2023年中考第一次模拟考试卷数学（福建卷）（全解全析）

2023年中考数学第一次模拟考试卷

数学·全解全析

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．的相反数是（    ）

A．5 B． C．0 D．1

【答案】A

【分析】根据相反数的定义，可得答案．

【详解】解：−5的相反数是5，

故选：A．

【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．下列水平放置的几何体的主视图是圆的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】找到从正面看所得到的图形是圆即可．

【详解】解：A、主视图是长方形，故本选项错误；

B、主视图是正方形，故本选项错误；

C、主视图是三角形，故本选项错误；

D、主视图是圆，故本选项正确；

故选：D．

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，主视图为从物体正面看到的视图．

3．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义依次分析各选项即可判断.

【详解】解：A只是中心对称图形；

B既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；

C只是轴对称图形；

D.既是中心对称图形，又是轴对称图形

故选：D

【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，解题的关键是知道轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．两个不等式的解在数轴上表示如图，则这两个不等式组成的不等式组的解是（　　）

A．x＜1或x＞﹣3 B．﹣3＜x＜1 C．﹣3＜x≤1 D．﹣3≤x＜1

【答案】C

【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．

【详解】∵﹣3处是空心原点，且折线向右，1处是实心原点且折线向左，

∴这两个不等式组成的不等式组的解是：﹣3＜x≤1．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题的关键．

5．记录一天气温的变化情况，选用比较合适的统计图是（     ）

A．条形统计图  B．扇形统计图

C．折线统计图 D．都不可以

【答案】C

【详解】试题分析：因为条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；所以要记录一天气温的变化情况，宜采用折线统计图，故选C.

考点：统计图的特点.

6．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（    ）

A．腰上的中线 B．腰上的高所在的直线

C．顶角的平分线所在的直线 D．过顶点的直线

【答案】C

【分析】轴对称图形的定义和等腰三角形的性质进行求解即可．

【详解】解；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线所在的直线或顶角的角平分线所在的直线或底边上的高所在的直线，

故选C．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和轴对称图形的定义，熟知三线合一定理是解题的关键．

7．2022年底，新冠疫情持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有441人感染，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据两轮传染后共有441人列出方程求解即可．

【详解】解：第1轮传染后共有人感染，

第2轮传染后共有人感染，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——传播问题，解题关键是找到相等关系，建立方程．

8．方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是，把代入方程中其余两个方程，得关于a、b的方程组，解答即可．

【详解】解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是，

把代入方程中其余两个方程得，

解得，．

故选：B．

【点睛】题考查了对方程组解的理解，另外此题还有一巧办法，把两个方程相加得．

9．微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：个人一天中走路步数达到10000及以上可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，如果步数在10000及以上，每步可捐0.0002元．例如小明某天的步数为13000，则可捐2.6元；若一天的步数为8000，则无捐赠资格．已知甲、乙、丙三人某天通过步数共捐赠了6.4元，且甲的步数<乙的步数<丙的步数，则下面说法不正确的是（    ）

A．甲可能走了10000步 B．乙可能走了17000步

C．丙可能走了20000步 D．甲、乙、丙三人可能共走了50000步

【答案】B

【分析】甲乙丙三人某天通过步数共捐赠了6.4元，可得三人走路的步数的最小值，依据甲的步数<乙的步数<丙的步数可得甲走路的步数必定小于平均数，而丙走路的步数必定大于平均数，进而得出结论．

【详解】解：∵6.4÷0.0002=32000（步），

∴平均每人走路的步数为32000÷3≈10667（步），

∵甲的步数<乙的步数<丙的步数，

∴甲走路的步数必定小于平均数，而丙走路的步数必定大于平均数，

∴甲可能走了10000步，丙可能走了20000步，故A、C选项正确；

若乙走了17000步，则乙和丙的步数之和大于32000步，不合题意，故B选项错误；

若丙走路32000步，而甲乙两人走路步数都小于10000步，则甲、乙、丙三人可能共走了50000步，故D选项正确；

故选B．

【点睛】本题主要考查了随机事件及平均数，熟练掌握随机事件及平均数是解题的关键．

10．如图，在平面直角坐标系中，O为□ABCD的对称中心，点A的坐标为(-2，-2) ，AB=5，AB//x轴，反比例函数的图象经过点D，将□ABCD沿y轴向下平移，使点C的对应点C'落在反比例函数的图象上，则平移过程中线段AC扫过的面积为(    )

A．24 B．20 C．18 D．14

【答案】B

【分析】根据O为▱ABCD的对称中心，点A的坐标为（-2，-2），AB=5，AB∥x轴，可求点B、D、C的坐标，进而求出反比例函数的关系式，由平移可求出点C′的坐标，知道平移的距离，即平行四边形的底，再根据点的坐标，可求出平行四边形的高，最后根据面积公式求出结果．

