2023年中考第一次模拟考试卷数学(辽宁沈阳)(全解全析)
展开2023年中考数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
A
C
C
B
C
B
D
A
一、选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.−12023的倒数是( )
A.2023 B.12023 C.−2023 D.−12022
【答案】C
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数求解即可.
【详解】解:∵−12023×−2023=1,
∴−12023的倒数是−2023.
故选C.
【点睛】本题考查了倒数的定义,熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键.正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,0没有倒数.
2.如图,这是由6个相同的小正方体组合而成的几何体,它的俯视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】俯视图是从上往下看得出的图形,结合选项即可判断.
【详解】解:从上往下看,共有两层,第一层有三个正方形,第二层有两个不相邻的正方形,
故选:B.
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图,解题的关键是掌握三视图的画法.
3.下列运算正确的是( )
A.0.1−3=1000 B.a32=a5 C.a2⋅a3=a6 D.a+b2=a2+b2
【答案】A
【分析】根据负整数指数幂的含义可判断A,根据积的乘方运算可判断B,根据同底数幂的乘法可判断C,根据完全平方公式可判断D,从而可得答案.
【详解】解:0.1−3=110−3=1000,故A符合题意;
a32=a6,故B不符合题意;
a2⋅a3=a5,故C不符合题意;
a+b2=a2+2ab+b2,故D不符合题意;
故选A.
【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义,幂的乘方运算,同底数幂的乘法运算,完全平方公式的应
用,熟记以上运算法则是解本题的关键.
4.若点P在第四象限,到x轴的距离是3,到y轴的距离是4,则点P的坐标是( )
A.3,4 B.−4,3 C.4,−3 D.3,−4
【答案】C
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值,点到y轴的距离是横坐标的绝对值,根据第四象限内点的横坐标大于零,纵坐标小于零,可得答案.
【详解】解:由点P到x轴的距离为3,到y轴的距离为4,得
y=3,x=4,
由点P位于第四象限,得
y=−3,x=4,
点P的坐标为4,−3,
故选:C.
【点睛】本题考查了点的坐标,熟记点的坐标特征是解题关键.
5.某班五个合作学习小组的人数分别如下:5,5,x,6,8,已知这组数据的平均数是6,则x的值是( )
A.5 B.5.5 C.6 D.7
【答案】C
【分析】直接根据数据的平均数是6求解即可.
【详解】∵数据的平均数是6,
∴5+5+x+6+85=6,
解得x=6,
故选C.
【点睛】本题考查了根据平均数求数据,熟练掌握运算法则是解题的关键.
6.已知关于x的不等式组x−a>0−3+2x≤1恰有二个整数解,则a的取值范围为( )
A.−1 【答案】B
【分析】根据解不等式组的方法可以求出不等式组的解集,又因为关于x的不等式组恰有二个整数解,从而可以得到a的取值范围,本题得以解决.
【详解】解:解不等式x−a>0,得:x>a,
解不等式−3+2x≤1,得:x≤2,
则不等式组的解集为a
∴不等式组的整数解为1、2,
∴0≤a<1,
故选:B.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解,解题的关键是明确题意,会解一元一次不等式组.
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,则等腰三角形的底角度数为( )
A.15° B.30° C.15°或75° D.30°或150°
【答案】C
【分析】本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况.
【详解】解:①当为锐角三角形时,如图1,
∵∠ABD=60°,BD⊥AC,
∴∠A=90°−∠ABD=30°,
∵△ABC是等腰三角形,
∴∠C=∠ABC=12180°−30°=75°
∴三角形的底角为75°;
②当为钝角三角形时,如图2,
∵∠ABD=60°,BD⊥AC,
∴∠BAC=90°+∠ABD=150°,
∵△ABC是等腰三角形,
∴∠C=∠ABC=12180°−150°=15°
∴三角形的底角为15°;
∴三角形的底角为15°或75°;
故选:C.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,三角形的外角,做题时,考虑问题要全面,必要的时候可以做出模型帮助解答,进行分类讨论是正确解答本题的关键.
