2023年中考第一次模拟考试卷数学（山西卷）（全解全析）

2023年中考数学第一次模拟考试卷

数学·全解全析

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．D

【分析】利用绝对值和倒数的定义解答即可．

【详解】解：∵的绝对值是，

∴的倒数是．

故选：D．

【点睛】本题考查了绝对值和倒数，掌握绝对值和倒数的定义是解题的关键．

2．A

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．

【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；

B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；

C. 是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；

D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题关键是理解轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．D

【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，n为整数位数减1，据此即可解答．

【详解】解：．

故选：D

【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于10的数，一般形式为，其中，n为整数位数减1，熟知科学记数法的形式，并准确确定a、n的值是解题关键．

4．C

【分析】根据正方体的平面展开图的特点即可得．

【详解】解：由正方体的平面展开图的特点可知，“美”与“逆”在相对面上，“的”与“行”在相对面上，“最”与“人”在相对面上，

故选：C．

【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．

5．D

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．

【详解】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

把不等式①和②的解集在数轴上表示为

．

故选：D

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是先解不等式再画数轴．

6．D

【分析】利用反比例函数的图象的性质解决问题．

【详解】解：∵，

图象分布在第二、四象限，A选项不符合题意；

当时，y随x的增大而增大，B选项不符合题意；

当时，，故图象经过点，C选项不符合题意；

若，则或，故D选项符合题意；

故选择D．

【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解决问题的关键是掌握反比例函数的性质，注意函数的增减性是在每个象限内．

7．A

【分析】由圆周角定理可求出，结合题意可求出，最后根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出．

【详解】∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

故选A．

【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半是解题关键．

8．D

【分析】根据落在扇形内的点的个数与正方形内点的个数之比等于两者的面积之比列出，可得答案．

【详解】解：根据题意，点的分布如图所示：

则有，

∴，

故答案为：D．

【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．

9．C

【分析】根据两直线平行，可以得出内错角相等，，由平分，角平分线的性质得，，故可以得出的度数．

【详解】解：∵，

∴，

∵平分，，

∴，

∴，

故选C．

【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，解本题要熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质．

10．A

【分析】设与相交于点，利用菱形的性质可得，，利用圆的切线性质可得，从而可得，进而可得，然后求出，从而求出，，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，的度数，最后根据阴影部分面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答．

