2023年中考第一次模拟考试卷数学（辽宁大连）（全解全析）

这是一份2023年中考第一次模拟考试卷数学（辽宁大连）（全解全析），共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
A
D
C
C
A
B
C
C
B

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．|−(−2.7)|的相反数是(　　)
A．−2.7 B．2.7 C．12.7 D．−12.7
【答案】A
【分析】根据题意先求得绝对值，再求相反数即可求解．
【详解】|−(−2.7)|=2.7,2.7的相反数是−2.7．
故选：A．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，相反数，掌握绝对值的意义以及相反数的定义是解题的关键．
2．如图所示的三视图对应的几何体是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为圆锥．
【详解】解：图中三视图对应的几何体是圆锥，
故选：A．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握基本几何体的三视图及三视图的定义是解题的关键．
3．根据国家卫健委网站11月26日消息，截至2021年11月26日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗247284.7万剂次．将“247284.7万”用科学记数法表示为（　　）
A．2.472847×105 B．0.2472847×106
C．24.72847×108 D．2.472847×109
【答案】D
【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n,1≤a<10，进行表示即可．
【详解】解：247284.7万=2472847000=2.472847×109．
故选D．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法，是解题的关键．
4．下列计算正确的是（　　）
A．2a2+3a3=5a5 B．3a3÷2a2=a
C．a2b4=a8b4 D．a2·a3=a6
【答案】C
【分析】根据整式的加减运算、乘除运算法则、积的乘方运算即可求出答案．
【详解】A、2a2与3a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意．
B、原式=32a，故B不符合题意．
C、原式=a8b4，故C符合题意．
D、原式=a5，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查整式的加减运算、乘除运算法则、积的乘方运算，本题属于基础题型．
5．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，若∠1=25°，∠2=70°，则∠B=（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC+∠1=∠2，再求出∠BAC，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】解：∵m∥n，
∴∠BAC+∠1=∠2，
∵∠1=25°，∠2=70°，
∴∠BAC=∠2−∠1=70°−25°=45°，
∵∠C=90°，
∴∠B=90°−∠BAC=90°−45°=45°
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
6．在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有16名学生参加比赛，规定前8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的（    ）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
【答案】A
【分析】根据中位数的意义进行求解即可．
【详解】解：16位学生参加比赛，取得前8名的学生进入决赛，中位数就是第8、第9个数的平均数，
因而要判断自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的中位数就可以．
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数的意义，掌握中位数的意义是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△DEF是位似图形，且斜边垂直x轴，O为位似中心，∠ABC=∠DEF=90°，O，B，C，E，F五点共线，若S△DEF：S△ABC=1：2，点D的坐标为−1,0，则B点的坐标为（    ）

A．2，0 B．22，22 C．2，2 D．2，2
【答案】B
【分析】根据位似的性质得到ODOA=DEAB，△ABC∽△DEF，则利用相似三角形的性质得到S△DEFS△ABC=DEAB2=12，所以ODOA=12，即OA=2，然后求出C点坐标，最后利用线段的中点坐标公式得到B点坐标．
【详解】解：∵D−1，0，
∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△DEF是位似图形，O为位似中心，
∴ODOA=DEAB，△ABC∽△DEF，
∵△ABC∽△DEF，
∴S△DEFS△ABC=DEAB2=12，
∴DEAB=12，
∴ODOA=12，
∴OA=2，
∵CA⊥x轴，O，B，C，E，F五点共线，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴AC=OA=2，
∴C2，2，
∵AB⊥OC，
∴OB=BC，
∴B22，22．
故选B．

【点睛】本题考查了位似变换，解决本题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
8．已知正比例函数y=kxk≠0的图象经过二、四象限，则一次函数y=kx-k的图象大致是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可．
【详解】解：因为正比例函数y=kxk≠0的图象经过第二、四象限，
所以k＜0，
所以一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，关键是根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围．
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（    ）

A．40° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，进而根据∠CAB=50°，求得∠CAD，根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵AG是∠CAB的角平分线，∠CAB=50°，
∴∠CAD=∠CAB=25°，
∵∠C=90°，
∴∠CDA=90°−25°=65°，
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键．
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点2，0，3，0之间，对称轴是直线x=1．对于下列说法：
①abc<0；②b>a+c；③3a+c>0；④当−10；⑤a+b≥mam+b（m为实数）．
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】B
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点A在点2，0，3，0之间，对称轴为x=1，
∴抛物线x轴的另一个交点在−1，0和0，0之间，
∴当x=−1时，y=a−b+c<0，即a+c ∵a−b+c<0，且b=−2a，
∴a−−2a+c=3a+c<0，故③错误；
由图可知，当x=1时，函数有最大值，
∴对于任意实数m，有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥mam+b，故⑤正确．
综上，正确的有①②⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．


