数学八年级下册第18章 平行四边形 专项训练3（含答案）

这是一份数学八年级下册第18章 平行四边形 专项训练3（含答案），共24页。
第18章 平行四边形 专项训练
专训1.利用特殊四边形的性质巧解折叠问题
名师点金：
四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．
平行四边形的折叠问题
1．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE恰好经过BC的中点，那么▱ABCD的面积是________．
2．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．

(第2题)


矩形的折叠问题
3．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.
(1)求证：EG＝CH；
(2)已知AF＝，求AD和AB的长．

(第3题)







菱形的折叠问题

(第4题)
4．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的F点，连接CF，那么∠BFC的度数是(　　)
A．60° B．70° C．75° D．80°
5．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．

(第5题)


正方形的折叠问题

(第6题)
6．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为________．
7．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.
(1)求证：∠APB＝∠BPH.
(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．

(第7题)

专训2.利用特殊四边形的性质巧解动点问题
名师点金：
利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．
平行四边形中的动点问题
1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．

(第1题)

矩形中的动点问题
2．已知，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
(1)如图①，连接AF，CE，试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

(第2题)



菱形中的动点问题
3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．

(第3题)



正方形中的动点问题
4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．

(第4题)


专训3.特殊平行四边形中的五种常见热门题型
名师点金：
本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点．
特殊平行四边形中的折叠问题
1．如图，将一张长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(图③中的虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为(　　)
A．10 cm2 B．20 cm2
C．40 cm2 D．80 cm2

(第1题)
　
(第2题)
2．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4，则FD的长为(　　)
A．2 B．4 C. D．2
3．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为(　　)　
A．15° B．30° C．45° D．60°

(第3题)
　　　
(第4题)
特殊平行四边形中的动点问题
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°.点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0≤t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.若四边形AEFD为菱形，则t的值为(　　)　
A．5 B．10
C．15 D．20
5．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E.若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是(　　)
A．2 B．4 C．2 D．4

(第5题)
　　　
(第6题)
特殊平行四边形中的中点四边形问题
6．如图，在四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是(　　)
①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7的周长为；④四边形AnBnCnDn的面积为.
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
7．如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6 cm，∠ABC＝60°，则四边形EFGH的面积为________．

(第7题)
　　　
(第8题)
特殊平行四边形中的图形变换问题
8．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是(　　)
A. B.
C.－1 D．1＋
9．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.
(1)求证：AF－BF＝EF；
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前的图形中点E之间的距离．

(第9题)


灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明
10．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE.
(1)求证：△BEC≌△DFA；
(2)连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．

(第10题)



11．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.
(1)求证：四边形DEFG为菱形；
(2)若CD＝8，CF＝4，求的值．

(第11题)






12．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.
(1)求证：AF＝BE.
(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．

(第12题)



专训4.全章热门考点整合应用
名师点金：
本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个性质，一个定理，四个图形，三个技巧．
一个性质——直角三角形斜边上的中线性质
1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；
(2)∠DHF＝∠DEF.
　
(第1题)

一个定理——三角形的中位线定理
2．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，点E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．
求证：(1)四边形EFGH是矩形；
(2)四边形EQGP是菱形．
　
(第2题)

四个图形
图形1　平行四边形
3．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是什么特殊的四边形，并证明你的结论．
　
(第3题)



图形2　矩形
4．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：△AOE≌△COF.
(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
　
(第4题)







图形3　菱形
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
　
(第5题)




图形4　正方形
6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．

(第6题)



三个技巧
技巧1　解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)
7．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．

(第7题)
技巧2　解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)
8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．

(第8题)




技巧3　解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)
9．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．

(第9题)








答案



专训1
1．12　点拨：如图，设AE，BC的交点为O，连接BE，已知O是BC的中点．
∵在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，则△ABC≌△CEA，∴∠ACB＝∠CAE，同时，BC＝AE，即在四边形ABEC中，两条对角线相等．∵在△AOC中，∠ACB＝∠CAE，∴AO＝OC，易得O是AE的中点．∴四边形ABEC是矩形，在Rt△AEC中，CE＝AB＝6，AE＝AD＝8，由勾股定理得AC＝＝＝2.
∴▱ABCD的面积＝AB·AC＝6×2＝12.

