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    2023年中考第一次模拟考试卷数学(辽宁大连)(全解全析)
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    2023年中考第一次模拟考试卷数学(辽宁大连)(全解全析)

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    这是一份2023年中考第一次模拟考试卷数学(辽宁大连)(全解全析),共28页。试卷主要包含了选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023年中考数学第一次模拟考试卷
    数学·全解全析
    第Ⅰ卷
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    A
    A
    D
    C
    C
    A
    B
    C
    C
    B

    一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
    1.|−(−2.7)|的相反数是(  )
    A.−2.7 B.2.7 C.12.7 D.−12.7
    【答案】A
    【分析】根据题意先求得绝对值,再求相反数即可求解.
    【详解】|−(−2.7)|=2.7,2.7的相反数是−2.7.
    故选:A.
    【点睛】本题考查了求一个数的绝对值,相反数,掌握绝对值的意义以及相反数的定义是解题的关键.
    2.如图所示的三视图对应的几何体是(  )

    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体,根据俯视图是三角形可判断出此几何体为圆锥.
    【详解】解:图中三视图对应的几何体是圆锥,
    故选:A.
    【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体,熟练掌握基本几何体的三视图及三视图的定义是解题的关键.
    3.根据国家卫健委网站11月26日消息,截至2021年11月26日,31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗247284.7万剂次.将“247284.7万”用科学记数法表示为(  )
    A.2.472847×105 B.0.2472847×106
    C.24.72847×108 D.2.472847×109
    【答案】D
    【分析】根据科学记数法的表示方法:a×10n,1≤a<10,进行表示即可.
    【详解】解:247284.7万=2472847000=2.472847×109.
    故选D.
    【点睛】本题考查科学记数法.熟练掌握科学记数法的表示方法,是解题的关键.
    4.下列计算正确的是(  )
    A.2a2+3a3=5a5 B.3a3÷2a2=a
    C.a2b4=a8b4 D.a2·a3=a6
    【答案】C
    【分析】根据整式的加减运算、乘除运算法则、积的乘方运算即可求出答案.
    【详解】A、2a2与3a3不是同类项,不能合并,故A不符合题意.
    B、原式=32a,故B不符合题意.
    C、原式=a8b4,故C符合题意.
    D、原式=a5,故D不符合题意.
    故选:C.
    【点睛】本题考查整式的加减运算、乘除运算法则、积的乘方运算,本题属于基础题型.
    5.如图,直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直线n上,∠C=90°,若∠1=25°,∠2=70°,则∠B=(  )

    A.65° B.55° C.45° D.35°
    【答案】C
    【分析】根据两直线平行,内错角相等可得∠BAC+∠1=∠2,再求出∠BAC,然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
    【详解】解:∵m∥n,
    ∴∠BAC+∠1=∠2,
    ∵∠1=25°,∠2=70°,
    ∴∠BAC=∠2−∠1=70°−25°=45°,
    ∵∠C=90°,
    ∴∠B=90°−∠BAC=90°−45°=45°
    故选:C.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质是解题的关键.
    6.在我校“文化艺术节”英语表演比赛中,有16名学生参加比赛,规定前8名的学生进入决赛,某选手想知道自己能否晋级,只需要知道这16名学生成绩的(    )
    A.中位数 B.方差 C.平均数 D.众数
    【答案】A
    【分析】根据中位数的意义进行求解即可.
    【详解】解:16位学生参加比赛,取得前8名的学生进入决赛,中位数就是第8、第9个数的平均数,
    因而要判断自己能否晋级,只需要知道这16名学生成绩的中位数就可以.
    故选:A.
    【点睛】本题考查了中位数的意义,掌握中位数的意义是解题的关键.
    7.如图,在平面直角坐标系中,等腰Rt△ABC与等腰Rt△DEF是位似图形,且斜边垂直x轴,O为位似中心,∠ABC=∠DEF=90°,O,B,C,E,F五点共线,若S△DEF:S△ABC=1:2,点D的坐标为−1,0,则B点的坐标为(    )

