2023届高考数学二轮复习特色练(一)热点情境题作业含答案

情境创新特色练

特色练(一)　热点情境题

情境1　紧跟社会热点　

1.在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上,五星红旗冉冉升起,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为9 m(如图所示),则旗杆的高度为(　B　)

A.9 m B.27 m C.9m D.9 m

解析:依题意可知∠AEC=45°,∠CAE=180°-60°-15°=105°,

所以∠ACE=180°-45°-105°=30°,

由正弦定理可知=,

所以AC=×sin∠AEC=18 m,

所以在Rt△ABC中,BC=AC·sin∠CAB=18×=27 m.故选B.

2.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会,北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)的国家.根据规划,国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD(如图),且两切线斜率之积等于-,则椭圆的离心率为(　B　)

A.  B. C. D.

解析:若内层椭圆方程为+=1(a>b>0),由离心率相同,可设外层椭圆方程为+=1(m>1),所以A(-ma,0),B(0,mb),设切线AC:y=k1(x+ma),切线BD:y=k2x+mb,所以整理得(a2+b2)x2+2ma3x+m2a4-a2b2=0,

由Δ=0知-4(a2+b2)(m2a4-a2b2)=0,

整理得=·,

同理,可得=·(m2-1),

所以(k1k2)2==(-)2,即=,故e===.故选B.

3.北京时间2022年6月5日10时44分,搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射,约577秒后,神舟十四号载人飞船与火箭成功分离,进入预定轨道,飞行乘组状态良好,发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中,火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下,火箭在发动机工作期间获得速度增量v(单位:km/s)可以用齐奥尔科夫斯基公式v=ωln(1+)来表示,其中,ω(单位:km/s)表示它的发动机的喷射速度,m(单位:t)表示它装载的燃料质量,M(单位:t)表示它自身(除燃料外)的质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5 km/s,要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度(7.9 km/s),则火箭的燃料质量m与火箭自身质量M的比值约为(　C　)

A.e1.58   B.e0.58  C.e1.58-1   D.e0.58-1

解析:由题意得,5ln(1+)=7.9,则=-1=e1.58-1.故选C.

4.全民拒酒驾,平安你我他.在我国,认定酒后驾车标准的起点是驾驶人每100 mL血液中的酒精含量不得超过20 mg.一名驾驶员喝酒后,血液中酒精含量迅速上升到6.4 mg/mL,假定在停止喝酒后血液中的酒精含量以每小时50%的速度下降,为了保证交通安全,该驾驶员喝酒后至少过　　　　个小时才可驾车. 

解析:设该驾驶员喝酒后至少过x个小时才可驾车,由题意得6.4×

(1-)x≤,

所以()x≤=()5,则x≥5,所以该驾驶员喝酒后至少过5个小时才可驾车.

答案:5

5.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技术要求,某同学学习利用剪辑软件将已拍摄的素材进行制作,每次制作分三个环节来进行,其中每个环节制作合格的概率分别为,,,只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作,该小视频视为合格作品.该同学进行3次制作,恰有一次合格作品的概率为　　　　.(用数字作答) 

解析:记该同学制作一次成功为事件A,则P(A)=××=,则制作3次,恰有一次成功的概率为P=P(A)(1-P(A))2=××(1-)2=.

答案:

情境2　关注经济发展　

1.地摊经济既体现了一座城市烟火气,也是城市综合治理能力与治理水平的一个刻度与窗口.如图1、图2分别表示某市各区的地摊的摊位数和食品摊位比例,现用分层随机抽样的方法抽取5%的摊位进行调查,则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为(　A　)

A.210,24 B.420,24 C.210,48 D.420,48

解析:抽取的样本容量为(1 400+1 000+1 000+800)×5%=210,A区被抽取的食品摊位数为1 000×5%×48%=24.故选A.