(第1题)

(第2题)
2．解：设AE与BC相交于点F，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.
∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，
∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.
∵F为BC边的中点，BC＝6，
∴AF＝CF＝BF＝×6＝3.
又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.

(第3题)
3．(1)证明：由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC.
∴EG＝CH.
(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝，
∴DG＝，DF＝2.∴AD＝2＋.
如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠AFE＝90°，
∴∠3＝∠AFE.
又∵∠A＝∠B＝90°，
由(1)知，AE＝BC，
∴△EFA≌△CEB.
∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋＋＝2＋2.
4．C　点拨：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.
5．解：如图，连接BD，AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.
∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°.
∴∠ABO＝90°－60°＝30°.
∵∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝×2＝1.
由勾股定理，得BO＝DO＝.
∵点A沿EF折叠与点O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO.
∵AC⊥BD，∴EF∥BD，
易得EF为△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝×(＋)＝.

(第5题)
6．13　点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连接BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，
∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠BGN＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝＝13.

(第6题)
7．(1)证明：∵PE＝BE，
∴∠EBP＝∠EPB.
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，
即∠BPH＝∠PBC.
又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，
∴∠APB＝∠BPH.
(2)解：△PDH的周长不变且为定值8.
证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．
由(1)知∠APB＝∠BPH，
又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，
∴△ABP≌△QBP.
∴AP＝QP，AB＝BQ.
又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.
∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.

(第7题)
专训2
1．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF.
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，
∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.
2．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝OC.
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．
设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，

(第2题)
在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.
∴AF＝5 cm.
(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，
∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.
∴5t＝12－4t，解得t＝.
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.
3．证明：(1)如图①，连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.

　(第3题)
(2)如图②，连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.
又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.
∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝60°＝∠B.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．

(第4题)
4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.　
∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2＋∠3＝90°.
∴∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH为正方形．
(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG，EG.设EG与BD交于O点．
∵BE綊DG，
∴四边形BGDE为平行四边形．
∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD.
∴点O为正方形的中心．
∴直线EG必过正方形的中心．




专训3
1．A
2．B　点拨：连接EF，由题易知，AE＝EG＝ED，∠A＝∠EGB＝∠EGF＝∠D＝90°，又EF＝EF，所以Rt△EGF≌Rt△EDF，所以FG＝DF.设DF＝x，则BF＝6＋x，CF＝6－x，在Rt△BCF中，(4)2＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得x＝4，所以FD＝4.
3．C
4．B　点拨：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t cm，所以DF＝2t cm.又因为AE＝2t cm，所以AE＝DF.因为AE∥DF，所以可推出四边形AEFD为平行四边形．令AE＝AD，则60－4t＝2t.解得t＝10.所以当t＝10时，四边形AEFD为菱形．
5．C　点拨：连接BD交AC于点O，由图可知，DQ＋PQ的最小值即为DO的长，由正方形的边长为4可知，DO的长为2，所以DQ＋PQ的最小值为2.
6．A

(第7题)
7．9 cm2　点拨：连接AC，BD，设AC，BD相交于点O，如图，
易知，四边形EFGH是矩形．
由四边形ABCD是菱形，
∠ABC＝60°，
可得∠ABO＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝3 cm.
∴AC＝6 cm.
在Rt△AOB中，OB＝＝3(cm)，
∴BD＝6 cm.
∵EH＝BD，EF＝AC，
∴EH＝3 cm，EF＝3 cm.
∴矩形EFGH的面积＝EF·EH＝3×3＝9(cm2)．
8．C
9．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAG＋∠EAD＝90°.
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝∠DEG＝90°.
∴∠EAD＋∠ADE＝90°.
∴∠ADE＝∠BAF.
又∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEG＝90°.
在△AED和△BFA中，
∵
∴△AED≌△BFA(AAS)．
∴BF＝AE.
∵AF－AE＝EF，
∴AF－BF＝EF.

