初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数精品习题

初中数学培优措施和方法

1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想

2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。

3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。

4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备

5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。

6、主动思考，全心投入。听课过程中，要主动思考，这样遇到实际问题时，会应用所学的知识去解答问题。

专题28.1锐角三角函数

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020•河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．

【解析】如图所示：

∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，

∴AB13，

∴sinB．

故选：D．

2．（2019秋•玉环市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，cosA，则AC的长为（　　）

A． B． C． D．5

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案．

【解析】如图所示：

∵∠C＝90°，AB＝4，cosA，

∴cosA，

故AC．

故选：B．

3．（2020•普陀区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，那么下列说法中正确的是（　　）

A．cosB B．cotA C．tanA D．cotB

【分析】利用同角三角函数的关系解答．

【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosA

A、cosB＝sinA，故本选项符合题意．

B、cotA2．故本选项不符合题意．

C、tanA．故本选项不符合题意．

D、cotB＝tanA．故本选项不符合题意．

故选：A．

4．（2018秋•枞阳县期末）在△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．1

【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．

【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，

则sinB＝cosA．

故选：A．

5．（2018秋•市中区校级期中）已知α为锐角，且tanα，则sinα＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据tanα，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出sinα的值．

【解析】设在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，

则sinα，tanα，a2+b2＝c2，

∵tanα知，

∴可设a＝x，则b＝3x，

∴cx．

∴sinα，

故选：D．

6．（2020•岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．

【解析】如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，

则tan∠BAC，

故选：C．

7．（2019秋•港南区期末）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（　　）

A． B． C．或 D．或

【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．

【解析】当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：

①当AB为斜边，∠C＝90°，

∵AC＝8，BC＝6，

∴AB10．

∴cosA；

②当AC为斜边，∠B＝90°，

由勾股定理得：AB2，

∴cosA；

综上所述，cosA的值等于或．

故选：C．

8．（2019•崇川区二模）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（　　）

A．msin35° B．mcos35° C． D．

【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．

【解析】sin∠A，

∵AB＝m，∠A＝35°，

∴BC＝msin35°，

故选：A．

9．（2017•费县模拟）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易证△ADE≌△DCF，可得∠α＝∠CDF，DE＝CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，从而得出sin∠CDF，即可求sinα．

【解析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，

∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，

∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°，

即EF与l2，l3，l4都垂直，

∴DE＝1，DF＝2．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，AD＝CD，

∴∠ADE+∠CDF＝90°，

又∵∠α+∠ADE＝90°，

∴∠α＝∠CDF，

∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°，

∴△ADE≌△DCF，

∴DE＝CF＝1，

∴在Rt△CDF中，CD，

∴sinα＝sin∠CDF．

故选：B．

10．（2009•黑河）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．

【解析】连接DC．

根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°．

根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．

∴sinB＝sinD．

故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2019•杭州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA，则斜边AB边上的高CD的长为　　

【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC，再利用勾股定理计算出AC，然后利用面积法计算CD的长

【解析】作CD⊥AB于D，如图，

在Rt△ACB中，∵sinA，

∴BC4，

∴AC，

∵CD•ABAC•BC，

∴CD，

即斜边上的高为．

故答案为：．

12．（2018•闵行区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝　4sinαtanα　．（用锐角α的三角比表示）

【分析】首先由已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，得出∠BCD＝∠A＝α，由直角△ACD求得CD，再由直角△BCD求出BD．

【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，

∴∠BCD＝∠A＝α，

∴CD＝AC•sinα＝4sinα，

∴BD＝CDtanα＝4sinαtanα．

故答案为：4sinαtanα．

13．（2020•铁东区三模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为　1　．

【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．

【解析】如图所示，连接BC，

则AB＝BC，AC2，

∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，

∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝45°，

则tan∠BAC＝1，

故答案为：1．

14．（2017秋•蓝田县期末）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB，AB＝15，则AC的值是　12　．

【分析】由sinB得AC＝ABsinB，据此可得．

【解析】在Rt△ABC中，∵sinB，

∴AC＝ABsinB＝1512，

故答案为：12．

15．（2019•武侯区模拟）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sinA，则sinB＝　　．

