高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算当堂检测题

6.2.2  向量的减法运算

例3  如图62-12（1），已知向量，，，，求作向量，.

例4  如图6.2-13，在中，，，你能用，表示向量，吗？

练习

1. 如图，在各小题中，已知，分别求作．

2. 填空：

____；____；____；____；____．

3. 作图验证：．

变式练习题

4. 如图，已知向量，不共线，求作向量．

5. 如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．

6. 如图，在▱ABCD中，若，

（1）当满足什么条件时， ?

（2）当满足什么条件时，?

7. 证明：当向量不共线时，.

6.2.2  向量的减法运算

例3  如图62-12（1），已知向量，，，，求作向量，.

作法：如图6.2-12（2），在平面内任取一点O，作，，，.则

，

.

例4  如图6.2-13，在中，，，你能用，表示向量，吗？

解：由向量加法平行四边形法则，我们知道

.

同样，由向量的减法，知

.

练习

1. 如图，在各小题中，已知，分别求作．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量.

【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，

如图，，

 (1)                                  (2)

(3)                                                    (4)

【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题.

2. 填空：

____；____；____；____；____．

【答案】    ①.     ②.     ③.     ④.     ⑤.

【解析】

【分析】

利用向量减法的三角形法则，进行向量的减法运算.

【详解】因为向量的起点相同，可直接进行向量的相减运算，

所以；；；；．

故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)

【点睛】本题考查向量减法的运算，求解时注意向量用两个大写字母表示，可直接进行代数的运算，而无需再画图形.

3. 作图验证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量.

【详解】当中至少有一个为时，显然成立（图略）；

当不共线时，作图如图（1），显然；

当共线时，同理可作图如图（2）所示．

【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题.

变式练习题

4. 如图，已知向量，不共线，求作向量．

【答案】作图见解析，

【解析】

【分析】利用向量的加法法则求解.

【详解】如图，

在平面内任取一点O，作，．

因为，即，

所以．

5. 如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解.

【详解】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，

所以．

因为，

，

所以，

即．

6. 如图，在▱ABCD中，若，

（1）当满足什么条件时， ?

（2）当满足什么条件时，?

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，得到▱ABCD为菱形求解；

（2）由，得到▱ABCD为矩形求解.

【小问1详解】

解：如图：，

当时，▱ABCD为菱形，对角线相互垂直，

所以，即；

【小问2详解】

当时，▱ABCD为矩形，对角线长度相等，

所以，即.

7. 证明：当向量不共线时，.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据向量不共线，在OAB中，利用三角形的边的关系证明.

【详解】证明：因为向量不共线，如图，在OAB中，

由三角形两边之和大于第三边得：，

由三角形两边之差小于第三边得：，

所以.