【详解】解：∵点A的坐标为（-2，-2），AB=5，AB∥x轴，

 ∴B（3，-2），

 ∵O为▱ABCD的对称中心，

 ∴D（-3，2），C（2，2），

将D点坐标代入反比例函数的关系式得，

 将▱ABCD沿y轴向下平移，使点C的对应点C′落在反比例函数的图象上，

平移后，如图， 当x=2时，

 ∴点C′（2，-3），

∴CC′=2-（-3）=5，

上的高为：

 ∴平行四边形ACC′A′的面积为5×4=20，

 故选：B．

【点睛】考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质及面积，将点的坐标转化为线段的长是常用的方法，将AC平移后扫过的面积就是平行四边形ACC′A′的面积是关键．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．如果一个正多边形的内角和等于，那么这个正多边形的每一个外角的度数为___．

【答案】36°

【分析】根据多边形的内角和公式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．

【详解】解：设此多边形为边形，

根据题意得：，

解得：，

这个正多边形的每一个外角等于：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和，熟记多边形内角和公式以及多边形外角和度数为360°是解题的关键．

12．在四边形中，，、、、分别是边、、、的中点，则四边形的周长为_________cm．

【答案】15

【分析】根据三角形中位线定理得出，，则四边形的周长．

【详解】解：、分别是边、的中点，、分别是边、的中点，

，，

，

同理得，，

四边形的周长

．

故答案为：15．

【点睛】本题考查的是中点四边形，利用三角形中位线定理可以得出中点四边形的周长等于两条对角线长度的和．

13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是_________．

【答案】红球（或红色的）

【详解】解：因为有白球2个，黄球2个，红球1个，添加1个球后，摸到每一个颜色球的概率都是，所以添加的应该是红球.

14．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的表达式为________．

【答案】

【分析】根据“气压×体积＝常数”先求得常数的值，再表示出气体体积V和气压p的函数解析式．

【详解】设，那么点在此函数解析式上，则，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

15．对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为___________．

【答案】或

【分析】分类讨论x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可．

【详解】解：当时，方程为：

即，

解得：（舍去），；

∴此时，

当时，方程为：，

解得：（舍去），，

∴；

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解．

16．关于二次函数（为常数）的结论：

①该函数的图象与轴总有公共点；

②不论为何值，该函数图象必经过一个定点；

③若该函数的图象与轴交于、两点，且，则；

④若时，随的增大而增大，则．其中说法正确的是______．

【答案】①②④

【分析】根据根的判别式可判断①；把函数解析化为，可判断②；再，求出该函数的图象与轴的交点，可得到关于m的不等式，可判断③，然后把函数解析式化为顶点式，结合二次函数的性质可判断④

【详解】解：①∵，

∴，

∴该函数的图象与轴总有公共点，故①正确；

②∵，

∴当时，，

即不论为何值，该函数图象必经过定点，故②正确；

③令，，

解得：，

∴该函数的图象与轴的两个交点为，

∴，

∵，

∴，

解得：或，故③错误；

④∵，

∵，

∴当时，y随x的增大而增大，

∵时，随的增大而增大，

∴，解得：，故④正确；

故答案为：①②④

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

三、（本题共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．计算：．

【答案】

【分析】先计算立方根、化简绝对值、计算算术平方根，然后进行合并即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了实数的运算，熟记法则和运算顺序是解决此题的关键．注意引入无理数后有理数的一些运算法则和性质仍然适用．

18．如图，已知点，，，在一条直线上，，，，求证：；

【答案】证明过程见详解

【分析】根据可求，再结合，，由边角边证明即可．

【详解】证明：∵，

∴，即，

在和中，

，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．

19．先化简后再求值：，其中

【答案】，

【分析】先算出括号里面的式子，再根据分式的除法法则算出最简分式，最后将的值代入最简分式计算即可．

【详解】解：

将代入中可得

原式

【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分母分子因式分解是解题的关键．

20．如图，四边形，连接

(1)用直尺和圆规过A点作的垂线，交与E，交于F．

(2)若平分，求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）以点A为圆心，大于点A到的距离为半径画弧，与交于M、N两点，作线段的垂直平分线，则即为的垂线；

（2）根据证明，根据全等三角形的性质即可得出答案．

【详解】（1）解：以点A为圆心，大于点A到的距离为半径画弧，与交于M、N两点，作线段的垂直平分线，则即为所求作的垂线，如图所示：

（2）证明：∵平分，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．

21．为了打造区域中心城市，实现跨越式发展，我市新区建设正按投资计划有序推进．新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：