【分析】根据勾股定理及三角函数的定义进行解答即可．

【解析】Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，即，

设CB＝2x，则AB＝3x，

根据勾股定理可得：ACx．

∴sinB．

故答案为：．

16．（2019•咸宁模拟）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为　　．

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．

【解析】∵P（12，a）在反比例函数图象上，

∴a5，

∵PH⊥x轴于H，

∴PH＝5，OH＝12，

∴tan∠POH，

故答案为：．

17．（2018•云梦县一模）如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D，则　　．

【分析】由tan∠D可设AB＝2x、AD＝3x，根据∠ACB＝45°知AC＝AB＝2x，得出CD＝x，继而可得答案．

【解析】在Rt△ABD中，∵tan∠D，

∴设AB＝2x，AD＝3x，

∵∠ACB＝45°，

∴AC＝AB＝2x，

则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，

∴，

故答案为：．

18．（2018•即墨区自主招生）已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是　②③④　．

①cos（﹣30°）；

②cos75°；

③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；

④cos2x＝cos2x﹣sin2x．

【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．

【解析】①cos（﹣30°）＝cos30°，命题错误；

②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°•cos45°﹣sin30°•sin45°，命题正确；

③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命题正确；

④cos2x＝cosx•cosx﹣sinx•sinx＝cos2x﹣sin2x，命题正确；

故答案为：②③④．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2019秋•昌平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，BC＝2，求AB的长．

【分析】根据直角三角形的边角关系，求出AC，再根据勾股定理求出AB．

【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴tanA．

∵BC＝2，

∴，AC＝6．

∵AB2＝AC2+BC2＝40，

∴AB．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC．

（1）求sinA的值．

（2）你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由．

【分析】（1）利用正弦的定义求解；

（2）利用等角的余角相等证明∠A＝∠CBD，从而得到sin∠CBD＝sinA．

【解析】（1）在Rt△ABC中，sinA；

（2）能．

∵BD⊥AC，

∴∠BDC＝90°，

∵∠CBD+∠C＝90°，∠A+∠C＝90°，

∴∠A＝∠CBD，

∴sin∠CBD＝sinA．

21．（2018秋•无锡月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A，求BC的长和tan∠B的值．

【分析】利用锐角三角函数的定义可得，再代入AB的值可得BC的值；再利用勾股定理计算出AC的长，然后再利用正切定义计算即可．

【解析】∵sin∠A，

∴，

∵AB＝15，

∴BC＝9；

∴AC12，

∴tan∠B．

22．（2017秋•宝山区期中）如图，△ABC中，AC＝13，BC＝21，tanC，求：边AB的长和∠A的正弦值．

【分析】过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，解直角三角形求出BF和CF，求出AF，根据勾股定理求出AB，再解直角三角形求出sinA即可．

【解析】

过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，

在△BFC中，tanC，

设BF＝12k，CF＝5k，由勾股定理得：（12k）2+（5k）2＝212，

解得：k（负数舍去），

即BF，CF，

∵AC＝13，

∴AF＝13，

在△AFB中，由勾股定理得：AB20，

在△AFB中，sinA．

23．（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．

（1）求sinB的值；

（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．

【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB计算即可；

（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得，求出EF、DF，再利用勾股定理解决问题．

【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，

∴BD＝DCBC＝9，

∴AB3，

∴sinB；

（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴EF∥AD，

∴，

∴EFAD6＝4，BFBD9＝6，

∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，

在Rt△DEF中，DE5．

24．（2020•福州模拟）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．

（1）如图1，若AE＝DE，

①求证：CD平分∠ACB；

②求的值；

（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．

【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．

②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BDDT即可解决问题．

（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．

【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，

∴∠ADE＝∠DAE，

∵∠CAD＝90°，

∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，

∴∠CAE＝∠ACD，

∴EA＝EC，

∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，

∴∠ACD＝22.5°，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝45°，

∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，

∴CD平分∠ACB．

②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．

∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，

∴DA＝DT，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝45°，

∴BDDTAD，

∴．

（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．

∵AE⊥BE，CT⊥AT，

∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，

∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，

∴∠ABE＝∠CAT，

∵AB＝AC，

∴△ABE≌△CAT（AAS），

∴AE＝CT，BE＝AT，

∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，

∴ET＝CT＝AE，

∴BE＝2AE，

∴tan∠ABE