第十八章《平行四边形》导学案2022-2023学年人教版八年级数学下册

初二数学

《平行四边形》

导学案

平行四边形

单元概述

【单元内容】

 平行四边形是常见的四边形，本单元是在我们学习了平行线、全等三角形、轴对称图形等知识的基础上进行的学习，是上述内容的后续和深化.类比三角形的研究方法，探索平行四边形及特殊的平行四边形的定义、性质和判定，通过本单元的学习体验一般的平行四边形与特殊的正方形之间相互转变的辩证关系，同时对命题添加或减少条件得出新命题并进行演绎推理.

【课标要求】

1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.

2.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角互相平分的四边形是平行四边形.

3.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理:矩形四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对线互相垂直；以及它们的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性质.

4.探索并证明三角形的中位线定理.

【单元目标】

1.研读课本资源和教材，画出（特殊）平行四边形，说出四边形的研究要素，说一说平行四边形与特殊平行四边形之间的关系，类比三角形的研究过程梳理平行四边形的研究过程与方法.

2.结合生活实例，探究（特殊）平行四边形的性质与判定，从边、角、对角线角度总结从平行四边形到特殊平行四边形的变化条件，构建演变关系图，用几何语言推理论证线段与角相等.

3.在复杂图形中运用（特殊）平行四边形性质与判定，解决中位线、动点问题及长度、角度、面积等问题.

4.从（特殊）平行四边形、边角关系和几何图形研究方法重构单元结构，通过理清平行四边形与特殊平行四边形间的关系，解决综合问题并建立对平面图形研究的基本思路.

【学习导航】

本章主要探索平行四边形及其特例—--矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定；对于本章的学习，我们主要分为四个阶段：第1阶段结合以前所学画图初步感知图形特征、区别性特征及研究路径；第2阶段类比三角形的学习探究（特殊）平行四边形的性质与判定方法；第3阶段应用平行四边形的性质与判定迁移到构建中点问题和折叠问题的模型中，第4阶段对比性质与判定构建单元结构，同时应用所学解决动点问题，利用动点从平行四边形演变到特例的过程，构建平行四边形与特例矩形、菱形、正方形联系，注重它们的共同属性和各自的特殊性质.

平行四边形

【学习目标】

1.研读课本资源和文本，画出（特殊）平行四边形，分析（特殊）平行四边形的特征；

2.从边、角、对角线等方面研究图形，借助四边形、平行四边形及特殊平行四边形的演变过程，说一说它们的特征；

3. 类比三角形的研究思路，以平行四边形为主线，初步构建本单元知识体系.

【学习任务】探秘平行四边形家族谱系并初步分析平行四边形的特征

——初探平行四边形家族成员

进入初中以来，从点到线，由线到形，我们在几何图形的世界中徜徉.你还记得我们研究过哪些图形吗？我们研究图形都是从最简单的图形开始研究，先研究了点，过两个点形成了线，两条线形成了角，三点三线形成三角形，通过边、角的扩充又有了四边形，多边形，圆。

这些平面图形又是从哪些角度进行研究的呢？三角形研究的是边,角，三角形内部的高线，中线，角平分线，三角形之间的关系，那我们又如何研究四边形呢？

让我们一起开始本单元对平行四边形这个大家族的研究之旅吧！

问题1：在小学学段，我们对平行四边形及特殊四边形有了初步的认识，你还能把它们画出来吗？试一试，并说出它们是什么四边形.

问题2：分析前面画出的几种四边形，说出你对平行四边形、菱形、矩形和正方形的理解，并分别写出它们的定义.

问题3：四边形与平行四边形之间有什么关系，平行四边形与特殊平行四边形又有什么关系？将这几种四边形填入适当的位置，说出你的理解.

——再探平行四边形家族特征

通过活动一的学习，我们对平行四边形家族及各成员之间的关系我们有了进一步的认识，那每个成员又有哪些特点呢，让我们继续来探究吧！

活动物品：卡纸，铅笔、直尺、三角尺、剪刀、透明纸

问题1. 在卡纸上画出平行四边形及其对角线，通过测量、折叠、旋转或者裁剪等方式对其边、角和对角线进行研究，归纳一下平行四边形具有哪些特点.

问题2：类比对平行四边形的研究，对矩形、菱形和正方形进行探究，并归纳其边、角和对角线等具有哪些特点.

问题3：根据你的探究发现，将平行四边形家族成员所具有的特征填到对应的表格中.

——构建平行四边形的知识体系

通过本节课我们已经认识了平行四边形，请依据你对平行四边形的的认识，以平行四边形为主线并简单梳理知识体系.