【详解】解：设与相交于点，

四边形是菱形，

，，

与、分别相切于点、，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

在中，，

，

，

阴影部分面积的面积扇形的面积

，

阴影部分面积为，

故选：A．

【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11．

【分析】根据根式乘法法则计算，再根据二次根式性质化成最简二次根式即可得到答案．

【详解】解：由题意得，

，

故答案为．

【点睛】本题考查二次根式乘法运算及化简最简二次根式，解题的关键是运算结束要化简成最简二次根式．

12．400

【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．

【详解】解：设反比例函数的解析式为，

由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），

∴，

∴反比例函数的解析式为，

当S=0.25时，．

故答案为：400

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．

13．一院

【分析】分别求出和，再根据方差越小越稳定，即可进行解答．

【详解】解：一院平均每天做核算人数：（百人），

一院平均每天做核算人数：（百人），

∴，

，

∴，即“一院”医院做核酸的人数更稳定，

故答案为：一院．

【点睛】本题主要考查了根据方差判断数据的稳定性，解题的关键是掌握方差的计算方差，以及方差越小越稳定．

14．7

【分析】利润率不能低于5%，意思是利润率大于或等于5%，相应的关系式为：利润÷进价×100%≥5%，把相关数值代入即可求解．

【详解】解：设这种商品可以按x折销售，

则售价为300×0.1x元，那么利润为（300×0.1x-200）元，

所以相应的关系式为300×0.1x-200≥200×5%，

解得：x≥7．

答：该商品最多可以7折．

故答案为：7．

【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值．

15．

【分析】过点作的平行线，分别交于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得．

【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点，

四边形是正方形，，

，，四边形是矩形，

，

点为中点，

，

，

，

，即，

设，则，

，

由折叠的性质得：，

，

又，

，

，

在和中，，

，

，即，

解得，，

，

又，

，

解得或，

经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（1）（2）

【分析】（1）根据实数运算法则进行计算即可；

（2）运用配方法求解即可．

【详解】（1）

；

（2）

∴．

【点睛】此题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则，正确解一元二次方程．

17．(1)见解析

(2)∠DQP=150°．

【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；

（2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠DQP的度数．

（1）

解：如图即为所求；

；

（2）

解：由（1）知PQ∥OB，

∴∠PQO=∠DOB，

∵OD为∠AOB的角平分线，且∠AOB=60°，

∴∠AOD=∠BOD=30°，

∴∠PQO=∠DOB=30°，

∴∠DQP=180°-30°=150°．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．

18．农科基地每捆蜜薯秧苗的价格是16元

【分析】设农科基地每捆蜜薯秧苗的价格为x元，根据用320元在市场上购买的蜜薯秧苗比在农科基地购买的少4捆列分式方程解题即可．

【详解】设农科基地每捆蜜薯秧苗的价格为x元，则市场上每捆蜜薯秧苗的价格为元．

根据购买捆数关系，得

方程两边乘，得，

解得．

检验：当时，．

所以，是原分式方程的解．

答：农科基地每捆蜜薯秧苗的价格是16元．

【点睛】本题考查分式方程的应用，解题时注意分式方程要验根．

19．（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）

【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；

（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；

（3）用样本估计总体的思想解决问题；

（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．

【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；

（2）喜爱“体育”的人数为（名，

补全图形如下：

（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；

（4）列表如下：

所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，

所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20．(1)等腰三角形底边上的高也是底边的中线，三角形中位线定理

(2)两棵树之间的距离20cm

(3)见解析

【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三角形中位线定理解决问题即可；

（2）利用相似三角形的性质求解即可；

（3）根据要求作出图形即可，利用相似三角形的性质证明即可．

【详解】（1）解：明明的方法：如图（1），在过点且与垂直的直线上确定一点，

使从点可直接到达点，连接，在的延长线上确定一点，

使，测出的长，则，

明明的理由：，，

（等腰三角形底边上的高也是底边的中线）；

华华的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点的点，

连接，，在，上分别取点，，使，，

连接，测出的长，则

华华的理由：，，

是的中位线，

（三角形中位线定理）；

故答案为：等腰三角形底边上的高也是底边的中线，三角形中位线定理；

（2）解：如图（3），

，

，

，

，

，

cm；

（3）解：图形如图4，

理由：，

，

，

，

，

如果测得、、的长，就可以求出两棵树之间的距离．

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

21．路灯顶部到地面的距离约为3.4米

【分析】延长交于点F，得和，设，根据将用含x的代数式表示出来，根据将用含x的代数式表示出来，再根据列方程求出x的值，即可求得的长.

【详解】解：如图：延长交于点F，由题意得

，，，

设，在中，，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴

∴，

∴，

路灯顶部到地面的距离约为3.4米．

【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及正确的列方程是解题的关键.

22．(1)∠ADF=45°，AD=DF；

(2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4.

【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；

（2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；

②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可．

【详解】（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：

延长DF交AB于H，连接AF，

∵∠EDC=∠BAC=90°，

∴DE∥AB，

∴∠ABF=∠FED，

∵F是BE中点，

∴BF=EF，

又∠BFH=∠DFE，

∴△DEF≌△HBF，

∴BH=DE，HF=FD，

∵DE=CD，AB=AC，

∴BH=CD，AH=AD，

∴△ADH为等腰直角三角形，

∴∠ADF=45°，

又HF=FD，

∴AF⊥DH，

∴∠FAD=∠ADF=45°，

即△ADF为等腰直角三角形，

∴AD=DF;

（2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：

过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示，

则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，

∵F是BE中点，

∴BF=EF，

∴△DEF≌△HBF，

∴BH=DE，HF=FD，

∵DE=CD，

∴BH=CD，

延长ED交BC于M，

∵BH∥EM，∠EDC=90°，

∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，

又∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∴∠HBA+∠DCB=45°，

∵∠ACD+∠DCB=45°，

∴∠HBA=∠ACD，

∴△ACD≌△ABH，

∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，

∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°，

即∠HAD=90°，

∴∠ADH=45°，

∵HF=DF，

∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形，

∴AD=DF．

②由①知，S△ADF=DF2=AD2，

由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2，

当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4，

∴1≤S△ADF≤4．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线．

23．(1)；

(2)；

(3)是定值，．

【分析】（1）根据抛物线与轴有两个交点可知，求解即可；

（2）根据题意可知，，得出，从而得出，求解根据得出的值，则解析式可得；

（3）先根据二次函数解析式求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，设直线的解析式，，，连立二次函数与一次函数可得，根据根与系数的关系可得，过点D作轴于点，过点作轴于点，则可证明，则，即，解出的值，同理得出的值，相加即可．

【详解】（1）解：抛物线与轴有两个交点，

，解得，

实数的取值范围为；

（2），

，

，

，则，即，

，

，解得，

，

，

则抛物线的解析式为；

（3）是定值，理由如下：

当时，有，解得，

，

，

设直线的解析式为：，

则，

解得：，

直线的解析式为：，

，

设直线的解析式，，，

联立得，

则，

过点D作轴于点，过点作轴于点，

，

∴，则，

，

解得，

同理，

则，

．

【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解本题的关键.