人教版高中数学选择性必修第三册第七章7-3-2离散型随机变量的方差习题含答案
展开7.3.2 离散型随机变量的方差
A级 必备知识基础练
1.(多选题)对于离散型随机变量X,有关它的均值E(X)和方差D(X),下列说法正确的是( )
A.E(X)是反映随机变量的平均取值
B.D(X)越小,说明X越集中于E(X)
C.E(aX+b)=aE(X)+b
D.D(aX+b)=a2D(X)+b
2.设0<a<1,已知随机变量X的分布列是
X | 0 | a | 1 |
P |
若D(X)=,则a=( )
A. B. C. D.
3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分) | 0 | 1 | 2 |
P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
X2(乙得分) | 0 | 1 | 2 |
P | 0.3 | 0.3 | 0.4 |
现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好( )
A.甲 B.乙
C.甲、乙均可 D.无法确定
4.(多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则( )
A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布
C.E(X)=1 D.D(X)=
5.(2022陕西西安模拟)已知随机变量ξ的分布列如表,D(ξ)表示ξ的方差,则D(2ξ+1)= .
ξ | 0 | 1 | 2 |
P | a | 1-2a |
6.设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)= ,D(X)= .
7.已知随机变量X的分布列为
X | 0 | 1 | x |
P | p |
若E(X)=.
(1)求D(X)的值;
(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.
8.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
B级 关键能力提升练
9.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量X2取值的概率也均为0.2,若记D(X1),D(X2)分别为X1,X2的方差,则( )
A.D(X1)>D(X2)
B.D(X1)=D(X2)
C.D(X1)<D(X2)
D.D(X1)与D(X2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关
10.已知X的分布列如表所示.
X | -1 | 0 | 1 |
P |
有下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
11.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则( )
A.抽取2次后停止取球的概率为
B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.取球次数ξ的均值为2
D.取球次数ξ的方差为
12.某旅游公司为三个旅游团提供了a,b,c,d四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路,则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)= .
13.已知随机变量ξ的所有可能取值为m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=,则E(ξ)= ,当D(ξ)取最小值时,mn= .
14.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示.
甲:
分数X | 80 | 90 | 100 |
概率P | 0.2 | 0.6 | 0.2 |
乙:
分数Y | 80 | 90 | 100 |
概率P | 0.4 | 0.2 | 0.4 |
试分析两名学生的成绩水平.
C级 学科素养创新练
15.甲、乙、丙三人参加某比赛三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则( )
A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)
B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)
D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)
7.3.2 离散型随机变量的方差
1.ABC 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差越小,说明随机变量的取值越集中于均值,即A,B正确;
由均值和方差的性质可得,E(aX+b)=aE(X)+b,
D(aX+b)=a2D(X),即C正确,D错误.
2.A ∵E(X)=0+a+1,
∴D(X)=[(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2]=(a2-a+1)=,
∴4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=
3.A ∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2).故甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好.
4.ABD 由已知X的可能取值为0,1,且服从两点分布.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
∴E(X)=0+1,
D(X)=
5.2 由题意可得a+1-2a+=1,解得a=,则随机变量ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 |
P |
所以E(ξ)=0+1+2=1,
D(ξ)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=,
D(2ξ+1)=22D(ξ)=2.
6.2 8 随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,
则E(Y)=2E(X)+b=4+b.所以E(X)=2.
D(Y)=D(2X+b)=4D(X)=32,
所以D(X)=8.
7.解由+p=1,得p=
又E(X)=0+1x=,
所以x=2.
(1)D(X)=0-2
(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.
8.解(1)由题意得,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ | 10 | 9 | 8 | 7 |
P | 0.5 | 0.3 | 0.1 | 0.1 |
η | 10 | 9 | 8 | 7 |
P | 0.3 | 0.3 | 0.2 | 0.2 |
(2)由(1)得,
E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比较稳定,故甲比乙的射击技术好.
9.A 由题意可知E(X1)=E(X2),又由题意可知,X1的波动性较大,从而有D(X1)>D(X2).
10.C E(X)=(-1)+0+1=-,故①正确.
D(X)=,故②不正确.
由分布列知③正确.
11.BD 设取球次数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,
则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=
对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误;
对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=,B选项正确;
对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=1+2+3,C选项错误;
对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=1-2+2-2+3-2,D选项正确.
12 由题意知X的可能取值有0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=
故E(X)=0+1+2+3,
D(X)=
13 由分布列的性质得=1,即m+n=1,
所以E(ξ)=m+n,
D(ξ)=m-2+n-2=m-2+1-m-2=m-2≥0,
当且仅当m=n=时等号成立,
此时mn=
14.解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,
D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,
E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,
D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,
∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),
∴甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定.
15.D 由题意得X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=1+2+3,
D(X)=1-2+2-2+3-2;
Y的可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,
∴E(Y)=0+1+2,
D(Y)=0-2+1-2+2-2;
∴E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).
故选D.
