人教版高中数学选择性必修第三册第七章7-4-1二项分布习题含答案
展开7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
A级 必备知识基础练
1.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
2.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为( )
A.100和0.08 B.20和0.4
C.10和0.2 D.10和0.8
3.某同学上学路上要经过3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为( )
A. B.3
C. D.2
4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为( )
A. B.
C. D.
5.(多选题)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时( )
A.X服从二项分布
B.P(X=1)=
C.X的均值E(X)=
D.X的方差D(X)=
6.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则在1次试验中事件A发生的概率为 .
7.某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为 .
8.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个网站购物,掷出点数为5或6的人去A网购物,掷出点数小于5的人去B网购物,且参加者必须从A网和B网选择一家购物.
(1)求这4个人中恰有1人去A网购物的概率;
(2)用ξ,η分别表示这4个人中去A网和B网购物的人数,令X=ξη,求随机变量X的分布列.
B级 关键能力提升练
9.有n位同学参加某项选拔测试,每位同学通过测试的概率都是p(0<p<1),假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有1位同学通过测试的概率可表示为( )
A.(1-p)n B.1-pn
C.pn D.1-(1-p)n
10.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A.[0.4,1) B.(0,0.4]
C.(0,0.6] D.[0.6,1)
11.(多选题)若随机变量X~B5,,则P(X=k)最大时,k的值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.某人抛掷一枚硬币,出现正反面的概率都是,构造数列{an},使得an=记Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),则S4=2的概率为 .
13.用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布,两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”.双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率;
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列.
C级 学科素养创新练
14.掷骰子游戏:规定掷出1点,甲盒中放一球,掷出2点或3点,乙盒中放一球,掷出4点、5点或6点,丙盒中放一球,共掷6次,用x,y,z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数.令X=x+y,则E(X)= .
15.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率.
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.
(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?
7.4.1 二项分布
1.A 当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P=21-=3,故选A.
2.D 因为X~B(n,p),所以
解得n=10,p=0.8.
3.A 因为该同学经过每个路口时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成3重伯努利试验,即X~B3,,则X的方差D(X)=31-=,
所以Y的方差D(Y)=32·D(X)=9=6,
所以Y的标准差为
4.A 该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮,
有两天出现大潮的概率为2,
有三天出现大潮的概率为3=,
所以至少有两天出现大潮的概率为
5.ABC 由二进制数A的特点知,每一个数位上的数字只能填0,1,
且每个数位上的数字互不影响,故X的可能取值有0,1,2,3,4,则P(X=0)=4=;
P(X=1)=3=;
P(X=2)=22=;
P(X=3)=3=;
P(X=4)=4=,
故X~B4,,故A正确;
又P(X=1)=3=,故B正确;
∵X~B4,,
∴E(X)=4,故C正确;
∴X的方差D(X)=4,故D错误.
6 设在一次试验中,事件A发生的概率为p,
由题意知,1-(1-p)4=,
所以(1-p)4=,故p=
7 每位申请人申请房源为一次试验,这是4次独立重复试验,设申请A片区房源为A,则P(A)=,
所以恰有2人申请A片区的概率为
8.解依题意,得这4个人中,每个人去A网购物的概率为,去B网购物的概率为设“这4个人中恰有i人去A网购物”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
则P(Ai)=i4-i(i=0,1,2,3,4).
(1)这4个人中恰有1人去A网购物的概率为3=
(2)X的所有可能取值为0,3,4,
则P(X=0)=P(A0)+P(A4)=0×4+4×0=,
P(X=3)=P(A1)+P(A3)=1×3+3×1=,
P(X=4)=P(A2)=22=
所以随机变量X的分布列为
X | 0 | 3 | 4 |
P |
9.D 所有同学都不能通过测试的概率为(1-p)n,则至少有1位同学能通过测试的概率为1-(1-p)n.
10.A 由题意得,p(1-p)3p2(1-p)2,
∴4(1-p)≤6p.
∵0<p<1,∴0.4≤p<1.
11.AB 依题意得P(X=k)=k×5-k,
k=0,1,2,3,4,5.
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=,P(X=5)=
故当k=1或k=2时,P(X=k)最大.
12 S4=2,即4次中有3次正面1次反面,则所求概率P=3
13.解(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头,石头),(石头,剪刀),(石头,布),(剪刀,石头),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),(布,剪刀),(布,布),共有9个基本事件.玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),共有3个.
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P=
(2)X的可能取值分别为0,1,2,3,X~B,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
14.3 将每一次掷骰子看作一次实验,实验的结果分丙盒中投入球(成功)和丙盒中不投入球(失败)两种,且丙盒中投入球(成功)的概率为,设Z表示6次实验中成功的次数,则Z~B6,,
∴E(Z)=3,
∴E(X)=E(6-Z)=6-E(Z)=6-3=3.
15.解(1)记“甲射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,则事件A1的对立事件为“甲射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.故P()=4=
所以P(A1)=1-P()=1-
所以甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率为
(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B2,
则P(A2)=2×1-2=,
P(B2)=3×1-1=
由于甲、乙射击相互独立,
故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=
所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为
(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5),
则A3=D5D4D1∪D2),
且P(Di)=
由于各事件相互独立,故P(A3)=P(D5)P(D4)P()·P(D1∪D2)=1-=
所以乙恰好射击5次后,被终止射击的概率为