8.已知Aa,−1,Bb,−3两点都在关于x的一次函数y=−2x+m的图象上,则a,b的大小关系为( )
A.a≥b B.a>b C.a 【答案】C
【分析】根据一次函数的解析式可得k=−2<0,则y随x的增大而减小,进而根据A,B的坐标即可求解.
【详解】解:∵y=−2x+m,k=−2<0,
∴y随x的增大而减小,
∵Aa,−1,Bb,−3两点都在关于x的一次函数y=−2x+m的图象上,−3<−1,
∴a 故选:C.
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是牢记“当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小”.
9.下列说法中,正确的是( )
A.对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
B.某种彩票中奖的概率是110,则购买10张这种彩票一定会中奖
C.为了了解一批洗衣粉的质量情况,从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验,这个问题中的样本是100
D.甲.乙两人各进行了10次射击测试,他们的平均成绩相同,方差分别是s甲2=3.2,s乙2=1,则乙的射击成绩较稳定
【答案】D
【分析】根据抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义进行判断即可.
【详解】解:A.为确保载人航天器的每个零件合格,应采取全面调查,不能用抽查,因此选项A不符合题意;
B.某种彩票中奖的概率是,买10张这种彩票也不一定会中奖,因此选项B不符合题意;
C.为了了解一批洗衣粉的质量情况,从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验,这个问题中的样本是100袋洗衣粉的质量,样本容量为100,因此选项C不符合题意;
D.由于平均数相同,方差小的比较稳定,因此乙的射击成绩较稳定,所以选项D符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量,理解抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义是正确判断的前提.
10.如图,直线y=−3x+33与x轴、y轴分别交于A、B两点,P1,0,⊙P与y轴相切于点O,将⊙P向上平移m个单位长度,当⊙P与直线AB第一次相切时,则m的值是( )
A.23−2 B.23 C.33−3 D.23−3
【答案】A
【分析】求出A、B的坐标,得到OA、OB的长,设平移后⊙P'与直线AB相切与点E,与y轴相切于点F,连接PE,PF,PA,PB,则四边形PP'FO是矩形,然后利用面积法求解即可.
【详解】解:当x=0时,y=33,
当y=0时,x=3;
∴OA=3,OB=33,
∴AB=32+332=6.
设平移后⊙P'与直线AB相切与点E,与y轴相切于点F,连接PE,PF,PA,PB,则四边形PP'FO是矩形,
∴OF=PP'=m,
∴BF=33−m.
∵P1,0,⊙P与y轴相切于点O,
∴OP=P'E=P'F=1,
∴AP'=3−1=2.
∵S矩形PP'FO+S△APP'+S△ABP'+S△BFP'=S△ABC,
∴m+12×2×m+12×6×1+12×33−m×1=12×3×33,
∴m=23−2.
故选A.
【点睛】本题考查对直线与圆的位置关系,勾股定理,面积法求线段的长,一次函数与坐标轴的交点,熟练掌握面积法是解此题的关键.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.分解因式:n-2mn+m2n=_____.
【答案】n(m-1)2
【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式继续分解即可.
【详解】解:n-2mn+m2n
=n(1-2m+m2)
=n(m-1)2.
故答案为:n(m-1)2.
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
12.已知关于x的不等式组2x−a+b<1x−ab>−2的解集是−1
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集,再根据不等式组的解集是−1
解不等式①得,x<1+a−b2,
解不等式②,x>ab−2,
∵不等式组2x−a+b<1x−ab>−2的解集是−1
∴a−b=3,ab=1,
∴a+b2=a−b2+4ab=32+4×1=13,
∴a+b=±13,
故答案为:±13
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法、完全完全平方公式的变形、平方根等相关知识,读懂题意正确计算是解题的关键.
13.化简:a+1a2−2a+1÷2a−1+1=______.
【答案】1a−1
【分析】先计算括号内的分式加法,再计算分式的除法即可得.
【详解】解:原式=a+1(a−1)2÷2a−1+a−1a−1
=a+1(a−1)2÷a+1a−1
=a+1(a−1)2⋅a−1a+1
=1a−1,
故答案为:1a−1.
