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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程课堂检测
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【精选】2.7.1 抛物线的标准方程-1课堂练习
一.填空题
1.
过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点,若,则__________.
2.
已知抛物线的焦点为,点.若线段的中点在抛物线上,则的值为___________.
3.
设是抛物线的焦点,.是抛物线上两个不同的点,若直线恰好经过焦点,则的最小值为_______.
4.
抛物线的准线方程是,则的值为_________.
5.已知抛物线上一点到焦点的距离等于则直线的斜率为______________.
6.
对于抛物线,给出下列三个条件:①对称轴为轴;②过点;③焦点到准线的距离为.写出符合其中两个条件的一个抛物线的标准方程___________.
7.已知抛物线的焦点是椭圆的左焦点,则抛物线的准线方程是__________.
8.
已知抛物线:的焦点为,若上一点到焦点的距离为6,则的值为___________.
9.已知抛物线,焦点为,点为抛物线上的点,且,则的横坐标是_______;作轴于,则_______.
10.
已知抛物线:的焦点为,其准线与轴的交点为,点为上一点,当最大时,直线的斜率为______.
11.
已知抛物线的焦点为,直线与轴的交点为,与抛物线的交点为,且,则抛物线的方程为___________.
12.
已知为抛物线的焦点,,点在抛物线上且满足.若这样的点有且只有一个,则实数的值为___________.
13.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,的中心与的顶点重合.若椭圆与抛物线相交于点.,且直线经过点,则椭圆的离心率为___________.
14.如图所示,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上,则抛物线的方程为________.
15.在平面直角坐标系中,已知圆C经过抛物线的焦点,且与直线相切于坐标原点O,则圆C的标准方程为_____________.
参考答案与试题解析
1.【答案】9
【解析】
由题意,抛物线的焦点,设,
根据抛物线的定义,可得,可得,可得,
不妨设点位于第一象限,可得,
所以,所以直线的方程为,
联立方程组,整理得,可得,
由抛物线的定义,可得.
故答案为:.
2.【答案】
【解析】
抛物线的焦点为,因为点,所以线段的中点为,
由已知条件可得,,解得.
故答案为:.
3.【答案】
【解析】
若直线与轴重合,则直线与抛物线只有一个交点,不合乎题意.
易知抛物线的焦点为,准线方程为,
设点.,设直线的方程为,
联立,整理可得,,
由韦达定理可得,,
,
,
当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.
故答案为:.
4.【答案】
【解析】
由得,其准线方程为,
因为抛物线的准线方程是,
所以,解得.
故答案为:
5.【答案】或
【解析】分析:利用抛物线的定义可M点的横坐标,代入抛物线方程求出M的坐标,再利用斜率公式求解即可.
详解:因为抛物线上一点M与焦点F的距离,
所以,
所以,进而有,
所以点M的坐标为:
当点M的坐标为时,直线MF的斜率为
当点M的坐标为时,直线MF的斜率为
综上可知直线线MF的斜率为或.
故答案为:或
6.【答案】(,以上答案均可).
【解析】
若选①②,则设抛物线标准方程为,过,代入得,抛物线标准方程为;
若选①③,易知,抛物线标准方程为或;
若选②③,易知,若对称轴为轴,则抛物线标准方程为,不满足过;
若对称轴为轴,设抛物线标准方程为,不满足过;
故答案为: (,以上答案均可)
7.【答案】
【解析】分析:先求得椭圆的左焦点,然后利用抛物线交点与准线的关系求解即可.
详解:椭圆中,.
于是抛物线的焦点是,故其准线方程是.
故答案为:.
8.【答案】
【解析】
依题意,,解得,故抛物线:;将代入可得,则.
故答案为:±6
9.【答案】5
【解析】分析:根据焦半径公式可求的横坐标,求出纵坐标后可求.
详解:因为抛物线的方程为,故且.
因为,,解得,故,
所以,
故答案为:5,.
10.【答案】1
【解析】
由题意可得,焦点,准线方程为,
过点作垂直准线,垂足为,
则,且,
所以,
因为,所以,
即 ()
求的最大值,即求的最小值,等价的最大值,
设,
,
当且仅当,即时取等号,即直线的斜率为1.
故答案为:1.
11.【答案】
【解析】
易知抛物线的焦点为,联立,解得,即点,
由可得,,解得.
因此,抛物线的方程为.
故答案为:.
12.【答案】
【解析】
解:由题意,,设,
由可得,即,
因为这样的点有且只有一个,所以或,
即或,
由,解得,
综上,.
故答案为:.
13.【答案】
【解析】分析:作出图形,分析可得,,利用椭圆的定义可得出关于.的齐次等式,由此可解得椭圆的离心率的值.
详解:如下图所示:
过点作抛物线的准线的垂线,垂足为点,设点为椭圆的左焦点,
由抛物线的定义可得,
易知点.关于轴对称,则轴,
又因为轴,所以,四边形为正方形,可得,
因为,由椭圆的定义可得,即,
因此,椭圆的离心率为.
故答案为:.
14.【答案】
【解析】分析:由已知可知,,,代入点即可得解.
详解:因为等边三角形的边长为,且其三个顶点都在抛物线上
所以,,,
所以,解得
所以抛物线的方程为:
故答案为:
15.【答案】
【解析】分析:首先根据题意得到抛物线的焦点,设圆心,根据题意得到,从而得到圆心,再求半径即可得到答案.
详解:抛物线的焦点,设圆心,由题知:
,
,
所以圆:.
故答案为:
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