高中数学6.2 平面向量的运算课后作业题

6.2.3  向量的数乘运算

例5  计算：

（1）；               

（2）；

（3）．

解：（1）原式；

（2）原式；

（3）原式

．

例6  如图6.2-15，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和．

解：在中，

，

．

由平行四边形的两条对角线互相平分，得

，

，

，

．

练习

1. 任画一向量，分别求作向量，．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

先画出，依次画出，即可.

【详解】如图．

【点睛】本题考查了向量的画法，考查了相反向量的概念，属于基础题.

2. 点C在线段上，且，则___，___．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，分析即可得解.

【详解】由点C在线段上，且，可画出图形，

设，则，

∴，

∴和同向，且，

∴和反向，且.

【点睛】本题考查向量的意义，属于基础题.

3. 把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】

【分析】

根据向量的数乘运算计算即可.

【详解】（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

【点睛】本题考查平面向量数乘的运算法则，属于基础题.

例7  如图6.2-16，已知任意两个非零向量，，试作，，.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．

分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即是否存在，使成立．

解：分别作向量，，，过点A，C作直线（图6.2-17）.观察发现，不论向量，怎样变化，点B始终直线上，猜想A，B，C三点共线．

事实上，因为，

，

所以．

因此，A，B，C三点共线．

例8  已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值．

解：由，不共线，易知向量非零向量．由向量，共线，可知存在实数，使得，

即．

由，不共线，必有.否则，不妨设，则．由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾．

由，解得．

因此，当向量，共线时，．

练习

4. 判断下列各小题中的向量与是否共线：

（1），；

（2），．

【答案】（1）与共线；（2）与共线．

【解析】

【分析】

根据向量共线定理进行分析计算即可.

【详解】（1），所以与共线；

（2），所以与共线．

【点睛】本题考查向量共线的问题，熟练掌握向量共线定理是解题的关键，属于基础题.

5. 化简：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

根据向量的数乘运算和加减法运算法则进行计算即可.

【详解】（1）原式；

（2）原式；

（3）原式．

【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.

6. 已知是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，求实数的值．

【答案】

【解析】

【分析】

根据平面向量的共线的充要条件列出等式计算即可.

【详解】由已知，∵与是共线向量，∴存在，使，即，∴，∴∴的值为．

【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于常考题.

变式练习题

7. 已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.

【答案】＝－8＋9－3.

【解析】

【分析】根据向量的数乘运算，移项，直接解出即可.

【详解】因为3(2－＋)＋＝2(－＋3)，所以6－3＋3＋＝－2＋6，

即＝－8＋9－3.

8. 如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M、N、D三点共线．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】由题意画出图象，利用向量的加法和条件表示出，利用向量共线的充要条件，即可证明M、N、D三点共线．

【详解】由题意画出图象：

因为BMAB，点N在BC上且BNBC，

所以，

，

因为，，

所以，

则，所以M、N、D三点共线．

【点睛】本题考查向量在几何中的应用，向量的加法法则，以及利用向量共线的充要条件证明三点共线，属于中档题.

9. 已知， 是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值．

【答案】.

【解析】

【分析】由向量－，－共线得存在实数λ，使得－＝λ，整理，由， 不共线可得， 的系数都为零，列方程组求解即可.

【详解】解　由，不共线，知向量－为非零向量．由向量－， －共线，可知存在实数λ，使得－＝λ，即＝.

由， 不共线，必有＋＝＋1＝0.

否则，不妨设＋≠0，则＝，得，共线，与已知矛盾．

由，解得＝.

因此，当向量－， －共线时，＝.

10. 设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．

【答案】k＝±4.

【解析】

【分析】由题意与共线，结合向量共线定理即可求得答案.

【详解】由不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，即.

因为不共线，所以.

11. 已知向量，.求证：与是共线向量．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】由平面向量共线定理即可证明问题.

【详解】由题意，，，则，由向量共线定理知与是共线向量．