人教版数学选择性必修二第五章测试

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人教版数学选择性必修二第五章测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知函数f(x)的导函数＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是（    ）A． B．C． D．2．若在是增函数，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．3．若，，，求的最小值为（    ）A． B． C． D．4．已知，且，则曲线在点处的切线方程为（    ）A． B． C． D．5．已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．6．设，，，…，，，则（    ）A． B． C． D． 二、多选题7．已知函数，则（    ）A．有一个极值点B．没有零点C．直线是曲线的切线D．曲线关于直线对称8．对于函数，下列说法错误的是（    ）A．在上单调递减，在上单调递增B．在上单调递减，在上单调递增C．在上单调递减，在上单调递增D．在上单调递减，在上单调递增 三、填空题9．已知函数,求________________10．已知为非零实数，直线与曲线相切，则_________.11．函数有两个零点，且极大值小于，则实数的取值范围是________.12．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的范围是___________. 四、解答题13．已知函数.（1）若在点处的切线斜率为2，求在上的最大值；（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围.14．已知函数在点处的切线方程为.(1)求实数a，b的值；(2)求的单调区间和极值.15．已知函数，（1）求函数在上的最值；（2）设在区间上单调递增，求实数的取值范围．16．设函数，其中．(1)若，求的单调区间；(2)若，（ⅰ）证明：恰有一个极值点；（ⅱ）设为的极值点，若为的零点，且，证明：．
参考答案：1．D【分析】根据图象由导函数的正负决定原函数的增减可得答案.【详解】当x<0时，由导函数＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x>0时，由导函数＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增，只有D项符合题意.故选：D.2．B【分析】由题得在恒成立，即在恒成立，即得解.【详解】对求导得，因为若在是增函数，所以在恒成立，即在恒成立，所以.故选：B【点睛】本题主要考查导数的单调性问题和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．C【分析】根据的几何意义构造函数，再转化为点到直线的距离问题即可.【详解】问题可以转化为：是函数图象上的点，是函数上的点，.当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值.，舍去负值，又，所以到直线的距离即为的最小值.，.故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解的几何意义.4．B【分析】由导数的几何意义，代入可得切线的斜率，求得,由直线的点斜式方程可得切线的方程．【详解】解：的导数为,可得在点处的切线的斜率为，且,所以曲线在点处的切线方程为，即．故选：B．5．D【分析】根据原函数单调性与导函数符号之间的关系，分类讨论，结合一元二次不等式的解法运算求解.【详解】由的图像可得：x00 对于可得：当时，则，∴，解得；当时，则，故，不合题意，舍去；当时，则，∴，解得；当时，则，故，不合题意，舍去；当时，则，∴，解得；综上所述：不等式的解集为.故选：D.6．C【解析】利用导数的运算法则，求得函数导数运算的周期性，即可利用周期性求得结果.【详解】，，，，因此，故故选：C.【点睛】本题考查导数的运算，属基础题.7．AD【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，即可判断A、B，再设切点为，利用导数的几何意义退出矛盾即可判断C，最后根据即可判断D.【详解】解：因为，由，解得，即函数的定义域为，所以，令，解得，故当时，，在时，，故函数在上单调递增，上单调递减，所以在处取得极大值，故A正确；又，，即在中存在一个零点，故B错误，令切点为，则，即，解得或（舍去），此时，故不是曲线的切线，即C错误；函数，所以函数的图象关于对称，故D正确；故选：AD．8．BC【分析】利用导数求函数的单调区间.【详解】，且，得，当时，，所以函数的单调递减区间是和，当时，，函数的单调递增区间是.故选：BC9．【分析】因为,令,,即可求得.【详解】 令 故答案为: .【点睛】求复合函数的导数时,首先要分清函数的复合的结构形式,然后按照由外向内的顺序逐步求导后可得结果.10．e【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线方程，与已知切线方程比较可得答案.【详解】设切点坐标为，对函数求导得，所以切线方程为，所以，可得，.故答案为：.11．【分析】求导后，分别在和的情况下讨论的单调性，从而确定极大值为，根据函数有两个零点和已知可确定，由此可得的范围，结合零点存在定理可说明此时有两个零点，由此可得结论.【详解】由题意知：定义域为，；当时，恒成立，即在上单调递增，则至多有一个零点，不合题意；当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，解得：；若有两个零点，则需，解得：，；此时，，又，，在和存在两个零点，满足题意；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.12．【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，根据函数的单调性即可求解.【详解】，都有成立，，令，则，，则在上单调递增，不等式，则，即，.故答案为：.【点睛】本题考查了构造函数判断函数的单调性，考查了基本知识的掌握情况，属于中档题.13．（1）；（2）.【解析】（1）根据导数的几何意义，求出参数m的值，进而求出函数的单调区间，求出最大值.（2）把方程根的问题转化为图形交点问题，通过数形结合的办法求出参数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，，所以，所以，所以，，所以在上单调递增.又，所以，所以在上单调递增.所以.（2）由可得.设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有极大值，且，当时，，所以其图象如图所示.要使得有两个零点，即与的图象有两个不同的交点，需.所以的取值范围是.【点睛】方法点睛：零点问题转化为交点问题，使用数形结合的方法能够形象直观的表达出参数取值范围.14．(1),(2)函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值. 【分析】（1）得函数的导数根据题意得到，即可求得a，b的值；（2）由（1）知，结合导数的符号，以及极值的概念与计算，即可求解；（1）由题意，函数的定义域为，且，所以.（2）由（1）得，，令，即，解得；令，即，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值，综上可得，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.15．（1），；（2）．【分析】（1）求导由，得到在上单调递增求解.（2）根据在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立求解.【详解】（1），， 所以在上单调递增，所以，；（2），，因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，，由（1）知递增，所以当时，，所以在区间上单调递增，所以所以．【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．(1)增区间为，无减区间;(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导，根据单调性与导数的关系求解即可；（2）（ⅰ）由题知，进而构造函数，研究函数单调性，结合零点存在性定理可得存在唯一，使得，进而得函数的单调性即可证明；（ⅱ）结合题意得，再根据得，再取对数后放缩即可得.【详解】（1）解：当时，，定义域为，所以，在恒成立，所以，在上单调递增.所以，函数的增区间为，无减区间.（2）解：（ⅰ）证明：,定义域为所以，，令，因为，所以在恒成立，所以，在上单调递减，因为，，，，所以，存在唯一，使得， 即，所以，当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减，所以，函数在处取得极大值，为的极大值点，无极小值点.所以，恰有一个极值点.（ii）因为为的极值点，若为的零点，且，所以，且，即且，，所以，且，所以令，则在时恒成立，所以为增函数，，即，因为，，所以，，所以，所以，即，所以.【点睛】本题第二问解题的关键在于根据不等式对进行放缩得，进而证明结论.