【点睛】本题考查了分式的除法与加法,熟练掌握分式的运算法则是解题关键.
14.已知点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3在反比例函数y=−k−2x(k是常数)的图象上,若x3
【分析】根据比例系数得到反比例函数y=−k−2x的图象的两个分支分别在第二,四象限内,y随x的增大而增大,利用横坐标的大小关系得到答案.
【详解】解:∵−k−2<0,
∴反比例函数y=−k−2x的图象的两个分支分别在第二,四象限内,
∴y随x的增大而增大,
∵x3
故答案为:y2>y3>y1.
【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质,正确掌握反比例函数的增减性及图象与k的关系是解题的关键.
15.某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为___元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
【答案】22.
【分析】根据“利润=(售价−成本)×销售量”列出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,把二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数的性质进行解答.
【详解】设定价为x元,每天的销售利润为y元,
根据题意得:y=x−158+225−x=−2x2+88x−870,
∴ y=−2x2+88x−870=−2x−222+98,
∵ a=−2<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x=22时,y最大值=98.
故答案为:22.
【点睛】此题考查二次函数的实际应用,为数学建模题,借助二次函数解决实际问题,解决本题的关键是二次函数图象的性质.
16.如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E为对角线BD上一点,EF⊥AE,交BC边于点F,连接AF交BD于点G,若∠BAF=30°,则△AEG的面积为______.
【答案】24−833
【分析】连接CE,作EH⊥AF于H,利用正方形的性质可得△ADG∽△FBG,△ABE≌△CBE,则有∠BAE=∠BCE,AE=CE,据四边形的内角和可得∠BAE+∠BFE=180°,可得∠BAE=∠EFC,得∠EFC=∠BCE,便可得△AEF为等腰直角三角形,则有HE=12AF,利用∠BAF=30°,AB=4可求得BF=433,AF=833,再利用相似三角形列比例式可得AGGF=31,进而可求得AG=43−1,便可计算出△AEG的面积.
【详解】解:连接CE,作EH⊥AF于H,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,AD=CD,∠ABF=∠BCD=90°,∠ADB=∠CDB=45°,AB=AD=4
∴△ADG∽△FBG,
∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE,
∴∠BAE=∠BCE,AE=CE,
又∵EF⊥AE,
∴∠AEF=90°,
则在四边形ABFE中:∠BAE+∠BFE=180°
又∵∠BFE+∠EFC=180°,
∴∠BAE=∠EFC,
∴∠EFC=∠BCE,
∴CE=FE,
∴AE=FE,即△AEF为等腰直角三角形,
∵EH⊥AF,
∴HE=12AF,
∵∠BAF=30°,AB=4,∠ABF=90°
∴BF=433,AF=833,则HE=12AF=433
又∵△ADG∽△FBG,
∴AGGF=ADBF,即:AGGF=4433=31,
∴AG=33+1AF=33+1×833=83+1=43−1,
∴S△AEG=12AG⋅HE=12×43−1×433=24−833.
故答案为:24−833.
【点睛】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,含30°的直角三角形,添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键.
三、解答题(第17小题6分,第18、19小题各8分,共22分)
17.计算:3−π0−2cos30°+1−3+12
【答案】12
【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算即可.
【详解】解:3−π0−2cos30°+1−3+12
=1−2×32+3−1+12
=1−3+3−1+12
=12.
【点睛】本题主要考查实数的混合运算,掌握零指数幂,特殊角的三角函数值,绝对值的性质是解题的关键.
18.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE垂直且平分CD,垂足为点E.
(1)求∠BCD的大小.
(2)若AB=4,则菱形ABCD的面积为 .
【答案】(1)120°
(2)83
【分析】(1)由菱形的性质得AD=CD,∠ACB=∠ACD,再证△ACD是等边三角形,得∠ACD=60°,即可得出结论;
(2)由(1)可知,AC=AD=4,则OA=OC=2,再由勾股定理得OD=23,则BD=2OD=43,然后由菱形面积公式列式计算即可.
