC=32，
∴ADCD=32，即CD=233，
根据勾股定理得：AC=AD2+CD2=12+(233)2=213，
故答案为213．
16．（2020•吴江区三模）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C=45，那么GE＝ 172 ．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理、三角形相似可以求得GE的长，本题得以解决．
【解析】作EF⊥BC于点F，
∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C=45，
∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，
∴AD∥EF，BC＝8，
∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，
∴DGFE=BDBF=BGBE，BF＝6，
∴DG＝1，
∴BG=17，
∴46=17BE，
得BE=3172，
∴GE＝BE﹣BG=3172−17=172，
故答案为：172．
17．（2020•开福区校级一模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，若AB＝4，AC＝3，则cos∠BAD的值为 35 ．
【分析】在△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，利用面积法可求出AD的长，再根据余弦的定义，即可求出cos∠BAD的值．
【解析】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC=AB2+BC2=5．
∵AD⊥BC，
∴AD=AB⋅ACBC=125，
∴cos∠BAD=ADAB=1254=35．
故答案为：35．
18．（2020•成都模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点M，若CM＝1，BD＝3，则sinB＝ 35 ．
【分析】连接AD，利用等腰三角形的性质得出DM＝MC，进而利用直角三角形的解法解答即可．
【解析】连接AD，
由作图可知，AD＝AC，AM是∠DAC的角平分线，
∴AM⊥DC，DM＝MC＝1，
∵BD＝3，
∴BM＝3+1＝4，AB＝3+2＝5＝BC，
∴AM=AB2−BM2=52−42=3，
∴sinB=AMAB=35，
故答案为：35．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2018秋•运城期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
【分析】在Rt△CDE和Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出CE，BC的长，再结合BE＝BC﹣CE即可求出BE的长．
【解析】在Rt△CDE中，sinC=DECE，
∴CE=DEsin30°=12；
在Rt△ABC中，tanC=ABBC，
∴BC=ABtan30°=83．
∴BE＝BC﹣CE＝83−12，
∴BE的长为83−12．
20．（2018春•江岸区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB于点E，连接CE．
（1）求BE的长；
（2）求tan∠ECB的值．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，证明△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案；
（2）作EF⊥BC于F，根据相似三角形的性质求出EF、CF，根据正切的定义计算即可．
【解析】（1）由勾股定理得，AB=AC2+BC2=32+32=32，
由题意得，AD＝2，CD＝1，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴AEAC=ADAB，即AE3=232，
解得，AE=2，
∴BE＝AB﹣AE＝22；
（2）作EF⊥BC于F，
则EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EFAC=BFBC=BEBA，即EF3=BF3=2232，
解得，EF＝2，BF＝2，
∴CF＝1，
∴tan∠ECB=EFCF=2．
21．（2017秋•闵行区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交边BC于点D，DE⊥AD交边AB于点E，且线段AE比BE大1，BD=6．
（1）求AB的长；
（2）求tan∠ADC的值．
【分析】（1）根据题意可证出△BDE∽△BAD进而得出BD2＝BE•BA，再设未知数列方程求解即可求出AB，
（2）利用（1）中三角形相似，把tan∠ADC的值转化为相似三角形的相似比．从而得出答案．
【解析】（1）∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠EDB+∠ADC＝90°
∴∠EDB＝∠CAD
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠EDB，
又∴∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴BD2＝BE•BA
设BE＝x，则AE＝x+1，
∴（6）2＝x（2x+1）
即：2x2+x﹣6＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝1.5，
∴AB＝2x+1＝4，
答：AB的长为4．
（2）tan∠ADC＝tan∠AED=ADDE，
由（1）△BDE∽△BAD，
∴ADDE=ABBD=46=263=tan∠ADC，
答：tan∠ADC的值为263．
22．（2019秋•建湖县期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA=13．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝DH，根据正切的定义、勾股定理求出AD；
（2）根据勾股定理求出BD，根据正弦的定义计算即可．
【解析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH，
设AH＝x，则DH＝x
∵tan∠DBA=13，
∴BH＝3x，
∴AB＝4x，
由勾股定理可知：AB=AC2+BC2=82+82=82，
∴x＝22，
由勾股定理可得，AD=AH2+DH2=4；
（2）∵AD＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝4，
由勾股定理得，DB=CD2+BC2=42+82=45，
∴sin∠DBC=CDBD=445=55．
23．（2019秋•平谷区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
（1）如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE＝2，sin∠CAE=23，求tanB的值．
【分析】（1）根据∠CAE＝∠CAB﹣∠EAB，想办法求出∠CAB，∠EAB即可．
（2）在Rt△ACE中，求出AE，再求出BC即可解决问题．
【解析】（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝25°．
∴∠CAE＝40°．
（2）∵∠C＝90°，
∴sin∠CAE=CEAE=23．
∵CE＝2，
∴AE＝3，
∴AC=5，
∵EA＝EB＝3，
∴BC＝5，
∴tanB=ACBC=55．
24．（2020•丰台区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．
（1）求证：点D为BF的中点；
（2）如果BC＝5，sinC=35，求AF的长．
【分析】（1）证明OD∥AE可得结论．
（2）在Rt△ODC中，根据sin∠C=ODOC=35，求出半径r，再在Rt△AOH中，求出AH即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥EC，
∴OD∥AE，
∴∠ADO＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴DF=DB，
即点D是BF的中点．
（2）解：过点O作OH⊥AE于H，则AH＝HF．设OA＝OB＝OD＝r，
∵∠ODC＝90°，
∴sin∠C=ODOC，
∴rr+5=35，
解得r=152，
∵OH⊥AE，EC⊥AE，
∴OH∥EC，
∴∠AOH＝∠C，
∴sin∠AOH＝sin∠C=35，
∴AHAO=35，
∴AH=92，
∴AF＝2AH＝9．
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