                         平行四边形                    

【学习目标】

1.研读课本资源和文本，用自己的话说出平行四边形的性质定理和判定定理，并能进行图形、文字和符号语言的相互转化；

2.结合窗框制作过程，探究特殊平行四边形的性质与判定，归纳其与平行四边形性质与判定的区别与联系；

3.从边、角、对角线的角度，构建平行四边形到特殊平行四边形的演变关系图.，并能用数学语言进行推理论证。

【学习任务】探究（特殊）平行四边形的性质与判定方法

——探究平行四边形的性质

我们在小学时学过平行四边形，伸缩门、大桥护栏等都是我们生活中常见的一些平行四边形的实例：

问题1：观察上述实物图，结合小学所学画出平行四边形ABCD,用符号表示并写出其定义.

根据平行四边形的定义，平行四边形的两组对边分别平行.从边、角、对角线三方面分析，平行四边形还有什么性质？让我们一起来探究吧！

问题2：除了“两组对边分别平行”之外，它的边之间还有什么关系?通过度量说出它们之间的关系?并给出证明.

问题3：通过度量猜想它的角之间还有什么关系? 并给出证明.

问题4：在平行四边形ABCD中，连接AC,BD，并设它们相交于点O,OA与OC,OB与OD有什么关系？并给出证明.                                  

问题5：距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点与直线之间的距离。在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离.

（1）如图：a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A，B,C,D四点，四边形ABCD是什么四边形？由此我们得到AB与CD 有什么关系？请用文字语言描述你所得到的结论.

（2）如果线段AB，CD分别与直线a，b垂直，那么线段AB与CD有什么关系?两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离.两条平行线之间的距离和点与点之间的距离，点到直线的距离有何联系与区别？

【归纳生成】

从边、角、对角线三方面总结平行四边形的性质并用符号语言表示.

----探究平行四边形的判定

我们已经知道，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，也就是说满足两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形的对边相等，对角相等，对角线相互平分，那反过来，对边相等，对角相等，对角线相互平分的四边形是否可以作为平行四边形的判定方法呢？

结合你前面学习的命题及逆命题的理解完成下面表格:

问题1:我们知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以逆命题1是成立的，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形.判断逆命题2,3,4的真假，并自己画图证明.

问题2:通过证明逆命题1,2我们得到用两组对边分别平行、两组对边分别相等来判定平行四边形，如果只考虑一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢?请给出条件，并证明.

问题3:在四边形中，能否根据“一组对边相等，另一组对边平行”判定四边形是平行四边形呢？若能给出理由，若不能举出反例.

【归纳生成】

根据以上组合尝试从边、角、对角线三方面，总结平行四边形的5种判定方法，分别用文字语言及符号语言进行表示.

----探究特殊平行四边形的性质和判定

观察生活中窗框模型，我们不难发现四边形具有不稳定性，用四根木条组合成平行四边形教具，演示下图：

问题1：（1）当平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的特殊情况，这时的图形是什么图形？从上面的演示过程中可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形?

（2）矩形是一种特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形的所有性质之外，还具有哪些特殊的性质呢？尝试从边、角、对角线三个角度探究并证明.

问题2：当上述四根木条围成的平行四边形邻边相等时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形——菱形.

    菱形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形的所有性质之外，还具有哪些特殊的性质呢？尝试从边、角、对角线三个角度探究并证明.

问题3：演示上图，当菱形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的特殊情况，这时的图形是什么图形？从上面的演示过程可以发现，平行四边形具备什么条件时，就成了正方形?

（1）正方形又是特殊的菱形，它也具有菱形的所有性质，与菱形相比较，它还有哪些特殊性质呢？尝试探究.

（2）正方形还是特殊的矩形，它也具有矩形的所有性质，与矩形相比较，它还有哪些具有特殊性质呢？尝试探究.

【归纳生成】

把平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义和性质填入下表：

    我们通过平行四边形边、角、对角线的特殊化研究特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形的判定.

问题4：我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，木工师傅为了检验四边形窗框是否成矩形，又设计了以下两种方法：

方法（1）用角尺量门的任意三个角, 看它们是不是直角，你认为这种方法对吗？请说明理由.

方法（2）量一量这个四边形的两组对边和两条对角线长度，如果两组对边和对角线分别相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？请证明你的结论.

问题5：我们已经知道有一组邻边相等的平行四边形是菱形，木工师傅为了做菱形窗框，有以下两种方法：

方法（1）木工师傅在做菱形窗格时，有时是保证四条边框一样长，你知道其中的原理吗？尝试证明.