【详解】(1)∵AE垂直且平分边CD,
∴AC=AD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠ACB=∠ACD,
∴AC=AD=CD,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°,
∴∠BCD=2∠ACD=120°.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,OB=OD,AD=AB=4,AC⊥BD,
由(1)可知,AC=AD=4,
∴OA=OC=2,
在Rt△AOD中,由勾股定理得:OD= AD2−OA2= 42−22 =2 3,
∴BD=2OD=43,
∴菱形ABCD的面积=12AC·BD=12×4×43=83,
故答案为:83.
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识,熟练掌握菱形的性质,证明△ACD为等边三角形是解题的关键.
19.将分别标有数字1,2,3,5的四张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上.
(1)随机地抽取一张,则抽到奇数的概率是___;
(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回),再抽取一张作为个位上的数字,请利用列表或画树状图的方法,求这个两位数能被3整除的概率是多少?
【答案】(1)34
(2)13
【分析】(1)先求出这组数中奇数的个数,再利用概率公式解答即可;
(2)首先根据题意可直接列出所有可能出现的结果,再算出这个两位数能被3整除的概率;
【详解】(1)随机抽取1张,抽到卡片数字是奇数的概率为=34;
(2)树状图如下:
共会出现12种等可能的结果12,13,15,21,23,25,31,32,35,51,52,53
其中能被3整除的有4种,
所求概率为P=412=13;
答:能被3整除的概率是13.
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率,列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件,熟记概率公式是解决本题的关键.
四、解答题(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
20.某中学决定在本校学生中,开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动,为了了解学生对这四种活动的喜爱情况,学校随机调查了该校m名学生,看他们喜爱哪一种活动(每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种),现将调查的结果绘制成的不完整的统计图(如图所示).
(1)m= ,n=
(2)请补上全图中的条形统计图;
(3)根据抽样调查的结果,请估算全校2000名学生中,大约有多少人喜爱踢足球;
(4)在抽查的m名学生中,喜爱乒乓球的有10名同学(其中有4名女生,包括小花,小颖),现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练,且女生每组分两人,求小花、小颖能分在同一组的概率.
【答案】(1)100,15
(2)图见解析
(3)800人
(4)13
【分析】(1)根据喜爱乒乓球的有10人,占10%可以求得m的值,从而可以求得n的值;
(2)根据题意和m的值可以求得喜爱篮球的人数,从而可以将条形统计图补充完整;
(3)先用喜欢足球的人数用除以总人数,求出喜欢足球的人数占总人数的百分比,后用这个百分比乘以2000计算.
(4)先列表或树状图的方法求出总共的情况以及恰好小花,小颖能分在一组的情况数,进而用概率进行计算即可.
【详解】(1)m=10÷10%=100,n%=15÷100=15%,
故答案为:100,15;
(2)喜爱篮球的有:100×35%=35(人),
补全的条形统计图,如下图所示;
(3)20000×40%=800 (人),
答:全校2000名学生中,大约有800人喜爱踢足球.
(4)把小花标记为A、小颖标记为B、另外两名同学分别标记为C和D,列表如下:
A
B
C
D
A
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
由上表可知,共有12种等可能的情况,其中,小花,小颖分别在同一组的情况有(A,B),(B,A),(C,D),(D,C)共4种.
∴P(小花,小颖分在同一组)=412=13.
【点睛】本题考查学生数据的分析和数据的整合能力,这是一道概率统计与应用题,侧重数据分析和模型构建.本题来源于真实的数学情境,联系生活实际对本题进行解读的话,会很容易理解,但如果没有联系生活实际,在最后一小题,是很容易忽略掉最后两种情况的.此题贴近生活、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进,为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台,培养了学生的数学综合素养.
21.学校举行厨艺大赛,参赛选手人数是评委人数的5倍少2人,每位参赛者需在规定时间内,将制作好的菜品分到小盘中给每位评委一小盘试吃评分,若本次比赛评委共试吃168个小盘菜品,求参赛选手的人数.
【答案】参赛选手有28人
【分析】设评委有x人,则参加选手有(5x﹣2)人,根据“本次比赛评委共试吃168个小盘菜品”列出方程并解答.