    A.2,0 B.22,22 C.2,2 D.2,2
    【答案】B
    【分析】根据位似的性质得到ODOA=DEAB,△ABC∽△DEF,则利用相似三角形的性质得到S△DEFS△ABC=DEAB2=12,所以ODOA=12,即OA=2,然后求出C点坐标,最后利用线段的中点坐标公式得到B点坐标.
    【详解】解:∵D−1,0,
    ∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△DEF是位似图形,O为位似中心,
    ∴ODOA=DEAB,△ABC∽△DEF,
    ∵△ABC∽△DEF,
    ∴S△DEFS△ABC=DEAB2=12,
    ∴DEAB=12,
    ∴ODOA=12,
    ∴OA=2,
    ∵CA⊥x轴,O,B,C,E,F五点共线,
    ∴△OAC为等腰直角三角形,
    ∴AC=OA=2,
    ∴C2,2,
    ∵AB⊥OC,
    ∴OB=BC,
    ∴B22,22.
    故选B.

    【点睛】本题考查了位似变换,解决本题的关键是掌握在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.
    8.已知正比例函数y=kxk≠0的图象经过二、四象限,则一次函数y=kx-k的图象大致是(   )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】根据正比例函数经过第二、四象限,得出k的取值范围,进而解答即可.
    【详解】解:因为正比例函数y=kxk≠0的图象经过第二、四象限,
    所以k<0,
    所以一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限,
    故选:C.
    【点睛】此题考查一次函数的图象的性质,关键是根据正比例函数经过第二、四象限,得出k的取值范围.
    9.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F;②分别以点E、F为圆心,大于12EF长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D.则∠ADC的度数为(    )

    A.40° B.55° C.65° D.75°
    【答案】C
    【分析】由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线,进而根据∠CAB=50°,求得∠CAD,根据三角形的内角和定理,即可求解.
    【详解】解:∵AG是∠CAB的角平分线,∠CAB=50°,
    ∴∠CAD=∠CAB=25°,
    ∵∠C=90°,
    ∴∠CDA=90°−25°=65°,
    故选:C.
    【点睛】本题考查了作角平分线,与角平分线有关的三角形的内角和定理,掌握基本作图是解题的关键.
    10.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点2,0,3,0之间,对称轴是直线x=1.对于下列说法:
    ①abc<0;②b>a+c;③3a+c>0;④当−10;⑤a+b≥mam+b(m为实数).
    其中正确的是(  )

    A.①②③ B.①②⑤ C.②③④ D.③④⑤
    【答案】B
    【分析】根据题意和函数图象,可以判断各个小题中的结论是否成立,本题得以解决.
    【详解】解:∵抛物线开口向下,
    ∴a<0,
    ∵对称轴x=−b2a=1,
    ∴b=−2a>0,
    ∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴,
    ∴c>0,
    ∴abc<0,故①正确;
    ∵抛物线与x轴的交点A在点2,0,3,0之间,对称轴为x=1,
    ∴抛物线x轴的另一个交点在−1,0和0,0之间,
    ∴当x=−1时,y=a−b+c<0,即a+c ∵a−b+c<0,且b=−2a,
    ∴a−−2a+c=3a+c<0,故③错误;
    由图可知,当x=1时,函数有最大值,
    ∴对于任意实数m,有am2+bm+c≤a+b+c,即a+b≥mam+b,故⑤正确.
    综上,正确的有①②⑤.
    故选:B.
    【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.


