初中数学第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形课后作业题

13.3.2　等边三角形

知能演练提升

一、能力提升

1.关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系,下列说法不正确的是(　　)

A.等腰三角形包括等边三角形

B.等边三角形包括等腰三角形

C.等边三角形是等腰三角形的特殊情况

D.等边三角形每边上的高,中线与此边对角平分线都能实现“三线合一”

2.若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC的形状为(　　)

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.不等边三角形 D.无法确定

3.在△ABC中,如果只给出条件∠A=60°,那么还不能判定△ABC是等边三角形,给出下面四种说法:

①如果再加上条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;

②如果再加上条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;

③如果再加上条件“D是BC的中点,且AD⊥BC”,那么△ABC是等边三角形;

④如果再加上条件“AB,AC边上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.

其中正确的说法有　　　　　　　　.(把你认为正确的序号全部填上) 

4.如图,∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上的点,PM⊥OB于点M,PN∥OB交OA于点N.若PM=1,则PN的长是　　　　　. 

5.如图,△ABC是等边三角形,点E是AC上一点,∠1=∠2,BE=CD.请判断△ADE的形状,并说明理由.

6.如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使CE=CD.

求证:BD=DE.

7.如图,D是等边三角形ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边三角形EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.

8.如图,已知△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角形,且BE=AD,△CDE是等边三角形.求证:△ABC是等边三角形.

9.如图,D,E分别是等边三角形ABC两边BC,AC上的点,且AE=CD,连接BE,AD且交于点P.过点B作BQ⊥AD于点Q.证明:BP=2PQ.

二、创新应用

★10.如图,D是等边三角形ABC内一点,且DB=DA,PB=AB,∠DBP=∠DBC,求∠P的度数.

知能演练·提升

一、能力提升

1.B

2.B　由a2+b2+c2=ab+ac+bc,可以得出2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,故有(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0成立,因此可得a=b=c.由等边三角形的定义可知△ABC一定是等边三角形.

3.①②③④

4.2　因为PN∥OB交OA于点N,所以∠ANP=30°.如图,作PC⊥OA于点C.在Rt△CNP中,PN=2PC.由角平分线的性质,得PC=PM=1,所以PN=2PC=2.

5.解 △ADE是等边三角形.理由如下:

∵△ABC为等边三角形,

∴AB=AC,∠BAC=60°.

在△ABE和△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(SAS).

∴AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°.

∴△ADE是等边三角形.

6.证明 ∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=60°.

∵D为AC的中点,

∴BD平分∠ABC,

∴∠DBC=30°.

∵CE=CD,

∴∠E=∠CDE

=∠ACB=30°.

∴∠DBC=∠E,

∴BD=DE.

7.解 △BDC≌△AEC.

理由如下:∵△ABC,△EDC均为等边三角形,

∴BC=AC,DC=EC,∠BCA=∠ECD=60°,

∴∠BCD=∠ACE.

在△BDC和△AEC中,

∴△BDC≌△AEC(SAS).

8.证明 ∵△CDE是等边三角形,

∴EC=CD,∠ECD=60°.

∵BE,AD都是斜边,

∴∠BCE=∠ACD=90°.

在Rt△BCE和Rt△ACD中,

∵EC=DC,BE=AD,

∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL),∴BC=AC.

∵∠ECD+∠ACE=90°,∠ACB+∠ACE=90°,

∴∠ACB=∠ECD=60°.

∴△ABC是等边三角形.

9.证明 ∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC,

∠BAC=∠C=60°.

在△ABE和△CAD中,

∴△ABE≌△CAD,

∴∠ABE=∠CAD.

又∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°,

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=60°.

又BQ⊥AD,

∴在Rt△BPQ中,∠QBP=30°,∴BP=2PQ.

二、创新应用

10.分析 连接CD,分别证明△BCD≌△BPD,△BCD≌△ACD.

解 如图,连接CD.在△BCD和△BPD中,

∴△BCD≌△BPD,

∴∠BCD=∠P.

在△BCD和△ACD中,

∴△BCD≌△ACD.

∴∠BCD=∠ACD.

∴∠P=∠BCD=∠ACB=×60°=30°.