【详解】解:设评委有x人,则参加选手有(5x﹣2)人,
根据题意,得x(5x﹣2)=168,
解这个方程,得x1=6,x2=﹣285,
经检验x1=6,x2=﹣285都是原方程的根,但x2=﹣285不合题意,舍去.
所以5x﹣2=5×6﹣2=28.
答:参赛选手有28人.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,解题的关键是读懂题意,找到等量关系,列出方程.
五、解答题(本题10分)
22.如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,过点C的切线与AB的延长线交于点P,E为⊙O上一点,且CE=AC,连接EB并延长交CP于点H.
(1)求证:BH⊥CP.
(2)若AB=35,tan∠E=12,求PH的长.
【答案】(1)见解析
(2)455
【分析】(1)连接OC,OE,由切线的性质可知∠OCP=90∘,再证明EH∥OC,则∠BHP=∠OCP=90∘,可得BH⊥CP;
(2)连接OC,BC,根据AB为⊙O的直径得∠ACB=90∘,根据∠A=∠E得tan∠E=tan∠A=BCAC =12,得AC=2BC,利用勾股定理AC2+BC2=AB2,解得BC=3或BC=−3(舍去),则AC=2BC=6,证明△PCB∽△PAC,则PBPC=PCPA=CBAC =12,设PB=x,则PC=2PB=2x,PA=2PC=4x,可得4x−x=35,解x=5,则PB=5,PC=25,由(1)可得BH∥OC,PHPC=PBPO=25,从而可得PH=25PC=455.
【详解】(1)解:如图①,连接OC,OE,
在△ACO和△ECO中,AC=ECOC=OCOA=OE,
∴ △ACO≌△ECOSSS,
∴ ∠ACO=∠ECO,
∵ OA=OC,
∴ ∠A=∠ACO,
∴ ∠A=∠ECO,
又∵ ∠A=∠CEB,
∴ ∠ECO=∠CEB,
∴ EH∥OC,∠BHP=∠OCP
∵ CP与⊙O相切,
∴ OC⊥CP,
∴ BH⊥CP.
(2)解:如图②,连接OC,BC,
∵ AB为⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90∘,
∵ ∠A=∠E,
∴ tan∠E=tan∠A=BCAC =12,
∴ AC=2BC,
∵ AC2+BC2=AB2,
∴ 2BC2+BC2=352,解得BC=3或BC=−3(舍去),
∴ AC=2BC=6,
∵ CP为切线,
∴ ∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠OBC+∠PCB=90∘.
∵ AB为⊙O的直径,
∴ ∠OBC+∠A=90∘,
∴ ∠PCB=∠A,
又∵ ∠P=∠P,
∴ △PCB∽△PAC,
∴ PBPC=PCPA=CBAC =36=12,
设PB=x,则PC=2PB=2x,PA=2PC=4x,
∵ PA−PB=AB=35,
∴ 4x−x=35,解x=5,
∴ PB=5,PC=25,由(1)可得BH∥OC,
∴ PHPC=PBPO=55+352=25,
∴ PH=25PC=25×25=455.
【点睛】此题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法,解题的关键是正确地作出所需要的辅助线,构造出直角三角形、全等三角形、相似三角形、矩形,利用全等三角形、相似三角形、矩形的性质以及勾股定理求得结果.
六、解答题(本题10分)
23.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,a),B(a+4,a),其中a>0,直线y=kx−1与y轴相交于C点.
(1)已知a=1,
①求S△ABC的值;
②若直线y=kx−1将线段AB分成1:2两部分,求k的值;
③若反比例函数y=nx(x>0)过点A、B的中点,直接写出n的值;
(2)当k=12时,若直线y=kx−1与线段AB交于点D(点D不与A、B重合),且AD<2,直接写出a的取值范围.
【答案】(1)①3;②k的值为23或 12;③72;
(2)a的取值范围是0<a<1.
【分析】(1)①先分别求解A,B的坐标,再求解AB的长度及C的坐标,从而可得答案;②先确定线段AB的两个三等分点的坐标为(3 ,1)或(4 ,1),再利用待定系数法求解k即可;③先求解AB的中点坐标,再利用待定系数法求解n即可;
(2)由k=12时,则y=12x−1,再求解D的坐标, 且D在A的右侧,再列不等式组即可.
