【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件进阶训练4　(范围：2.1～2.4)

进阶训练4　(范围：2.1～2.4)

一、基础达标

1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　)

A.    B.

C.    D.

答案　B

解析　由得故交点为.

2.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α满足(　　)

A.0°≤α<90°    B.90°≤α<180°

C.90°<α<180°    D.0°<α<180°

答案　C

解析　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α满足90°<α<180°.

3.已知A(0，1)，B(1，2)，C(－1，3)三点，则的值为(　　)

A.   B.   C.1   D.2

答案　C

解析　由两点间的距离公式，

得|AC|＝＝，

|CB|＝＝，

故＝＝1.

4.m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必(　　)

A.在同一条直线上

B.是直角三角形的顶点

C.是等腰三角形的顶点

D.是等边三角形的顶点

答案　A

解析　∵kAB＝＝－1，

kBC＝＝－1，∴kAB＝kBC，

又直线AB与直线BC有公共点B，

∴A，B，C三点共线.

5.点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为(　　)

A.(7，＋∞)

B.(－∞，－3)

C.(－∞，－3)∪(7，＋∞)

D.(－3，7)

答案　C

解析　由题意得>3，即|3a－6|>15.故3a－6>15或3a－6<－15，即a>7或a<－3.

6.不论m取何实数，直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒过定点________.

答案　(0，1)

解析　由直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0变形为m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0，

由解得

∴该直线过定点(0，1).

7.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________.

答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0

解析　若直线过原点，则k＝－，

∴直线方程为y＝－x，即4x＋3y＝0.

若直线不过原点，则设直线方程为＋＝1，

即x＋y＝a.

∴a＝3＋(－4)＝－1，

∴直线方程为x＋y＋1＝0.

综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.

8.已知两点A(－3，－2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________.

答案　1或－

解析　∵两点A(－3，－2)，B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，

∴＝，

化为|2a＋2|＝|4a|.

∴2a＋2＝±4a，解得a＝1或－.

9.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值；

(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值.

解　(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2.

当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，

显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.

同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，故m的值为2或－3.

(2)由直线l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.

故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.

10.(1)已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，求直线l的方程；

(2)已知在△ABC中，A(1，－4)，B(2，6)，C(－2，0)，AD⊥BC于点D，求直线AD的方程.

解　(1)∵直线y＝(x－1)的斜率为，

∴其倾斜角为60°，且过点(1，0).

又直线l与直线y＝(x－1)的夹角为30°，且过点(1，0)，

如图所示，易知直线l的倾斜角为30°或90°.

故直线l的方程为y＝(x－1)或x＝1.

(2)由题意知，kBC＝＝.

因为AD⊥BC，所以直线AD的斜率存在，且kAD＝－.

故直线AD的方程为y＋4＝－(x－1)，即2x＋3y＋10＝0.

二、能力提升

11.(多选)直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象可能是(　　)

答案　BC

解析　l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a.

在A中，由l1知a>0，b<0，则－b>0，与l2的图象不符；

在B中，由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图象相符；

在C中，由l1知a<0，b>0，则－b<0，与l2的图象相符；

在D中，由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图象不符.

12.已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy(　　)

A.无最小值，且无最大值

B.无最小值，但有最大值

C.有最小值，但无最大值

D.有最小值，且有最大值

答案　D

解析　线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，于是y＝4(0≤x≤3)，从而xy＝4x＝－＋3，显然当x＝∈[0，3]时，xy取最大值为3；当x＝0或3时，xy取最小值0.

13.已知Rt△ABC，角B为直角，AB＝a，BC＝b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等.

解　取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，则三个顶点的坐标分别为A(a，0)，B(0，0)，C(0，b).由中点坐标公式，得斜边AC的中点M的坐标为.

∴|MA|＝

＝，

|MB|＝

＝，

|MC|＝

＝，

∴|MA|＝|MB|＝|MC|.

三、创新拓展

14.在x轴上求一点P，使得

(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大，并求出最大值；

(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小，并求出最小值.

解　(1)如图，设直线BA与x轴交于点P，此时P为所求点，

且|PB|－|PA|＝|AB|＝＝5.

∵直线BA的斜率kBA＝＝－，

∴直线BA的方程为y＝－x＋4.

令y＝0，得x＝，

即P.

故距离之差最大值为5，此时P点的坐标为.

(2)作A关于x轴的对称点A′，则A′(4，－1)，连接CA′，

则|CA′|为所求最小值，直线CA′与x轴交点为所求点.

又|CA′|＝＝，

直线CA′的斜率kCA′＝＝－5，

则直线CA′的方程为y－4＝－5(x－3).

令y＝0，得x＝，即P.

故距离之和最小值为，此时P点的坐标为.