高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.2 从函数观点看一元二次方程教学演示课件ppt

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1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数.(直观想象、数学运算)2.了解二次函数的零点与一元二次方程的根的关系.(直观想象、逻辑推理)
如图所示,二次函数y=x2-x-2与x轴交于A,B两点,你能求出A,B两点的坐标吗?该坐标与方程x2-x-2=0的根之间又有何关系呢?学完了这一节我们就可以对这一问题有个清晰的认识.
知识点一:一元二次方程与二次函数的关系
知识点二:二次函数的零点一般地,我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点.要点笔记一元二次方程、二次函数、二次函数的图象之间的关系方程ax2+bx+c=0有实数根⇔二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点⇔二次函数y=ax2+bx+c有零点.
微思考二次函数的零点是函数与x轴的交点吗?提示 不是.二次函数的零点不是一个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.
微练习函数y=2x2-3x+1的零点个数是(　　)A.0　　B.1　　C.2　　D.3
解析 由y=0得2x2-3x+1=0,解得x= 或x=1,所以函数有2个零点.
例1已知函数y=x2-x-2a.(1)若a=1,求函数的零点;(2)若函数有零点,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=1时,y=x2-x-2.令y=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.即函数y=x2-x-2a的零点为-1和2.
要点笔记二次函数零点的求法(1)代数法:求方程y=0的实数根.(2)几何法:对于不能用求根公式的方程y=0,可以将它与函数的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
变式训练1已知函数y1=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数y2=bx2+ax的零点.
解 由已知得3a-b=0,即b=3a.故y2=3ax2+ax=ax(3x+1).令y2=0,即ax(3x+1)=0,
例2关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值是(　　)
A.0 B.8C.4± D.0或8
答案 D解析 由Δ=(m-2)2-4(m+1)=0,得m2-8m=0,解得m=0或m=8.
延伸探究本例的结论改为“有两个实数根”,试求m的取值范围.
解 一元二次方程有两个实数根可能是两个相等的实数根也可能是两个相异的实数根,则Δ=(m-2)2-4(m+1)=m2-8m≥0,即m(m-8)≥0,
解得m≥8或m≤0.故m的取值范围为(-∞,0]∪[8,+∞).
反思感悟 一元二次方程ax2+bx+c=0实数根的个数的判断方法(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个相异的实数根;(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程无实数根.
变式训练2(2020山西运城景胜中学高一开学考试)关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有实数根,则a满足(　　)A.a≥-4且a≠0B.a>4C.a≥4D.a≠0
一元二次方程根与系数的关系
典例已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;
解 (1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,即(2k+1)2-4k2=4k+1>0,
(2)当k=2时,方程为x2+5x+4=0,∴x1+x2=-5,x1x2=4,
方法点睛利用根与系数的关系求代数值的步骤(1)算:计算出两根的和与积;(2)变:将所求的代数式表示成两根的和与积的形式;(3)代:代入求值.
1.若x1,x2是一元二次方程2x2-6x+3=0的两个实数根,则|x1-x2|的值为(　　)
2.已知α,β是二次函数y=x2-4x-3的两个零点,则代数式(α-3)(β-3)的值是(　　)A.7B.1C.5D.-6答案 D解析 ∵α,β是一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根,∴α+β=4,αβ=-3,∴(α-3)(β-3)=αβ-3(α+β)+9=-3-3×4+9=-6.故选D.
3.一元二次方程(4-2x)2-36=0的解集是　　　　. 答案 {-1,5}解析 原方程移项可得(4-2x)2=36,两边开平方可得4-2x=6或4-2x=-6,解得x1=-1,x2=5.故一元二次方程(4-2x)2-36=0的解集是{-1,5}.
4.若集合A={x|(k+2)x2+2kx+1=0}有且仅有1个真子集,则实数k的取值集合是　　　　　. 
答案 {-2,-1,2}
解析 由集合A有且仅有1个真子集可得A中含有1个元素,当k=-2时,A={x|-4x+1=0}={ },符合题意;当k≠-2时,Δ=4k2-4(k+2)=0,解得k=-1或k=2.所以实数k的取值集合是{-2,-1,2}.