    第Ⅱ卷
    二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
    11.不等式组3x−1<5x+1,x−12≥2x−4的所有整数解的和为______.
    【答案】2
    【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集,进而求出整数解之和即可.
    【详解】解:3(x−1)<5x+1①x−12≥2x−4②,
    由①得:x>−2,
    由②得:x≤73,
    ∴不等式组的解集为−2 则所有整数解为−1,0,1,2,
    ∴−1+0+1+2=2,
    ∴所有整数解之和为2.
    故答案为:2.
    【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解,熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键.
    12.线段CD是由线段AB平移得到的,点A(−1,4)的对应点为C(4,7),则点B(−4,−1)的对应点D的坐标是______.
    【答案】(1,2)
    【分析】点A(−1,4)的对应点为C(4,7),确定平移方式,先向右平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度,从而结合B(−4,−1)可得其对应点D的坐标.
    【详解】解:∵ 线段CD是由线段AB平移得到的,点A(−1,4)的对应点为C(4,7),
    而−1+5=4,4+3=7,
    ∵ B(−4,−1),
    ∴−4+5=1,−1+3=2,
    ∴D(1,2),
    故答案为:(1,2)
    【点睛】本题考查的是坐标系内点的平移,掌握由坐标的变化确定平移方式,再由平移方式得到对应点的坐标是解本题的关键.
    13.推进生态文明建设,实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任.有四张卡片正面分别是垃圾分类标志图案,它们除正面上的图案不同外,其他均相同.将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上.若从中随机抽取两张张卡片,所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的概率是 ___________.

    【答案】16
    【分析】画树状图,共有12种等可能的结果,其中所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的结果有2种,再由概率公式求解即可.
    【详解】解:将这4张卡片分别记为A、B、C、D,其中B、C是轴对称图形,
    画树状图如下:

    共有12种等可能的结果,其中所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的结果有2种,
    ∴所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的概率为212=16,
    故答案为:16.
    【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及轴对称图形.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
    14.如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G,且AB∥CD,若OB=6cm,OC=8cm,则BE+CG的长等于______.

    【答案】10cm
    【分析】根据平行线的性质以及切线长定理,即可证明∠BOC=90°,再根据勾股定理即可求得BC的长,再结合切线长定理即可求解.
    【详解】解: ∵AB∥CD,
    ∴∠ABC+∠BCD=180°,
    ∵CD、BC,AB分别与⊙O相切于G、F、E,
    ∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠BCD,BE=BF,CG=CF,
    ∴∠OBC+∠OCB=90°,
    ∴∠BOC=90°,
    ∴BC=OB2+OC2=10,
    ∴BE+CG=10cm.
    故答案为:10cm.
    【点睛】此题主要是考查了切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角.
    15.抗疫期间,一车间生产瓶装酒精并装箱,已知封瓶和装箱的生产线共26条,在所有的生产线都保证匀速工作的条件下,酒精封瓶每小时可封650瓶,装箱每小时可装75箱(每箱10瓶).某天检测8:00~9:00生产线的工作情况,发现有100瓶未装箱,问封瓶和装箱各有多少条生产线?若设封瓶生产线有x条,则可列方程为_________.
    【答案】650x−75×10×(26−x)=100
    【分析】若设封瓶生产线有x条,则装箱生产线有26−x条,根据题意列出方程即可.
    【详解】解:若设封瓶生产线有x条,则装箱生产线有26−x条,
    根据题意可得:650x−75×10×(26−x)=100,
    故答案为:650x−75×10×(26−x)=100.
    【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用,解题的关键是根据题意列出方程.
    16.如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=1,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A'BC'D',边A'B交线段CD于H,若DH=BH,则△BCC'的面积是_____.