第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．不等式组3x−1<5x+1,x−12≥2x−4的所有整数解的和为______．
【答案】2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解之和即可．
【详解】解：3(x−1)<5x+1①x−12≥2x−4②，
由①得：x>−2，
由②得：x≤73，
∴不等式组的解集为−2 则所有整数解为−1，0，1，2，
∴−1+0+1+2=2，
∴所有整数解之和为2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
12．线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标是______．
【答案】(1,2)
【分析】点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，确定平移方式，先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，从而结合B(−4,−1)可得其对应点D的坐标.
【详解】解：∵ 线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，
而−1+5=4,4+3=7,
∵ B(−4,−1)，
∴−4+5=1,−1+3=2,
∴D(1,2),
故答案为：(1,2)
【点睛】本题考查的是坐标系内点的平移，掌握由坐标的变化确定平移方式，再由平移方式得到对应点的坐标是解本题的关键.
13．推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．有四张卡片正面分别是垃圾分类标志图案，它们除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．若从中随机抽取两张张卡片，所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的概率是 ___________．

【答案】16
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：将这4张卡片分别记为A、B、C、D，其中B、C是轴对称图形，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的结果有2种，
∴所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的概率为212=16，
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及轴对称图形．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于______．

【答案】10cm
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【详解】解： ∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BC=OB2+OC2=10，
∴BE+CG=10cm．
故答案为：10cm．
【点睛】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．
15．抗疫期间，一车间生产瓶装酒精并装箱，已知封瓶和装箱的生产线共26条，在所有的生产线都保证匀速工作的条件下，酒精封瓶每小时可封650瓶，装箱每小时可装75箱（每箱10瓶）．某天检测8：00~9：00生产线的工作情况，发现有100瓶未装箱，问封瓶和装箱各有多少条生产线？若设封瓶生产线有x条，则可列方程为_________．
【答案】650x−75×10×(26−x)=100
【分析】若设封瓶生产线有x条，则装箱生产线有26−x条，根据题意列出方程即可．
【详解】解：若设封瓶生产线有x条，则装箱生产线有26−x条，
根据题意可得：650x−75×10×(26−x)=100，
故答案为：650x−75×10×(26−x)=100．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程．
16．如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=1，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A'BC'D'，边A'B交线段CD于H，若DH=BH，则△BCC'的面积是_____．

【答案】25##0.4
【分析】作HE⊥AB于E，CF⊥BC'于F，设DH=BH=x，则CH=2−x，在Rt△BCH中，根据勾股定理得到x2=2−x2+1，可解得x=54；再根据旋转的性质得到∠ABA'=∠CBC',BC=BC'=1，从而得到sin∠ABA'=sin∠CBC'，从而得到如下等式，HEBH=CFBC=154=45，求得CF=45，根据S△BCC'=12BC'×CF=12×1×45计算即可．
【详解】作HE⊥AB于E，CF⊥BC'于F，设DH=BH=x，
因为矩形ABCD，AB=2,AD=1，

所以AB=CD=2,AD=HE=BC=BC'=1，CH=2−x， ∠BCD=90°，
在Rt△BCH中，根据勾股定理得到x2=2−x2+1，
解得x=54；
根据旋转的性质得到∠ABA'=∠CBC',BC=BC'=1，
所以sin∠ABA'=sin∠CBC'，
所以HEBH=CFBC=154=45=CF1，
解得CF=45，
所以S△BCC'=12BC'×CF=12×1×45=25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了勾股定理、矩形的性质以及三角函数．

三、解答题（本题功4小题，其中17题9分，18,19,20题各10分，共39分）
17．先化简，再求值：a2−1a−3−a−1÷a+1a2−6a+9，其中a=3−2
【答案】2a−6，−22
【分析】先把除法转化为乘法，再利用乘法的分配律计算，最后把所给字母的值代入代入计算．
【详解】a2−1a−3−a−1÷a+1a2−6a+9
=a2−1a−3−a+1×a−32a+1
=a+1a−1a−3×a−32a+1−a+1×a−32a+1
=a−1a−3−a−32
=a2−3a−a+3−a2−6a+9
=a2−3a−a+3−a2+6a−9
=2a−6，
当a=3−2时
原式=23−2−6=−22．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的．
18．初中学习生活就要结束了，小明就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，他通过采集数据后，绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)求出该班的总人数；
(2)通过计算把统计图补充完整；
(3)如果小华所在年级共有400名学生，请你估计该年级报考普高的学生有多少人．
【答案】(1)50人
(2)见解析
(3)160人

