2023年中考第一次模拟考试卷数学（深圳卷）（全解全析）

这是一份2023年中考第一次模拟考试卷数学（深圳卷）（全解全析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
A
A
A
D
B
A
C
D
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1． 2023的相反数的倒数是（       ）
A．2022 B．-12023 C．12023 D．2023
【答案】B
【分析】根据和为零的两个数互为相反数，利用乘积为1的两个数互为倒数计算．
【详解】∵2023的相反数是-2023，∴-2023的倒数是，故选B．
【点睛】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，倒数即乘积为1的两个数，熟练掌握定义，灵活计算是解题的关键．
2．国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．
【详解】解：A不是中心对称图形，故A错误；
B是中心对称图形，故B正确；
C不是中心对称图形，故C错误；
D不是中心对称图形，故D错误；
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合，理解并掌握如何判断中心对称图形的条件是解题的关键．

3．某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据：

甲
乙
丙
丁
平均分
95
93
95
94
方差
3.2
3.2
4.8
5.2

根据表中数据，应该选择（   ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】从平均数和方差进行判断，即可得
【详解】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，
从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故选：A．
【点晴】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
4．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键．
5.关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数解，
∴
解得：
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6.在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键．
7.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个可列方程x+y=12，根据桌子腿数与凳子腿数的和为40条可列方程4x+3y=40，组成方程组即可．
【详解】解：根据题意可列方程组，

故选：B．
【点睛】本题考查实际问题抽出二元一次方程组，解题的关键是要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
8.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是：

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米
【答案】A
【分析】在，直接根据正弦的定义求解即可.
【详解】如图：

AB=13，作BC⊥AC，
∵
∴.
故小车上升了5米，选A.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题.解决本题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造，在中解决问题.
9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（    ）

A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】C
【分析】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，根据∠A＝50°，先求出，再求出，进而可求出∠BOC．
【详解】解：过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，

∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
，，
∵∠A＝50°，
∴，
∴

，
∴∠BOC＝


故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，角平分线的判定，三角形内角和，角平分线的定义，解题关键是构造出辅助线——弦心距．
10.如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由折叠的性质可得垂直平分，故结论①正确；过点作于，由“”证明，可得，，故结论②正确；过点作于，由“”证明，可得，，由“”证明，可得，即可求得，故结论③正确；延长至，使，连接，由“”证明，可得，，由“”证明，可得，由线段的和差关系即可证明结论④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将正方形沿翻折，
∴垂直平分，故结论①正确；
∴，
如图，过点作于，

∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论②正确；
如图，过点作于，

∵将正方形沿翻折，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论③正确；
如图，延长至，使，连接，

∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故结论④正确．
综上所述，结论正确的有①②③④，共计4个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：原式= ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题的关键．
12.正六边形的一个内角是正边形一个外角的倍，则等于__
【答案】
【分析】先根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角为，进而得正边形的外角为，再根据外角和定理即可求解．
【详解】解：由多边形的内角和定理可知，正六边形的内角为，
∵正六边形的一个内角是正边形一个外角的倍，
∴正边形的外角为，
∴正边形的边数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的外角与内角的知识．解题的关键在于熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理．
13.已知现有的12瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这12瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是__
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解．
【详解】∵12瓶饮料中有2瓶已过了保质期，
∴从这12瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是.
14.如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．

【答案】3
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，

∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴ ，即，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．
15．如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时，点运动的距离为________.

【答案】或
【分析】分点落在对角线上和点落在对角线上两种情况分别进行讨论求解，即可得出点运动的距离．
【详解】分两种情况：
①当点落在对角线上时，连接，如图所示：
将矩形沿折叠，点的对应点为点，且点恰好落在矩形的对角线上，
，
点为线段的中点，
，
，即，
，
点是的中点，
在矩形中，，
，
，
点运动的距离为；

②当点落在对角线上时，作于，则，四边形为矩形，如图所示：
在矩形中，，，，，
，，
，  
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
点运动的距离为；
综上所述：点运动的距离为或；
故答案为：或．

【点睛】本题考查了几何变换综合题，需要利用翻折变换的性质、矩形的性质、平行线的性质、三角函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，熟记翻折变换的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题5分，第18题5分，第19题9分，第20题8分，第21题12分，第22题11分，共55分）
16．计算：．
【答案】
【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得
【详解】解：原式
．
【点晴】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转后得到．

(1)请写出、、三点的坐标：_________，_________，_________
(2)求点旋转到点的弧长．
【答案】(1)（1，1）；（0，4）；（2，2）
(2)2π

【分析】（1）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．
（2）由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90º，OB=4，根据弧长公式即可计算求出．
【详解】（1）解：将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，
所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）
（2）解：由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，
∴点旋转到点的弧长==2π
【点睛】本题主要考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和弧长公式．
18．某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min
频数
频率

4
0.1

7
0.175

a
0.35

9
0.225

6
b
合计
n
1


请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的=________，=________，=________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数．
【答案】(1)14，0.15，40；
(2)补图见解析；
(3)约有180人

【分析】从频数分布表中得知，频数4占比例为0.1，由此可推出样本容量是40，在求出后，和可随之求出，继而（2）可解决；接下来，从样本去估计总体，就是（3）的结果．
【详解】（1）n==40
a=40-（4+7+6+9）=14，
b=
故= 14 ，= 0.15 ，= 40
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）被抽到的40人中，运动时间不低于120分钟的有9+6=15人，占频率0.225+0.15=0.375，
以此估计全年级480人中，大概有480×0.375=180（名）．
【点睛】本题主要考查了统计和概率，总体和样本；能够准确的根据频数分布表和直方图计算样本和总体的各项数据是解题的关键．
19.如图，已知，是的直径，是的切线，点在的延长线上，，交于点，

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若的面积，求四边形的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)18

【分析】（1）根据圆切线的性质即可求解；
（2）根据圆的性质证，即可证明；
（3）由得，进而得，所以，由即可求解；
（1）
证明∵是的直径，是的切线，
∴，，
∴，
∴．
（2）
证明∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）
解：∵，
∴，

∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的性质、三角形的全等、相似三角形的判定与性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．


20．近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【答案】(1)20元
(2)2250元

【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可．
【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，



解得
检验：将代入，值不为零，
∴是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
（2）解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元，
由题意可知：，
解得，
又∵，
∴，
∵y随m的增大而减小
∴当时，花费最少，
此时
∴本次购买最少花费2250元．
【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．

21．问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．

(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)[问题提出]（1）；（2）见解析
(2)[问题拓展]

【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解；
（2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得；
[问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得．
【详解】（1）[问题探究]：（1）如图，

中，，是的中点，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：取的中点，连接．

∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）[问题拓展]如图，取的中点，连接．

∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．



，

∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

(1)求a的值；
(2)将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
(3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)a＝2
(2)m＝﹣
(3)存在，G（0，﹣）

【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F可得出结论；
（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出m的值；
（3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，从而可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，
点在抛物线上，
，
．
（2）解：直线与抛物线，分别交于点，，
，，



，
，
当时，的最大值为，
的最大值为4，
，解得，
，
．
（3）解：存在，理由如下：
设点的坐标为，则，
，
点在轴正半轴上，
且，
，
，，，．
如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，

，，
，
，
，
，
，即．
，，，

解得．
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，解题的关键是构造相似三角形得出方程进行求解．