    【答案】25##0.4
    【分析】作HE⊥AB于E,CF⊥BC'于F,设DH=BH=x,则CH=2−x,在Rt△BCH中,根据勾股定理得到x2=2−x2+1,可解得x=54;再根据旋转的性质得到∠ABA'=∠CBC',BC=BC'=1,从而得到sin∠ABA'=sin∠CBC',从而得到如下等式,HEBH=CFBC=154=45,求得CF=45,根据S△BCC'=12BC'×CF=12×1×45计算即可.
    【详解】作HE⊥AB于E,CF⊥BC'于F,设DH=BH=x,
    因为矩形ABCD,AB=2,AD=1,

    所以AB=CD=2,AD=HE=BC=BC'=1,CH=2−x, ∠BCD=90°,
    在Rt△BCH中,根据勾股定理得到x2=2−x2+1,
    解得x=54;
    根据旋转的性质得到∠ABA'=∠CBC',BC=BC'=1,
    所以sin∠ABA'=sin∠CBC',
    所以HEBH=CFBC=154=45=CF1,
    解得CF=45,
    所以S△BCC'=12BC'×CF=12×1×45=25,
    故答案为:25.
    【点睛】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角;对应点到旋转中心的距离相等.也考查了勾股定理、矩形的性质以及三角函数.

    三、解答题(本题功4小题,其中17题9分,18,19,20题各10分,共39分)
    17.先化简,再求值:a2−1a−3−a−1÷a+1a2−6a+9,其中a=3−2
    【答案】2a−6,−22
    【分析】先把除法转化为乘法,再利用乘法的分配律计算,最后把所给字母的值代入代入计算.
    【详解】a2−1a−3−a−1÷a+1a2−6a+9
    =a2−1a−3−a+1×a−32a+1
    =a+1a−1a−3×a−32a+1−a+1×a−32a+1
    =a−1a−3−a−32
    =a2−3a−a+3−a2−6a+9
    =a2−3a−a+3−a2+6a−9
    =2a−6,
    当a=3−2时
    原式=23−2−6=−22.
    【点睛】本题考查了分式的混合运算,熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键.分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序;先算乘除,再算加减,有括号的先算括号里面的.
    18.初中学习生活就要结束了,小明就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计,他通过采集数据后,绘制了两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息,解答下列问题:

    (1)求出该班的总人数;
    (2)通过计算把统计图补充完整;
    (3)如果小华所在年级共有400名学生,请你估计该年级报考普高的学生有多少人.
    【答案】(1)50人
    (2)见解析
    (3)160人

    【分析】(1)根据重高人数25和所占的百分比是50%可以求得该班的总人数;
    (2)根据条形统计图可以得到普高的人数,从而可以将条形统计图补充完整;
    (3)用总人数乘以样本中普高人数所占百分比.
    【详解】(1)解:该班的总人数为25÷50%=50(人);
    (2)解:“普高”人数为50−(25+5)=20,所占百分比为2050×100%=40%,
    则“职高”人数为550×100%=10%,
    补全图形如下:

    (3)解:估计该年级报考普高的学生有400×40%=160(人).
    ∴该年级报考普高的学生有160人.
    【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
    19.在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是BC中点,点E是AD中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.

    (1)试判断四边形ADCF的形状,并加以证明;
    (2)若AB=17,BC=30,求四边形ADCF的面积.
    【答案】(1)四边形ADCF是矩形,证明见解析
    (2)120

    【分析】(1)由AAS证明△AEF≌△DEB,得AF=DB,证得四边形ADCF为平行四边形,再由等腰三角形“三线合一”得AD⊥BC,则∠ADC=90°,根据矩形的判定定理可证得结论;
    (2)根据等腰三角形的性质得到BD=CD=12BC=15,勾股定理求得AD,然后根据矩形的面积公式即可得到结论.
    【详解】(1)解:四边形ADCF是矩形;
    证明:∵E是AD的中点,
    ∴AE=DE,
    ∵AF∥BC,
    ∴∠AFE=∠DBE,
    在△AEF和△DEB中,
    ∠AFE=∠DEB∠AEF=∠DEBAE=DE,
    ∴△AEF≌△DEBAAS;
    ∴AF=DB,
    ∵点D是BC中点,
    ∴CD=DB,
    ∴CD=AF,
    又∵AF∥BC,
    ∴四边形ADCF是平行四边形,
    ∵AB=AC,点D是BC中点,
    ∴AD⊥BC,
    ∴∠ADC=90°,
    ∴四边形ADCF是矩形;
    (2)解:∵AB=AC,点D是BC中点,
    ∴BD=CD=12BC=15,AD⊥BC,
    ∴∠ADC=90°,
    ∴AD=AB2−BD2=172−152=8,
    ∴四边形ADCF的面积=15×8=120.
    【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握矩形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.
    20.某服装店用5700元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3600元(毛利润=售价-进价),这两种服装的进价,标价如表所示.
    类型价格
    A型
    B型
    进价(元/件)
    60
    100
    标价(元/件)
    100
    160