【分析】（1）根据重高人数25和所占的百分比是50%可以求得该班的总人数；
（2）根据条形统计图可以得到普高的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）用总人数乘以样本中普高人数所占百分比．
【详解】（1）解：该班的总人数为25÷50%=50（人）；
（2）解：“普高”人数为50−(25+5)=20，所占百分比为2050×100%=40%，
则“职高”人数为550×100%=10%，
补全图形如下：

（3）解：估计该年级报考普高的学生有400×40%=160（人）．
∴该年级报考普高的学生有160人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19．在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC中点，点E是AD中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

(1)试判断四边形ADCF的形状，并加以证明；
(2)若AB=17，BC=30，求四边形ADCF的面积．
【答案】(1)四边形ADCF是矩形，证明见解析
(2)120

【分析】（1）由AAS证明△AEF≌△DEB，得AF=DB，证得四边形ADCF为平行四边形，再由等腰三角形“三线合一”得AD⊥BC，则∠ADC=90°，根据矩形的判定定理可证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到BD=CD=12BC=15，勾股定理求得AD，然后根据矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：四边形ADCF是矩形；
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DEB∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AEF≌△DEBAAS；
∴AF=DB，
∵点D是BC中点，
∴CD=DB，
∴CD=AF，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，点D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF是矩形；
（2）解：∵AB=AC，点D是BC中点，
∴BD=CD=12BC=15，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴AD=AB2−BD2=172−152=8，
∴四边形ADCF的面积=15×8=120．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160

(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【答案】(1)购进A型服装45件，购进B型服装30件
(2)服装店比按标价出售少收入1410元

【分析】（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用少收入的钱数=每件A型服装少挣的钱数×销售数量+每件B型服装少挣的钱数×销售数量，即可求出结论．
【详解】（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：60x+100y=5700100−60x+160−100y=3600，
解得：x=45y=30
答：购进A型服装45件，购进B型服装30件；
（2）100×(1−0.9)×45+160×(1−0.8)×30
=100×0.1×45+160×0.2×30
=450+960
=1410（元）．
答：服装店比按标价出售少收入1410元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22，23题各10分，共29分）
21．一个足球场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，灯杆AB垂直于地面，已知看台AC的长为10m，AC的坡度i=34，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角∠BDC=27°，最近端的光线恰好与地面交于看台的底端C处，且与地面的夹角∠BCG=60°，A、B、C、D在同一平面内，求CD的长度．（结果精确到1m，参考数据：sin27°≈0.45,cos27∘≈0.9,tan27°≈0.5,3≈1.7）

【答案】CD的长约为19m
【分析】如图所示，延长BA交DG于E，先解Rt△ACE求出AE=6m，CE=8m，再解Rt△BCE，求出BE=83m，最后解在Rt△BDE求出DE的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长BA交DG于E，
在Rt△ACE中，AC=10m，AC的坡度i=34，
∴AECE=34，
∴AE2+169AE2=AC2=100，
∴AE=6m，
∴CE=8m，
在Rt△BCE中，tan∠BCE=BECE，
∴BECE=3，
∴BE=3CE=83m，
在Rt△BDE中，tanD=BEDE，
∴BEDE≈0.5，
∴DE≈2BE=163≈27m，
∴CD=DE−CE=19m，
∴CD的长约为19m．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.
(1)从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为________；
(2)甲从中取出两个球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率P.
【答案】(1)14
(2)13

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表得出共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为14，
故答案为：14；
（2）列表如下：

阳1
过
阳2
康
阳1

阳1过
阳1阳2
阳1康
过
过阳1

过阳2
过康
阳2
阳2阳1
阳2过

阳2康
康
康阳1
康过
康阳2


由表知，共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有4种结果，
∴甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率P=412=13．
【点睛】此题考查的是用列表法法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．

(1)求证：∠CAD=∠CDE；
(2)若CD=6，tan∠BAD=2，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3