(第9题)
(2)解：如图，由题意知将△ABF绕A点旋转得到△ADF′，B与D重合，连接F′E，由(1)易得DE＝AF.
根据题意知：∠FAF′＝90°，DE＝AF＝AF′，
∴∠F′AE＝∠AED＝90°.
即∠F′AE＋∠AED＝180°.
∴AF′∥ED.
∴四边形AEDF′为平行四边形．
又∠AED＝90°，
∴四边形AEDF′是矩形．
∵AD＝3，∴EF′＝AD＝3.
10．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA(SAS)．
(2)解：四边形AECF是矩形，理由：
∵AE＝AB，CF＝CD，AB＝CD，　
∴AE＝CF.
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
当CA＝CB时，CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
11．(1)证明：如图，由折叠的性质可知：DG＝FG，ED＝EF，∠1＝∠2，
∵FG∥CD，
∴∠3＝∠1.
∴∠2＝∠3.
∴FG＝FE.
∴DG＝GF＝EF＝DE.
∴四边形DEFG为菱形．
(2)解：设DE＝x，则EF＝DE＝x，EC＝8－x，
在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，
即42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5.∴CE＝8－x＝3.
∴＝.

　(第11题)
12．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠BAE＝90°，
∴∠DAF＋∠BAF＝90°.
∵AF⊥BE，
∴∠ABE＋∠BAF＝90°.
∴∠DAF＝∠ABE.
∴△DAF≌△ABE(ASA)．
∴AF＝BE.
(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.





专训四
1．证明：(1)∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC.同理可得EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形．
(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DAF＝∠DEF.
在Rt△AHB中，∵D是AB的中点，
∴DH＝AB＝AD，
∴∠DAH＝∠DHA.
同理可得HF＝AC＝AF，
∴∠FAH＝∠FHA.
∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA.
∴∠DAF＝∠DHF.
∴∠DHF＝∠DEF.
2．证明：(1)∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF∥AC且EF＝AC，GH∥AC且GH＝AC，
∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴▱EFGH是矩形．
(2)∵点E，P，G，Q分别为AB，AC，DC，DB的中点，
∴EP＝BC，PG＝AD，GQ＝BC，QE＝AD.
∵AD＝BC，∴EP＝PG＝GQ＝QE，∴四边形EQGP是菱形．
点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．
3．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C.
又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)解：四边形MFNE是平行四边形．
证明：由(1)知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD.
∵M，N分别是BE，DF中点，
∴ME＝NF.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠AEB＝∠EBC.
∴∠CFD＝∠EBC.
∴BE∥DF.
∴四边形MFNE是平行四边形．
4．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠AEO＝∠CFO.
在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF(AAS)．
(2)解：当AC＝EF时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．
5．(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC.
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形．
(2)解：答案不唯一，下列解法供参考．
当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．
理由：∵D是AB的中点，
∴BD＝AB.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC.
又∵AB＝BC，∴BD＝DE.
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
6．(1)解：DE⊥FG.理由如下：
由题意，得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠BDE＋∠BED＝90°.
∴∠GFE＋∠BED＝90°，
∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.
(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG.
∴CB∥GE，CB＝GE.
∴四边形CBEG是平行四边形．
∵∠ABC＝∠GEF＝90°，
∴四边形CBEG是矩形．
∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．
7．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为
(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)
＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB
＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB
＝AB＋(FD1＋FC)＋10
＝AB＋(FD＋FC)＋10
＝10＋10＋10＝30.
点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．
8．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，
∠BOC＝90°.
∵四边形A′B′C′O是正方形，
∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC.
∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，
即∠BOE＝∠COF.
∴△BOE≌△COF.∴S△BOE＝S△COF.
∴两个正方形重叠部分的面积等于S△BOC.
∵S正方形ABCD＝1×1＝1.
∴S△BOC＝S正方形ABCD＝.
∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.
9．解：(1)如图，在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，
由勾股定理得AG＝＝＝6，
∴AC＝2AG＝2×6＝12.
菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×12×16＝96.

　(第9题)
(2)如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，
所以BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，
即×16×6＝×10·OE＋×10·OF，
解得OE＋OF＝9.6是定值，不变．
(3)如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，
所以BD·AG＝AB·OE－AD·OF，
即×16×6＝×10·OE－×10·OF，
解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．
所以OE＋OF的值变化，OE，OF之间的数量关系为：OE－OF＝9.6.