人教版高中数学选择性必修第三册第七章7-3-1离散型随机变量的均值习题含答案

7.3　离散型随机变量的数字特征

7.3.1　离散型随机变量的均值

A级 必备知识基础练

1.若离散型随机变量X的分布列为

则X的均值E(X)等于(　　)

A.2 B.2或 C. D.1

2.若随机变量ξ的分布列如表所示,则E(ξ)的值为(　　)

A. B. C. D.

3.若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于(　　)

A.16 B.11 C.2.2 D.2.3

4.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为(　　)

A. B. C.2 D.

5.甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率为,乙、丙打中的概率均为(0<t<4),若甲、乙、丙都打中的概率是,设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数,则ξ的均值是(　　)

A. B. C.1 D.

6.某射手射击所得环数ξ的分布列如下.

已知ξ的均值E(ξ)=8.9,则y的值为　　　　　. 

7.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,则a=　　　　　,b=　　　　　. 

8.为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:

(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少?

(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.

①求这两种金额之和不低于20元的概率;

②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值.

B级 关键能力提升练

9.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是(　　)

A.2 000元 B.2 200元 

C.2 400元 D.2 600元

10.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(ξ)等于(　　)

A.1.48 B.0.76 

C.0.24 D.1

11.(多选题)已知随机变量ξ的分布列是

其中α∈0,,则下列表述正确的是(　　)

A.+cos α=1

B.cos α=,sin α=

C.E(ξ)=1

D.以上均不正确

12.(多选题)设p为非负实数,随机变量X的分布列为

则下列说法正确的是(　　)

A.p∈0, B.E(X)最大值为

C.p∈0, D.E(X)最大值为

13.设l为平面上过点(0,1)的直线,l的斜率k等可能地取-2,-,-,0,,2,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变量ξ的均值 E(ξ)=　　　　. 

14.(2022浙江金华模拟)袋中原有3个白球和2个黑球,每次从中任取2个球,然后放回2个黑球.设第一次取到白球的个数为ξ,则E(ξ)=　　　　　,第二次取到1个白球1个黑球的概率为　　　　　. 

15.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;

(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值.

16.某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超过4 km时租车费为10元,若行驶路程超出4 km,则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每累计停车5分钟按1 km路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η.

(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;

(2)若随机变量ξ的分布列为

求所收租车费η的均值;

(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15 km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

C级 学科素养创新练

17.从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=(　　)

A.2 B.1 C.3 D.4

7.3.1　离散型随机变量的均值

1.C　由分布列的性质知,=1,解得a=1或a=-2(舍去).

所以E(X)=0+1

2.C　根据概率和为1,可得x=,

E(ξ)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=

3.A　由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A.

4.D　依题意X=2,3,所以P(X=2)=,P(X=3)=,

所以E(X)=2+3

5.D　,

∴t=3(t=-3舍去).

列出分布列,利用均值公式计算.

记ξ的所有可能取值为0,1,2,

∴E(ξ)=+2

6.0.4　由

解得y=0.4.

7　0　易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3. ①

又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,

即10a+4b=1, ②

由①②,得a=,b=0.

8.解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是

(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=

②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为

故E(X)=5+10+15+20+25+30+35=20.

9.B　出海的期望效益为5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800=2 200(元).

10.A　随机变量ξ的取值有1,3两种情况,ξ=3表示三个景点都游览了或都没有游览,所以P(ξ=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=1-0.24=0.76,所以随机变量ξ的分布列为

E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48.

11.ABC　对于A,由随机变量的分布列的性质,

得+cos α=1;

对于B,由+cos α=1,得sin α+2cos α=2,

联立

得5cos2α-8cos α+3=0,

解得cos α=或cos α=1(舍去),又α∈0,,

则sin α=;

对于C,E(ξ)=-+2cos α=-+2=1.

12.AB　由表可得解得p∈0,,

均值E(X)=0×-p+1×p+2=p+1,

当且仅当p=时,E(X)最大值=

13　当l的斜率k为±2时,直线l的方程为±2x-y+1=0,此时坐标原点到l的距离ξ=;

当k为±时,ξ=;当k为±时,ξ=;

当k为0时,ξ=1.由古典概型的概率公式可得ξ的分布列为

故E(ξ)=+1

14　由题意得ξ的可能取值为0,1,2,

P(ξ=0)=,

P(ξ=1)=,

P(ξ=2)=,

故E(ξ)=0+1+2

第二次取到1个白球1个黑球的概率为

P=

15.解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.

参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为

因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-

(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.

P(X=1)=,P(X=2)=,

P(X=3)=

所以X的分布列为

E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1+2+3=2.

16.解(1)依题意得,η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2.

(2)E(ξ)=15×0.1+16×0.5+17×0.3+18×0.1=16.4.

∵η=2ξ+2,∴E(η)=2E(ξ)+2=34.8.

故所收租车费η的均值为34.8元.

(3)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15.

所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.

17.C　由题意可知ξ的取值分别为0,1,2,

∴P(ξ=0)=;

P(ξ=1)=;

P(ξ=2)=

∴E(ξ)=0+1+2

∴E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=3.

故选C.