2.随着我国经济持续高速的发展,科学技术也得到了长足的发展,在国内出现了一批具有国际影响的科技企业.为了解我国科技企业的发展现状,某调查机构对一些科技企业进行调查,得到科技企业从业人员的年龄构成情况和“90后”从业者的岗位分布情况的饼图:

则下列结论不正确的是(　D　)

A.在被调查的科技企业从业者中,“90后”占总人数的比例超过50%

B.在被调查的科技企业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%

C.在被调查的科技企业中,“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多

D.在被调查的科技企业中从事技术岗位的人中,“90后”比“80

后”多

解析:对于A,由图易知“90后”占总人数的比例为55%,超过50%,故A正确;

对于B,设被调查的科技企业中,从业人员为a人,则“90后”从事技术、设计的人数为a×55%×(13%+37%)=0.275a,占比为27.5%,超过25%,故B正确;

对于C,“90后”从事市场岗位的人数为0.14a×55%=0.077a,而“80前”从业者总数为0.05a<0.077a,所以C正确;

对于D,“90后”从事技术岗位的比例为37%,而“80后”从事这一岗位的比例在图中没有明确说明,无法判断二者间的大小关系,故D错误.故选D.

3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点,某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品,2022年前三个季度,该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番,其前三季度的收入情况如图所示,则(　B　)

A.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍

B.该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的

C.该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的

D.该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和

解析:对于选项A,因为该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番,所以第三季度的总收入是第一季度的2×2=4(倍),故A

错误;

对于选项B,设第一季度的总收入为a,则第二季度、第三季度的总收入分别为2a,4a,第二季度的化妆品收入为2a×20%=0.4a,第三季度的化妆品收入为4a×30%=1.2a,所以第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的=,故B正确;

对于选项C,第一季度的化妆品收入为a×10%=0.1a,所以第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的=,故C错误;

对于选项D,第一、二季度的服装收入之和为a+2a-0.1a-0.4a=2.5a,第三季度的服装收入为4a-1.2a=2.8a,2.5a<2.8a,故D错误.故选B.

4.基础建设对社会经济效益产生巨大的作用,某市投入a亿元进行基础建设,t年后产生f(t)=aeλt亿元社会经济效益.若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍,且再过n年,该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍,则n=(　B　)

A.4 B.8 C.12 D.16

解析:由条件得ae4λ=2a,所以λ=,即f(t)=a.设投资t′年后,产生的社会经济效益是投资额的8倍,则有a=8a,解得t′=12.所以再过12-4=8年,该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍.故选B.

5.随着经济发展,某市居住环境进一步改善,市民休闲活动的公园越来越多,其中,最新打造的公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园.某个节假日,甲、乙、丙、丁四组家庭到公园游玩,通过访问和意向筛查,最后将这四组家庭的意向汇总如表:

若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项,且每个公园至多有两组家庭选择,则甲、乙两组家庭选择同一个公园游玩的概率为　　　　.

解析:①选儿童公园和湖连潮头中央公园时,有以下情况:甲丙、乙丁;乙丙、甲丁;

②选儿童公园和下沙公园时,有以下情况:甲乙、丙丁;甲丙、乙丁;

③选湖连潮头中央公园和下沙公园时,有以下情况:甲乙、丙丁;甲丁、乙丙;

④选3个公园时,有以下几种情况:甲乙、丁、丙;甲丙、乙、丁;甲丙、丁、乙;乙丙、甲、丁;丙、甲乙、丁;乙、甲丁、丙;丙、甲丁、乙;甲、乙丁、丙;甲、丁、乙丙;丙、甲、乙丁;甲、乙、丙丁;乙、甲、丙丁,

共有18种选择,其中甲、乙两组家庭选择同一个公园游玩有4种选择,则甲、乙两组家庭选择同一个公园游玩的概率为=.

答案:

6.为积极响应“地摊经济”的号召,某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A,B两种小商品,当投资额为x(x≥0)千元时,在销售A,B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元,其中f(x)=x,g(x)=

5ln(x+1),如果该个体户准备投入5千元销售A,B两种小商品,为使总收益最大,则A商品需投　　　　千元.

解析:设投入销售B商品的资金为x千元(0≤x≤5),则投入销售A商品的资金为(5-x)千元,所获得的收益为S(x)千元,则S(x)=(5-x)+

5ln(x+1)=5ln(x+1)-x+5(0≤x≤5),

可得S′(x)=-1=,当0≤x<4时,可得S′(x)>0,函数S(x)单调递增;

当4<x≤5时,可得S′(x)<0,函数S(x)单调递减,

所以当x=4时,函数S(x)取得最大值,最大值为S(4)=5ln 5+1,

所以当投入销售B商品的资金为4千元,投入销售A商品的资金为

1千元时,总收益最大.