【分析】（1）由切线的性质得到∠BAC=90°，则∠BAD+∠CAD=90°，再由直径所对的圆周角是直角得到∠B+∠BAD=90°，则∠B=∠CAD，再由等腰三角形的性质和对顶角相等进行推理即可；
（2）先证明∠BAD=∠AED，再根据正切的定义得到ADDE=2，证明△DAC∽△EDC，求出CE=32，AC=62，则AE=32，在Rt△ABE中，tan∠AEB=ABAE=2，则AB=6，即可得到⊙O的半径为3．．
【详解】（1）证明：∵AE是⊙O的切线，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵∠ODB=∠CDE，
∴∠CDE=∠CAD；
（2）解：由（1）得∠BAE=∠ADB=∠ADE=90°，
∴∠ABE+∠AEB=∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠AED，
在Rt△ADE中，tan∠AED=tan∠BAD=ADDE=2，
∵∠DAC=∠EDC，∠C=∠C，
∴△DAC∽△EDC，
∴CDCE=ACCD=ADDE=2，
∴CE=32，AC=62，
∴AE=AC−CE=32，
在Rt△ABE中，tan∠AEB=ABAE=2，
∴AB=6，
∴⊙O的半径为3．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等等，灵活运用所学知识是解题的关键．

五、解答题（本题共3小题，其中24,25各11分，26题12分，共34分）
24．如图，直线AB:y=−34x+6，交x轴于点A，交y轴于点B，动点P从B点向A点运动，速度为1单位每秒，另一动点Q从点A向O点运动，速度为2个单位每秒，它们同时出发，运动的时间为t秒，当一动点先到达后，另一动点随之停止．

(1)求SΔAOB．
(2)设ΔAPQ的面积为S，求S与t的关系？并求S的最大值？
【答案】(1)S△AOB=24
(2)S=−0.6t2+6t，S的最大值是14.4

【分析】（1）根据直线AB:y=−34x+6，可以求得点A和点B的坐标，然后即可求得SΔAOB；
（2）根据题意，可以表示出AQ和BP，然后根据相似三角形的判定和性质，可以得到点P到x的距离，从而可以写出S与t的关系，再根据二次函数的性质，即可得到S的最大值．
【详解】（1）解：∵直线AB:y=−34x+6，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=8，
∴点点A的坐标为(8,0)，点B的坐标为(0,6)，
∴OA=8，OB=6，
∴SΔAOB=OA⋅OB2=8×62=24；
（2）解：由题意可得，
BP=t，AQ=2t，
作OM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，如图所示，

∵PN⊥y轴，AO⊥y轴，
∴PN∥AO，
∴△BPN∽△BAO，
∴ BPBA=BNBO，
∵BO=6，AO=8，∠BOA=90°，
∴AB=BO2+AO2=62+82=10，
∴ t10=BN6，
解得BN=0.6t，
∴ON=6−0.6t，
∴PM=6−0.6t，
∴SΔAPQ=AQ⋅PM2=2t⋅(6−0.6t)2=−0.6t2+6t，
∵点P从B到A用的时间为：10÷1=10(s)，点Q从点A到点O用的时间为：8÷2=4(s)，
∴0≤t≤4，
∵SΔAPQ=−0.6t2+6t=−0.6(t−5)2+15，
∴当t=4时，S取得最大值14.4，
由上可得，S=−0.6t2+6t，S的最大值是14.4．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．如图，已知点D为等边△ABC外部一点，且∠ADC=30°，连接DB．
问题背景：利用旋转变换将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE，请在图1中完成作图；此时得到DA、DB、DC的等量关系为______（直接写出）

尝试运用：如图2，取BD中点M，连接AM、CM，求证：AM⊥CM．

拓展创新：如图3，延长CM交AD于点N，连接BN，若AC=7，CN=5，直接写出△ACN的面积______．

【答案】问题背景：图见解析，DC2+DA2=DB2；尝试运用：见解析；拓展创新：103
【分析】问题背景：根据旋转的性质可证明△AED是等边三角形，再证明△ABE≌△ACDSAS得到∠AEB=∠ADC=30°，BE=DC，进而得到∠BED=90°，然后利用勾股定理可得出结论；
尝试运用：将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE，连接DE，延长AM交DE于F，延长MC交BE于G，连接CE，ME，根据直角三角形斜边上的中线性质和线段垂直平分线的判定证明AF垂直平分DE，再证明△ADC≌△EDCSAS得到EC=BC，可证明MG垂直平分BE，然后根据平行线的判定与性质即可证得结论；
拓展创新：将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE，连接DE，延长AM交DE于F，根据前两问的结论和平行线的性质可求得∠NAM=30°，则AN=2MN，根据勾股定理得AM2=AC2−MC2=AN2−MN2求得MN=4，进而求得AM，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：问题背景：将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE，如图1，

