初中人教版13.4课题学习 最短路径问题习题

13.4  课题学习最短路径问题

要点感知  在解决最短路径问题时,我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.

预习练习  已知，如图,在直线l的同侧有两点A，B.

(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；

(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长.

知识点  路径最短问题

1.如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是(  )

  A.7 cm  B.5 cm  C.8 cm  D.10 cm

2.如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置.

3.如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？

4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠CAB,N点是AB上的一定点,M是AD上一动点,要使MB+MN最小,请找点M的位置.

5.(兰州中考改编)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数.

挑战自我

6.(济宁中考)如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是(  )

  A.(0，0)  B.(0，1)  C.(0，2)  D.(0，3)

参考答案

课前预习

要点感知  轴对称平移

预习练习  (1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP.点P即为所求.图略.

  (2)连接AB并延长,交直线l于点P.图略.

当堂训练

1.C  2.作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点.图略.

3.①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置.图略.

课后作业

4.连接NC与AD的交点为M点.点M即为所求.图略.

5.作A关于BC和CD的对称点A′，A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.∵∠DAB=120°,∴∠HAA′=60°.∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°.∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°.

6.D