    (1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数;
    (2)如果A种服装按标价的9折出售,B种服装按标价的8折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价出售少收入多少元?
    【答案】(1)购进A型服装45件,购进B型服装30件
    (2)服装店比按标价出售少收入1410元

    【分析】(1)设购进A型服装x件,B型服装y件,根据“某服装店用5700元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3600元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
    (2)利用少收入的钱数=每件A型服装少挣的钱数×销售数量+每件B型服装少挣的钱数×销售数量,即可求出结论.
    【详解】(1)设购进A种服装x件,购进B种服装y件,
    根据题意得:60x+100y=5700100−60x+160−100y=3600,
    解得:x=45y=30
    答:购进A型服装45件,购进B型服装30件;
    (2)100×(1−0.9)×45+160×(1−0.8)×30
    =100×0.1×45+160×0.2×30
    =450+960
    =1410(元).
    答:服装店比按标价出售少收入1410元.
    【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.

    四、解答题(本题共3小题,其中21题9分,22,23题各10分,共29分)
    21.一个足球场的四角各有一盏探照灯,其中一盏探照灯B的位置如图所示,灯杆AB垂直于地面,已知看台AC的长为10m,AC的坡度i=34,灯光受灯罩的影响,最远端的光线与地面的夹角∠BDC=27°,最近端的光线恰好与地面交于看台的底端C处,且与地面的夹角∠BCG=60°,A、B、C、D在同一平面内,求CD的长度.(结果精确到1m,参考数据:sin27°≈0.45,cos27∘≈0.9,tan27°≈0.5,3≈1.7)

    【答案】CD的长约为19m
    【分析】如图所示,延长BA交DG于E,先解Rt△ACE求出AE=6m,CE=8m,再解Rt△BCE,求出BE=83m,最后解在Rt△BDE求出DE的长即可得到答案.
    【详解】解:如图所示,延长BA交DG于E,
    在Rt△ACE中,AC=10m,AC的坡度i=34,
    ∴AECE=34,
    ∴AE2+169AE2=AC2=100,
    ∴AE=6m,
    ∴CE=8m,
    在Rt△BCE中,tan∠BCE=BECE,
    ∴BECE=3,
    ∴BE=3CE=83m,
    在Rt△BDE中,tanD=BEDE,
    ∴BEDE≈0.5,
    ∴DE≈2BE=163≈27m,
    ∴CD=DE−CE=19m,
    ∴CD的长约为19m.

    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,勾股定理,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
    22.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀再摸球.
    (1)从中任取一个球,球上的汉字刚好是“康”的概率为________;
    (2)甲从中取出两个球,请用列表或画树状图的方法,求出甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率P.
    【答案】(1)14
    (2)13

    【分析】(1)直接由概率公式求解即可;
    (2)列表得出共有12种等可能的结果,其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有4种结果,再由概率公式求解即可.
    【详解】(1)解:由题意可知,从中任取一个球,球上的汉字刚好是“康”的概率为14,
    故答案为:14;
    (2)列表如下:

    阳1

    阳2

    阳1

    阳1过
    阳1阳2
    阳1康

    过阳1

    过阳2
    过康
    阳2
    阳2阳1
    阳2过

    阳2康

    康阳1
    康过
    康阳2


    由表知,共有12种等可能的结果,其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有4种结果,
    ∴甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率P=412=13.
    【点睛】此题考查的是用列表法法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
    23.如图,AB是⊙O的直径,AE是⊙O的切线,点C为直线AE上一点,连接OC交⊙O于点D,连接BD并延长交线段AC于点E.