答案:1

情境3　聚焦科技前沿　

1.我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的超导量子计算原型机“祖冲之号”,操控的超导量子比特达到62个.已知1个超导量子比特共有“|0>,|1>”2种叠加态,2个超导量子比特共有“|00>,|01>,|10>,|11>”4种叠加态,3个超导量子比特共有“|000>,|001>,|010>,|011>,|100>,|101>,|110>,|111>”8种叠加态,…,只要增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有N种叠加态,则N是一个　　位的数(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　B　) 

A.18 B.19 C.62 D.63

解析:根据题意,设n个超导量子比特共有2n种叠加态,所以62个超导量子比特共有N=262种叠加态.两边取以10为底的对数得lg N=lg 262=

62lg 2≈62×0.301 0=18.662,所以N=1018.662=100.662×1018,由于100<

100.662<101,故N是一个19位的数.故选B.

2.近几年,我国在电动汽车领域有了长足的发展,电动汽车的核心技术是动力总成,而动力总成的核心技术是电机和控制器,我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划用196万元引进一条永磁电机生产线,第一年需要安装、人工等费用24万元,从第二年起,包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元,该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为(　A　)

A.204万元 B.220万元

C.304万元 D.320万元

解析:设引进设备n年后总盈利为f(n)万元,设除去设备引进费用,第n年的成本为an万元,则由题意知{an}为等差数列,前n年成本之和为[24n+×8]万元,故f(n)=100n-[24n+4n(n-1)+196]=-4n2+80n-

196=-4(n-10)2+204,n∈N*,所以当n=10时,f(n)max=204,即总盈利的最大值为204万元.故选A.

3.中国科学技术大学成功构建了76光子的量子计算原型机“九章”,求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒,而目前世界最快的超级计算机要用6亿年,这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”,通俗地可以理解为量子版本的高尔顿钉板,但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球,白球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子.如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球,则其落在第③个格子的概率为(　C　)

A. B. C. D.

解析:小球从起点到第③个格子一共跳了7次,其中要向左边跳动5次,向右边跳动2次,而向左或向右的概率均为,所以所求的概率为P=

×()2×()5= .故选C.

4.“天问一号”推开了我国行星探测的大门,通过一次发射,将实现火星环绕、着陆、巡视,是世界首创,也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日,天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时,天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动,同时将近火点高度调整至约265 km.若此时远火点距离约为11 945 km,火星半径约为3 395 km,则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为(　A　)

A.0.61 B.0.67 C.0.71 D.0.77

解析:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),

由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c,最大值为a+c,

根据题意可得近火点满足a-c=3 395+265=3 660,a+c=3 395+11 945=

15 340,

解得a=9 500,c=5 840,所以椭圆的离心率为e==≈0.61.故

选A.

5.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音(如图).已知噪音的声波曲线y=Asin(ωx+)(其中A>0,ω>0,0≤<2π)的振幅为1,周期为2π,初相为,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为(　D　)

A.y=sin x B.y=cos x

C.y=-sin x D.y=-cos x

解析:已知噪音的声波曲线y=Asin(ωx+)(其中A>0,ω>0,0≤<

2π)的振幅为1,周期为2π,初相为,可得ω===1,所以噪音的声波曲线为y=sin(x+)=cos x,所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为y=-cos x.故选D.

6.(多选题)20世纪50年代,人们发现利用静态超高压和高温技术,通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石,人工合成金刚石的典型晶态为立方体(六面体)、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态. 立方八面体(如图所示)有24条棱、12个顶点,14个面(6个正方形、8个正三角形),它是将正方体“切”去8个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为1,则(　ACD　)

A.它的所有顶点均在同一个球面上,且该球的直径为2

B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直

C.它的体积为

D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等

解析:如图所示,由题意可知,立方八面体的顶点为正方体

ABCDA1B1C1D1各棱的中点,故立方八面体的棱为正方体ABCDA1B1C1D1相邻两条棱的中点的连线,

故正方体的棱长为=,

由对称性可知,立方八面体的外接球球心为正方体ABCDA1B1C1D1的

中心,

外接球的直径为正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线长2,该球的半径为1,A选项正确;

设MN,PQ为立方八面体的两条不共面的棱,如图所示,则MN∥B1D1,

在正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1∥DD1且BB1=DD1,则四边形BB1D1D为平行四边形,