(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？

(2)如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？

【答案】(1)5台、3台；

(2)有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机．

【分析】（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．等量关系：甲、乙两种型号的挖掘机共8台；每小时挖掘土石方540m3；

（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解；然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案．

【详解】（1）

设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．

依题意得：

解得．

答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；

（2）

设租用台甲型挖掘机，台乙型挖掘机．

依题意得：（，均为自然数），

∴

∴ 方程的解为．

当m=9，n=0时，支付租金：100×9+120×0=900元＞850元，超出限额；

当m=5，n=3时，支付租金：100×5+120×3=860元＞850元，超出限额；

当m=1，n=6时，支付租金：100×1+120×6=820元，符合要求．

答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机．

【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，根据题意列出等式进行求解是解题关键．

22．2022年9月在新冠疫情的背景下，成都各大中小学纷纷开设网络课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，我校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”，“重视”，“比较重视”，“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图；根据图中信息，解答下列问题；

(1)在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角度数为        ，并补全条形统计图；

(2)我校共有学生2200人，请你估计我校对视力保护“非常重视”的学生人数；

(3)对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性学生的概率．

【答案】(1)，图见详解

(2)110人

(3)

【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以“比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；

（2）由该校共有学生人数乘以“非常重视”的学生所占比例即可；

（3）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）调查的学生人数为（人），

“比较重视”所占的圆心角的度数为，

“重视”的人数为（人），

补全条形统计图如图：

故答案为：；

（2）由题意得：（人），

即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为110人；

（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，

所以恰好抽到同性别学生的概率是．

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

23．如图，正方形中，P是对角线AC上一点，连接，过B点作，且，连接、，交于点E，的延长线与交于点F．

(1)求证：；

(2)若正方形的边长为4，且，求线段PQ的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）通过证明，即可求证；

（2）根据正方形的性质可得，则，根据勾股定理求出的长度，再求出和的长度，最后根据勾股定理求解即可．

【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，

∴，，

∵，

∴，

∴，即，

在和中，

∴，

∴．

（2）解：∵四边形为正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵正方形边长为4，

∴，

∵，

∴，，

∴．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．

24．如图，已知内接于，，连接并延长交于点．

(1)求证：

(2)如图2，点是上一点，连接，过点作于，求证：

(3)如图3，在（2）的条件下，连接若，过点作于，若，，求的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据垂径定理的推论即可证明；

（2）如图2中，在上取一点使得，连接、，设与交于点，只要证明，推出即可解决问题；

（3）如图3中，作交的延长线于，的延长线交于，设，，首先证明，利用勾股定理列出方程组求出、，由，可得，，，由，可得，，由得到，，由此即可解决问题．

【详解】（1）证明：如图1中所示：

，

，

，即，

；

（2）证明：在上取一点使得，连接、，设与交于点，如图2中所示：

，，

，

，

，，

，

，，，

，

，

，

，，

，

，

，，

，

，

；

（3）解：作交的延长线于，的延长线交于，如图3中所示：

设，，

，

①，

，，

，

，

，

，

，

，

，即，

，，

，

，

②，

由①②可得，，即，

，

，

，

，

，

，即，

，即，

，

，

在和中，

，

，

，，

在和中，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查圆综合题、垂径定理以及推论、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用构建方程组的思想思考问题，属于中考压轴题．

25．已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点．

(1)求抛物线的解析式．

(2)如图1，将直线向上平移，得到过原点的直线．点是直线上任意一点．

①当点在抛物线的对称轴上时，连接，与轴交于点，求线段的长；

②如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点与点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)①；②存在，，

【分析】（1）把点，代入抛物线解析式即可求解；

（2）①根据抛物线解析式求出点的坐标及对称轴，再点可求出直线的解析式，从而求出直线的解析式，的解析式，由此可求出的长；

②如图（见详解），若四边形是平行四边形，则，过点作轴的垂线交对称轴于点，则点的坐标为，可证，由此即可求解．

【详解】（1）解：将点，分别代入，得

，

解得．

∴抛物线的解析式为．

（2）解：①由（1）可知点C的坐标为，

设直线的解析式为，将点，分别代入，得

，

解得，

∴直线BC的解析式为，

∴直线的解析式为，

抛物线的对称轴为直线，

把代入，得，

∴点D的坐标为，

设直线的解析式为，将点，分别代入，得

，

解得，

∴直线的解析式为，

当时，，解方程得，，

∴点的坐标为，

∴；

②假设存在点，使得四边形为平行四边形，由可知，在直线上，

∴点是直线与对称轴的交点，即，

由点在直线上，可设点的坐标为，

如图，若四边形是平行四边形，则，

过点作轴的垂线交对称轴于点，则点的坐标为，

∵，

∴，

∵轴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴点D的坐标为．

【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，直线方程的解析式，平行四边形的性质是解题的关键．