(1)
解:①当a=1时,则A(2,1),B(5,1),
∴AB=5-2=3,
∵直线y=kx-1与y轴相交于C点,
∴C(0,-1),
∴S△ABC=12×3×(1+1)=3;
②∵直线y=kx-1将线段AB分成1:2两部分,A(2,1),B(5,1),
∴直线y=kx-1与线段AB的交点为(3 ,1)或(4 ,1),
当交点为( 3 ,1)时,代入y=kx-1得,1= 3 k-1,解得k=23;
当交点为( 4 ,1)时,代入y=kx-1得,1= 4k-1,解得k=12;
∴直线y=kx-1将线段AB分成1:2两部分,k的值为23或 12;
③∵ A(2,1),B(5,1),
∴AB的中点坐标为:(72,1),
所以n=72×1=72.
(2)
当k=12时,y=12x−1,
当y=a时,则a=12x−1,解得x=2a+2,
∴D(2a+2,a)且D在A的右侧,
∵AD<2,点A(2,a),B(a+4,a),
∴ 2a+2−2<2且 2a+2>2, 解得0<a<1.
故a的取值范围是0<a<1.
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,坐标与图形,一次函数的图象与系数的关系,表示出点D的坐标是解题的关键.
七、解答题(本题12分)
24.在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=α,点P为线段CA延长线上一动点,连接PB,将线段PB绕点P逆时针旋转,旋转角为α,得到线段PD,连接DB,DC.
(1)如图1,当α=60°时,①求证:PA=DC;②求∠DCP的度数;
(2)如图2,当α=120°时,请直接写出PA和DC的数量关系.
(3)当α=120°时,若AB=6,BP=31,请直接写出点D到CP的距离为
【答案】(1)①见解析;②60°;
(2)CD=3PA;
(3)32或532.
【分析】(1)①证明ΔPBA≌ΔDBC(SAS)可得结论.②利用全等三角形的性质解决问题即可.
(2)证明ΔCBD∽ΔABP,可得CDPA=BCAB=3解决问题.
(3)分两种情形,解直角三角形求出CD即可解决问题.
【详解】(1)①证明:如图1中,
∵将线段PB绕点P逆时针旋转,旋转角为α,得到线段PD,
∴PB=PD,
∵AB=AC,PB=PD,∠BAC=∠BPD=60°,
∴ΔABC,ΔPBD是等边三角形,
∴∠ABC=∠PBD=60°,
∴∠PBA=∠DBC,
∵BP=BD,BA=BC,
∴ΔPBA≌ΔDBC(SAS),
∴PA=DC.
②解:如图1中,设BD交PC于点O.
∵ΔPBA≌ΔDBC,
∴∠BPA=∠BDC,
∵∠BOP=∠COD,
∴∠OBP=∠OCD=60°,即∠DCP=60°.
(2)解:结论:CD=3PA.
理由:如图2中,
∵AB=AC,PB=PD,∠BAC=∠BPD=120°,
∴BC=2⋅AB⋅cos30°=3BA,BD=2BP⋅cos30°=3BP,
∴ BCBA=BDBP=3,
∵∠ABC=∠PBD=30°,
∴∠ABP=∠CBD,
∴ΔCBD∽ΔABP,
∴ CDPA=BCAB=3,
∴CD=3PA.
(3)过点D作DM⊥PC于M,过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N.
如图3−1中,当ΔPBA是钝角三角形时,
在RtΔABN中,∵∠N=90°,AB=6,∠BAN=60°,
∴AN=AB⋅cos60°=3,BN=AB⋅sin60°=33,
∵PN=PB2−BN2=31−27=2,
∴PA=3−2=1,
由(2)可知,CD=3PA=3,
∵∠BPA=∠BDC,
∴∠DCA=∠PBD=30°,
∵DM⊥PC,
∴DM=12CD=32
如图3−2中,当ΔABP是锐角三角形时,同法可得PA=2+3=5,CD=53,DM=12CD=532,
综上所述,满足条件的DM的值为32或532.