    (1)求证:∠CAD=∠CDE;
    (2)若CD=6,tan∠BAD=2,求⊙O的半径.
    【答案】(1)见解析
    (2)3

    【分析】(1)由切线的性质得到∠BAC=90°,则∠BAD+∠CAD=90°,再由直径所对的圆周角是直角得到∠B+∠BAD=90°,则∠B=∠CAD,再由等腰三角形的性质和对顶角相等进行推理即可;
    (2)先证明∠BAD=∠AED,再根据正切的定义得到ADDE=2,证明△DAC∽△EDC,求出CE=32,AC=62,则AE=32,在Rt△ABE中,tan∠AEB=ABAE=2,则AB=6,即可得到⊙O的半径为3..
    【详解】(1)证明:∵AE是⊙O的切线,
    ∴∠BAC=90°,
    ∴∠BAD+∠CAD=90°,
    ∵AB是直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∴∠B+∠BAD=90°,
    ∴∠B=∠CAD,
    ∵OB=OD,
    ∴∠OBD=∠ODB,
    又∵∠ODB=∠CDE,
    ∴∠CDE=∠CAD;
    (2)解:由(1)得∠BAE=∠ADB=∠ADE=90°,
    ∴∠ABE+∠AEB=∠ABD+∠BAD=90°,
    ∴∠BAD=∠AED,
    在Rt△ADE中,tan∠AED=tan∠BAD=ADDE=2,
    ∵∠DAC=∠EDC,∠C=∠C,
    ∴△DAC∽△EDC,
    ∴CDCE=ACCD=ADDE=2,
    ∴CE=32,AC=62,
    ∴AE=AC−CE=32,
    在Rt△ABE中,tan∠AEB=ABAE=2,
    ∴AB=6,
    ∴⊙O的半径为3.
    【点睛】本题主要考查了切线的性质,解直角三角形,相似三角形的性质与判定,等腰三角形的性质,直径所对的圆周角是直角等等,灵活运用所学知识是解题的关键.

    五、解答题(本题共3小题,其中24,25各11分,26题12分,共34分)
    24.如图,直线AB:y=−34x+6,交x轴于点A,交y轴于点B,动点P从B点向A点运动,速度为1单位每秒,另一动点Q从点A向O点运动,速度为2个单位每秒,它们同时出发,运动的时间为t秒,当一动点先到达后,另一动点随之停止.

    (1)求SΔAOB.
    (2)设ΔAPQ的面积为S,求S与t的关系?并求S的最大值?
    【答案】(1)S△AOB=24
    (2)S=−0.6t2+6t,S的最大值是14.4

    【分析】(1)根据直线AB:y=−34x+6,可以求得点A和点B的坐标,然后即可求得SΔAOB;
    (2)根据题意,可以表示出AQ和BP,然后根据相似三角形的判定和性质,可以得到点P到x的距离,从而可以写出S与t的关系,再根据二次函数的性质,即可得到S的最大值.
    【详解】(1)解:∵直线AB:y=−34x+6,
    ∴当x=0时,y=6,当y=0时,x=8,
    ∴点点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),
    ∴OA=8,OB=6,
    ∴SΔAOB=OA⋅OB2=8×62=24;
    (2)解:由题意可得,
    BP=t,AQ=2t,
    作OM⊥x轴于点M,作PN⊥y轴于点N,如图所示,