由旋转性质得∠EAD=60°，EA=DA，则△AED是等边三角形，
∴∠AED=∠ADE=60°，EA=DA=DE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60，
∴∠BAE=∠CAD=60°−∠CAE，
∴△ABE≌△ACDSAS，
∴∠AEB=∠ADC=30°，BE=DC，
∴∠BED=90°，
∵在Rt△BED中，BE2+DE2=DB2，
∴DC2+DA2=DB2，
故答案为：DC2+DA2=DB2；
尝试运用：如图2，将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE，连接DE，延长AM交DE于F，延长MC交BE于G，连接CE，ME，

由上一问知，∠BED=90°，∠ADE=60°，AE=AD，
∵M为BD的中点，
∴ME=MB=MD=12BD，又AE=AD，
∴AF垂直平分DE，即AM⊥DE，
∵∠ADE=60°，∠ADC=30°，
∴∠EDC=∠ADC=30°，又DA=DE，DC=DC，
∴△ADC≌△EDCSAS，
∴AC=EC，又AB=BC，
∴EC=BC，又ME=MB，
∴MG垂直平分BE，即CM⊥BE，
∵∠BED=90°，即DE⊥BE，
∴CM∥DE，又AM⊥DE，
∴AM⊥CM；
拓展创新：如图3，将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE，连接DE，延长AM交DE于F，

由上一问知，CM∥DE，∠ADE=60°，AM⊥CM，
∴∠ANM=∠ADE=60°，∠AMN=∠AMC=90°，
∴∠NAM=90°−∠ANM=30°，
∴AN=2MN，
根据勾股定理得AM2=AC2−MC2=AN2−MN2，
∵AC=7，CN=5，
∴72−5−MN2=2MN2−MN2，
解得：MN=4或MN=−32（舍去），
∴AM=AN2−MN2=3MN=43，
∴S△ACN=12×5×43=103．
故答案为：103．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含30°直角三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，利用类比方法正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12x2+bx+52与x轴交于点A(1,0)，抛物线的对称轴l经过点B，作直线AB．P是该抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．

(1)b= ___________；
(2)当点P在抛物线A，B两点之间时，求线段PQ长度的最大值；
(3)矩形PQMN与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m−n=2时，求点P的坐标．
【答案】(1)−2；
(2)98；
(3)点P的坐标为(−4,52)；(2,−72)．

【分析】（1）把点A(1,0)代入抛物线解析式即可；
（2）由抛物线解析式可得顶点B的坐标为(−2,92)；设直线AB的解析式为：y=kx+b，代入点A(−1,0)及点B的坐标可求得，直线AB的解析式为：y=−32x+32．设P(t,−12t2−2t+52)，则Q(t,−32t+32)，所以PQ=−12t2−2t+52−(−32t+32)=−12t2−12t+1=−12(t+12)2+98，所以当t=−12时，PQ的最大值为98．
（3）结合点P的位置及图形可知，需要分两种情况：当点P在直线l左侧时，此时t<−2，G从左到右上升，图象最高点为B，最低点为P(t,−12t2−2t+52)，当点P在直线l左侧时，此时t>l，G从左到右下降，图象最高点为C，最低点为P(t,−12t2−2t+52)，结合m−n=2，可分别求的t的值进而求得点P的坐标．
【详解】（1）∵抛物线y=−12x2+bx+52与x轴交于点A(1,0)，
∴0=−12+b+52，解得b=−2；
故答案为：−2．
（2）抛物线y=−12x2+bx+52=−12(x+2)2+92，
∴顶点B的坐标为(−2,92)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，过点A(−1,0)，
则−2k+b=92k+b=0，解得k=−32b=32．
∴直线AB的解析式为：y=−32x+32．
设P(t,−12t2−2t+52)，
∵PQ⊥x轴交直线AB于点Q，
∴Q(t,−32t+32)，
∵点P在A、B之间，
∴当−2 ∵a=−12<0，
∴当t=−12时，PQ的最大值为98．
（3）如图，当点P在直线l左侧时，此时t<−2，G从左到右上升，图象最高点为B，最低点为P(t,−12t2−2t+52)，

∴m=92，n=−12t2−2t+52，
∵m−n=2，
∴ 92−(−12t2−2t+52)=2，
解得t=−4，或t=0（舍)，此时点P的坐标为(−4,52)；
当点P在直线l左侧时，此时t>l，G从左到右下降，图象最高点为C，最低点为P(t,−12t2−2t+52)，

∵MQ垂直y轴，
∴点Q与点C的坐标相同．
∴m=−32t+32，n=−12t2−2t+52，
∵m−n=2，
∴−32t+32−(−12t2−2t+52)=2，
解得t=2，或t=−3（舍)，此时点P的坐标为(2,−72)．
综上所述，点P的坐标为(−4,52)；(2,−72)．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．