高中数学第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试测试题

专题强化练1　空间向量的运算

一、选择题

1.(2020上海高三模拟,)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是(　　)

1. ·                      B.· 

C.·                                            D.·

2.(2020山东德州一中高三模拟,)点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1上一点,则·的取值范围是(　　)

A.                   B.     

 C.[-1,0]                   D.

3.(多选)(2020福建三明一中高二期末,)在四面体P-ABC中,下列说法正确的是(　　)

A.若=+,则=3

B.若Q为△ABC的重心,则=++

C.若·=0,·=0,则·=0

D.若四面体P-ABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1

二、填空题

4.(2020河北衡水第二中学高二期末,)如图,在四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,且AB=4,SA=3,E、F分别为线段BC、SB上的一点(不包含端点),满足==λ,则当实数λ的值为　　　　时,∠AFE为直角. 

三、解答题

5.(2020山东青岛高三模拟,)如图所示,M,N分别是四面体O-ABC的棱OA,BC的中点,P,Q是线段MN的三等分点,用向量,,表示和.

6.(2019北京师范大学附属实验中学高二期中,)已知空间中的三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=,b=.

(1)若|c|=3,且c∥,求向量c;

(2)已知向量ka+b与b互相垂直,求k的值;

(3)求△ABC的面积.

7.(2019河北石家庄高二期末,)已知空间中的三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标;

(2)若∥,且||=2,求点P的坐标.

答案全解全析

一、选择题

1.B　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.

不妨设DA=a,DC=b,DD1=c,所以A(a,0,0),B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,0,0),A1(a,0,c),B1(a,b,c),C1(0,b,c),D1(0,0,c),所以=(-a,0,c),=(-a,0,-c),=(-a,-b,c),=(-a,0,0),=(0,b,0),=(-a,b,0).

A中,·=a2-c2,所以当a=c时,·=0,故A项不符合题意;

B中,·=a2>0,故B项符合题意;

C中,·=0,故C项不符合题意;

D中,·=a2-b2,所以当a=b时,·=0,故D项不符合题意.故选B.

2.D　以点D为原点,以DA所在的直线为x轴,以DC所在的直线为y轴,以DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则点A(1,0,0),C1(0,1,1).

设点P的坐标为(x,y,z),由题意可得0≤x≤1,0≤y≤1,z=1,∴=(1-x,-y,

-1),=(-x,1-y,0),

∴·=-x(1-x)-y(1-y)+0=x2-x+y2-y=+-,∴当x=y=时,·取得最小值,为-;

当x=0或1,且y=0或1时,·取得最大值,为0.

故·的取值范围是.

故选D.

3.ABC　对于A,∵=+,

∴3=+2,

∴2-2=-,∴2=,

∴3=+,即3=,故A正确;

对于B,若Q为△ABC的重心,则++=0,∴3+++=3,

∴3=++,即=++,故B正确;

对于C,若·=0,·=0,则·+·=0,

∴·+·(+)=0,

∴·+·+·=0,

∴·+·-·=0,

∴(-)·+·=0,

∴·+·=0,

∴·+·=0,

∴·(+)=0,

∴·=0,

故C正确;

对于D,∵=-=(+)-=(+-),

∴||=|--|.

∵|--|

=

=

=2,

∴||=,故D错误.故选ABC.

二、填空题

4.答案　

解析　∵SA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,故可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

∵AB=4,SA=3,∴B(0,4,0),S(0,0,3).

设BC=m,则C(m,4,0).

∵==λ,∴=λ.∴+=λ(+),

∴=+,∴F.同理,E,

∴=.

要使∠AFE为直角,则AF⊥EF,即·=0,

又∵=,∴×0+×+=0,

∴16λ=9,∴λ=.

三、解答题

5.解析　=+=+=+(-)=+=+×(+)=++;

=+=+=+(-)=+=+×(+)=++.

6.解析　(1)=(2,1,-2),因为c∥,所以设c=(2n,n,-2n)(n为实数),故|c|==3|n|=3,解得n=±1,故c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).

(2)a==(-1,-1,0),b==(1,0,-2),ka+b=(1-k,-k,-2),因为ka+b与b垂直,所以1-k+4=0,解得k=5.

(3)依题意知||==,||==,||==3,故由余弦定理得cos A==-,所以sin A==.故三角形ABC的面积为·||·||·sin A=×××=.

7.解析　(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2).设a=(x,y,z),

因为|a|=,且a分别与,垂直,

所以解得或

所以a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).

(2)因为∥,所以可设=λ(λ∈R).

因为=(3,-2,-1),所以=(3λ,-2λ,-λ).

又因为||=2,所以=2,解得λ=±2,

所以=(6,-4,-2)或=(-6,4,2).设点P的坐标为(x,y,z),则=(x,y-2,z-3).

所以或解得或

故点P的坐标为(6,-2,1)或(-6,6,5).