    ∵PN⊥y轴,AO⊥y轴,
    ∴PN∥AO,
    ∴△BPN∽△BAO,
    ∴ BPBA=BNBO,
    ∵BO=6,AO=8,∠BOA=90°,
    ∴AB=BO2+AO2=62+82=10,
    ∴ t10=BN6,
    解得BN=0.6t,
    ∴ON=6−0.6t,
    ∴PM=6−0.6t,
    ∴SΔAPQ=AQ⋅PM2=2t⋅(6−0.6t)2=−0.6t2+6t,
    ∵点P从B到A用的时间为:10÷1=10(s),点Q从点A到点O用的时间为:8÷2=4(s),
    ∴0≤t≤4,
    ∵SΔAPQ=−0.6t2+6t=−0.6(t−5)2+15,
    ∴当t=4时,S取得最大值14.4,
    由上可得,S=−0.6t2+6t,S的最大值是14.4.
    【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
    25.如图,已知点D为等边△ABC外部一点,且∠ADC=30°,连接DB.
    问题背景:利用旋转变换将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE,请在图1中完成作图;此时得到DA、DB、DC的等量关系为______(直接写出)

    尝试运用:如图2,取BD中点M,连接AM、CM,求证:AM⊥CM.

    拓展创新:如图3,延长CM交AD于点N,连接BN,若AC=7,CN=5,直接写出△ACN的面积______.

    【答案】问题背景:图见解析,DC2+DA2=DB2;尝试运用:见解析;拓展创新:103
    【分析】问题背景:根据旋转的性质可证明△AED是等边三角形,再证明△ABE≌△ACDSAS得到∠AEB=∠ADC=30°,BE=DC,进而得到∠BED=90°,然后利用勾股定理可得出结论;
    尝试运用:将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE,连接DE,延长AM交DE于F,延长MC交BE于G,连接CE,ME,根据直角三角形斜边上的中线性质和线段垂直平分线的判定证明AF垂直平分DE,再证明△ADC≌△EDCSAS得到EC=BC,可证明MG垂直平分BE,然后根据平行线的判定与性质即可证得结论;
    拓展创新:将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE,连接DE,延长AM交DE于F,根据前两问的结论和平行线的性质可求得∠NAM=30°,则AN=2MN,根据勾股定理得AM2=AC2−MC2=AN2−MN2求得MN=4,进而求得AM,然后利用三角形的面积公式求解即可.
    【详解】解:问题背景:将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE,如图1,

    由旋转性质得∠EAD=60°,EA=DA,则△AED是等边三角形,
    ∴∠AED=∠ADE=60°,EA=DA=DE,
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,∠BAC=60,
    ∴∠BAE=∠CAD=60°−∠CAE,
    ∴△ABE≌△ACDSAS,
    ∴∠AEB=∠ADC=30°,BE=DC,
    ∴∠BED=90°,
    ∵在Rt△BED中,BE2+DE2=DB2,
    ∴DC2+DA2=DB2,
    故答案为:DC2+DA2=DB2;
    尝试运用:如图2,将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE,连接DE,延长AM交DE于F,延长MC交BE于G,连接CE,ME,

    由上一问知,∠BED=90°,∠ADE=60°,AE=AD,
    ∵M为BD的中点,
    ∴ME=MB=MD=12BD,又AE=AD,
    ∴AF垂直平分DE,即AM⊥DE,
    ∵∠ADE=60°,∠ADC=30°,
    ∴∠EDC=∠ADC=30°,又DA=DE,DC=DC,
    ∴△ADC≌△EDCSAS,
    ∴AC=EC,又AB=BC,
    ∴EC=BC,又ME=MB,
    ∴MG垂直平分BE,即CM⊥BE,
    ∵∠BED=90°,即DE⊥BE,
    ∴CM∥DE,又AM⊥DE,
    ∴AM⊥CM;
    拓展创新:如图3,将△ACD绕A点顺时针旋转60°得到△ABE,连接DE,延长AM交DE于F,