故答案为32或532.
【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题注意一题多解.
八、解答题(本题12分)
25.如图1,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(−4,0)及原点,且经过点B(4,8).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接OB,点P为x轴下方抛物线上一动点,过点P作OB的平行线交直线AB于点Q,当SΔPOQ:SΔBOQ=1:2时,求出点P的坐标;
(3)如图2,若经过点D(−2,0)的直线与抛物线交于E、F两点,点E在点F右边,经过点K的两直线KE、KF与抛物线均有唯一公共点,且KE、KF与y轴不平行,试说明点K在某条定直线上运动,并求出这条定直线.
【答案】(1)y=14x2+x
(2)P−22,−22+2
(3)y=−2,求证见解析
【分析】(1)先利用对称轴公式得出b=4a,进而利用待定系数法即可得出结论;
(2)先判断出OB=2PQ,进而判断出点C是OB中点,再求出AB解析式,判断出PC//AB,即可得出PC解析式,和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论;
(3)分别设出点E和点F的横坐标,表示过点E和点F的直线,根据两个函数有一个交点,求出直线EQ和直线FQ所在的直线解析式,联立求出点Q的坐标,最后根据根与系数的关系可消去参数,得出结论.
【详解】(1)解:∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(−4,0),B(4,8),
∴ 16a−4b=016a+4b=8,
解得:a=14b=1,
∴该抛物线的解析式为y=14x2+x;
(2)解:如图,取OB的中点C,
∴BC=12OB,
∵O(0,0),B(4,8),
∴C(2,4),
∵PQ//OB,
∴点O到PQ的距离等于点Q到OB的距离,
∵SΔPOQ:SΔBOQ=1:2,
∴OB=2PQ,
∴PQ=BC,
∵PQ//OB,
∴四边形BCPQ是平行四边形,
∴PC//AB,
∵抛物线的解析式为y=14x2+x①,
令y=0,
∴ 14x2+x=0,
∴x=0或x=−4,
∴A(−4,0),
∵B(4,8),
∴直线AB解析式为y=x+4,
设直线PC的解析式为y=x+m,
∵C(2,4),
∴直线PC的解析式为y=x+2②,
联立①②,得y=14x2+xy=x+2,
解得:x=22y=22+2(舍)或x=−22y=−22+2,
∴P(−22,−22+2);
(3)解:设经过点D(−2,0)的直线解析式为y=kx+b,
则−2k+b=0,
∴b=2k,
∴y=kx+2k,
分别设E和点F的横坐标为m,n,
∴E(m,14m2+m),F(n,14n2+n).
令y=kx+2k=14x2+x,
整理得x2+4(1−k)x−8k=0,
∴m+n=4k−4,mn=−8k.
设过点E与抛物线只有唯一公共点的直线为:y=k'(x−m)+14m2+m,
设过点F与抛物线只有唯一公共点的直线为:y=k''(x−n)+14n2+n,
令k'(x−m)+14m2+m=14x2+x,整理得x2+4(1−k')x+4k'm−4m−m2=0,
由题意可知,Δ=[4(1−k')]2−4(4k'm−4m−m2)=0,整理得k'=12(m+2).
同理可得k''=12(n+2).
∴过点E与抛物线只有唯一公共点的直线为:y=12(m+2)(x−m)+14m2+m=12(m+2)x−14m2,
过点F与抛物线只有唯一公共点的直线为:y=12(n+2)(x−n)+14n2+n=12(n+2)x−14n2,
令12(m+2)x−14m2=12(n+2)x−14n2,解得x=12(m+n)=m+n2,
∴Q(m+n2,m+n2+14mn),即Q(2k−2,−2),
∴点Q的纵坐标为−2.
即点Q在定直线:y=−2上运动.
【点睛】本题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,一元二次方程的根与系数的关系,平行四边形的判定和性质,等高的两三角形面积的比等于底的比,(2)判断出OB=2PQ是解本题的关键,(3)得出点Q的坐标是解题关键.
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