方法（2）木工师傅在做菱形窗格时，有时用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，转动木条，这个四边形是平行四边形吗？为什么？它什么时候变成菱形？

【归纳生成】

.四边形添加什么条件可以成为矩形，可以成为菱形？平行四边形添加什么条件可以成为矩形、菱形？

平行四边形

——

【学习目标】

1.从不同的角度梳理平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系，总结研究四边形的一般路径；

2.通过剪切、拼接，将三角形转化为平行四边形探究三角形中位线定理，总结中位线定理的应用价值；

3.探究平面图形中的周长、面积及动点问题，总结平行四边形的性质及判定方法应用的规律.

【学习任务】用（特殊）平行四边形的性质与判定解决实际问题

----构建特殊平行四边形与平行四边形的关系

正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，因此正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质.

问题1：正方形可以从平行四边形、矩形、菱形分别添加条件得到，添加哪些条件呢？完成下列框图：

①从边和角的角度.

②从对角线的角度

----三角形与四边形问题

  前面我们研究平行四边形时，常常利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，相反，我们也可以借助平行四边形研究三角形的有关问题，解决下列问题.

问题1：矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,在Rt△ABC中，线段BO是Rt△ABC的什么线？线段BO与线段AC有什么数量关系？请说明理由.并用文字语言和符号语言表示.

问题2：（1）任意画一个三角形，连接其任意两边的中点.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.一个三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线一样吗？

（2）如图D、E分别是AB、AC的中点，DE与BC的长度，∠ADE与∠B的度数有怎样的数量关系？DE与BC有怎样的位置与数量关系?通过度量猜想并证明你所得到的结论.并用文字语言和符号语言表示.

【思考】如图，D、E、F都是△ABC三边的中点，回答以下问题.

（1）△DEF的周长与△ABC的周长有什么关系？

（2）图中有几个全等三角形,请写出来.

（3）连接AD与EF相交于点O，那么AD与EF有什么关系？

问题3：顺次连结平行四边形、矩形、菱形、正方形四边中点所得的四边形分别是什么四边形？

（4个中点）（作图分析）

【归纳生成】

1.已知：如图， DE是ΔABC的中位线，求证：DE//BC，DE=BC

2. 中点四边形的形状与原四边形的边、角、对角线哪个元素有关系？请你详细叙述它们之间的关系.

----构建平行四边形模型解决实际问题

如图，是某城市街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？请说明理由.

【学习评测】

1.（老汉分田）   如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：AE=CF．

（2）若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明理由？

2.（动点问题）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动（移动一周）．

（1）写出点B的坐标；

（2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标；

（3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，直接写出点P的坐标．

平行四边形

 【学习目标】                             

1.结合学习资源，以平行四边形的性质和判定为核心,用自己的话说出平行四边形与特殊平行四边形间的关联；

2.综合运用（特殊）平行四边形的性质和判定，解决几何图形中的边角问题，总结性质与判定在边角问题中的应用价值；

3.对平行四边形的性质及判定进行二次过关，梳理研究几何图形的基本思路，总结突破综合问题的一般思路.

【学习任务】用（特殊）平行四边形的性质与判定解决综合问题

【单元重构】

  从平行四边形的边、角、对角线、对称性以及与特殊四边形的关系等方面层层深入，再次阅读《平行四边形》的课本内容及相关资源，梳理本单元的核心知识和它们逻辑体系，重构思维导图，

【单元拓展】（特殊）平行四边形与动点问题（选做题，二选一即可）

1. 如图，以△ABC三边为边，分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADEF是菱形？当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADEF是矩形？当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADEF是正方形？

2.如图，在矩形ABCD中，点M是边AB的中点，点P是边BC上的动点，PE⊥MC,PF⊥MB,垂足分别为E,F.

（1）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？证明你的结论.

（2）如果四边形PEMF为矩形，那么当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？请证明你的猜想.

【单元过关】

—— 平行四边形的性质、判定

1、已知ABCD,若AB=15㎝, BC=10cm

则AD=_    __㎝.周长= _    ___ cm.

2、已知ABCD, ∠A=50度, 

   则∠C=_    __度. ∠B=__   __度.  

3、ABCD的对角线AC、BD长度之和为20cm,若△OAD的周长为17cm，则AD=_   ___cm 

4、在四边形ABCD中,若分别给出六个条件:①AB∥CD  ②AD=BC  ③OA=OC   ④AD∥ BC   ⑤AB=CD   ⑥OB=OD. 现在,以其中的两个为一组,能直接确定四边形ABCD为平行四边形的条件是 _________ (只填序号)

——平行四边形的性质、判定的应用

5. 已知：ABCD中，直线MN//AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。  

求证：PM=QN。

6.如图，在   ABCD中，E、F、G、H 分别是各边上的点，且AE=CF，BG=DH。

求证：EF与GH互相平分。