    由上一问知,CM∥DE,∠ADE=60°,AM⊥CM,
    ∴∠ANM=∠ADE=60°,∠AMN=∠AMC=90°,
    ∴∠NAM=90°−∠ANM=30°,
    ∴AN=2MN,
    根据勾股定理得AM2=AC2−MC2=AN2−MN2,
    ∵AC=7,CN=5,
    ∴72−5−MN2=2MN2−MN2,
    解得:MN=4或MN=−32(舍去),
    ∴AM=AN2−MN2=3MN=43,
    ∴S△ACN=12×5×43=103.
    故答案为:103.
    【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含30°直角三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识,此题综合性强,难度较大,利用类比方法正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
    26.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=−12x2+bx+52与x轴交于点A(1,0),抛物线的对称轴l经过点B,作直线AB.P是该抛物线上一点,过点P作x轴的垂线交AB于点Q,过点P作PN⊥l于点N,以PQ、PN为边作矩形PQMN.

    (1)b= ___________;
    (2)当点P在抛物线A,B两点之间时,求线段PQ长度的最大值;
    (3)矩形PQMN与此抛物线相交,抛物线被截得的部分图象记作G,G的最高点的纵坐标为m,最低点纵坐标为n,当m−n=2时,求点P的坐标.
    【答案】(1)−2;
    (2)98;
    (3)点P的坐标为(−4,52);(2,−72).

    【分析】(1)把点A(1,0)代入抛物线解析式即可;
    (2)由抛物线解析式可得顶点B的坐标为(−2,92);设直线AB的解析式为:y=kx+b,代入点A(−1,0)及点B的坐标可求得,直线AB的解析式为:y=−32x+32.设P(t,−12t2−2t+52),则Q(t,−32t+32),所以PQ=−12t2−2t+52−(−32t+32)=−12t2−12t+1=−12(t+12)2+98,所以当t=−12时,PQ的最大值为98.
    (3)结合点P的位置及图形可知,需要分两种情况:当点P在直线l左侧时,此时t<−2,G从左到右上升,图象最高点为B,最低点为P(t,−12t2−2t+52),当点P在直线l左侧时,此时t>l,G从左到右下降,图象最高点为C,最低点为P(t,−12t2−2t+52),结合m−n=2,可分别求的t的值进而求得点P的坐标.
    【详解】(1)∵抛物线y=−12x2+bx+52与x轴交于点A(1,0),
    ∴0=−12+b+52,解得b=−2;
    故答案为:−2.
    (2)抛物线y=−12x2+bx+52=−12(x+2)2+92,
    ∴顶点B的坐标为(−2,92),
    设直线AB的解析式为:y=kx+b,过点A(−1,0),
    则−2k+b=92k+b=0,解得k=−32b=32.
    ∴直线AB的解析式为:y=−32x+32.
    设P(t,−12t2−2t+52),
    ∵PQ⊥x轴交直线AB于点Q,
    ∴Q(t,−32t+32),
    ∵点P在A、B之间,
    ∴当−2 ∵a=−12<0,
    ∴当t=−12时,PQ的最大值为98.
    (3)如图,当点P在直线l左侧时,此时t<−2,G从左到右上升,图象最高点为B,最低点为P(t,−12t2−2t+52),

    ∴m=92,n=−12t2−2t+52,
    ∵m−n=2,
    ∴ 92−(−12t2−2t+52)=2,
    解得t=−4,或t=0(舍),此时点P的坐标为(−4,52);
    当点P在直线l左侧时,此时t>l,G从左到右下降,图象最高点为C,最低点为P(t,−12t2−2t+52),

    ∵MQ垂直y轴,
    ∴点Q与点C的坐标相同.
    ∴m=−32t+32,n=−12t2−2t+52,
    ∵m−n=2,
    ∴−32t+32−(−12t2−2t+52)=2,
    解得t=2,或t=−3(舍),此时点P的坐标为(2,−72).
    综上所述,点P的坐标为(−4,52);(2,−72).
    【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,一次函数的性质,待定系数法等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.



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