所以BD∥B1D1,所以MN∥BD,由于PQ∥BC1,

且△BC1D为等边三角形,则∠C1BD=60°,所以MN与PQ所成的角为60°,B选项错误;

立方八面体的体积为V=()3-8×××()3=,C选项正确;

设正方体ABCDA1B1C1D1底面的中心为点O,连接OC交立方八面体的棱PF于点E,

连接EQ,则E为PF的中点,且△PFQ为等边三角形,所以EQ⊥PF,

因为CD=BC,O为BD的中点,所以OC⊥BD,因为P,F分别为BC,CD的中点,则PF∥BD,所以OC⊥PF,所以∠OEQ为立方八面体的底面与由平面PFQ所成二面角的平面角,

因为立方八面体的棱长为1,所以OE=EC=,CQ=CC1=,EQ=

PQsin 60°=,

因为CC1⊥平面ABCD,CE⊂平面ABCD,所以CC1⊥CE,在Rt△CEQ中,

cos∠CEQ==,

所以cos∠OEQ=cos(180°-∠CEQ)=-cos∠CEQ=-,

同理可知,立方八面体的相邻两个面所成二面角的余弦值为-,D选项正确.故选ACD.

情境4　结合生产实践　

1.某制药公司生产某种胶囊,其中胶囊中间部分为圆柱,且圆柱高为l,左、右两端均为半球形,其半径为r,若其表面积为S,则胶囊的体积V取最大值时,r=(　A　)

A.  B.  C.   D.

解析:依题意,4πr2+2πrl=S⇒l=,故V(r)=πr3+πr2l=-πr3,

V′(r)=-2πr2,当r=时,V′(r)=0,V取最大值.故选A.

2.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成,其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布),中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层),外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层). 国家质量监督检验标准中,医用口罩的过滤率是重要指标,根据长期生产经验,某企业在生产线状态正常的情况下生产的医用口罩的过滤率X～N(0.937 2,0.013 92). 若生产状态正常,有如下命题:

甲:P(X≤0.9)<0.5;

乙:X的取值在(0.93,0.943 9)内的概率与在(0.937 2,0.951 1)内的概率相等;

丙:P(X<0.9)=P(X>0.974 4);

丁:记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ+2σ的数量,则P(ξ≥1)>0.6.

(参考数据:若X～N(μ,σ2)(σ>0),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈

0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+

3σ)≈0.997 3,0.9850≈0.364)

其中假命题是(　B　)

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

解析:由X～N(0.937 2,0.013 92)知,μ=0.937 2,σ=0.013 9.

对于甲,由正态分布曲线可得P(X≤0.9)<P(X<0.937 2)=0.5,故甲为真命题;

对于乙,0.943 9-0.93=0.013 9,0.951 1-0.937 2=0.013 9,两个区间长度均为1个σ,但μ>0.93,由正态分布性质知,落在(0.93,0.943 9)内的概率大于落在(0.937 2,0.951 1)内的概率,故乙是假命题;

对于丙,由=0.937 2知,丙是真命题;

对于丁,1只口罩的的过滤率大于μ+2σ的概率为p≈=

0.022 75,ξ～B(50,p),所以P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)50>1-

(1-0.02)50,

1-(1-0.02)50=1-0.9850≈1-0.364=0.636>0.6,故丁是真命题. 故选B.

3.近些年,我国在治理生态环境方面推出了很多政策.某重工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染,因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置,废水每通过一次该装置,可回收20%的该重金属.若当废水中该重金属含量低于最原始的4%时,至少需要经过该装置的次数为(参考数据:lg 2≈0.301)(　D　)

A.12 B.13 C.14 D.15

解析:设废水中最原始的该重金属含量为a,则经过x次该装置过滤后,该重金属含量为a×(1-20%)x=a·()x,由题意知a×<0.04a,所以<0.04,

两边取对数,得x>=≈14.4,所以x可取的最小整数为15.故选D.

4.(2022·河南濮阳模拟)5G是第五代移动通信技术的简称,它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信,将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化.从全国范围看,中国5G发展进入了全面加速阶段,基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站,从第二个工程队开始,每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少,则第一个工程队承建的基站数(单位:万)约为(　B　)

A. B.

C. D.

解析:由题意,8个工程队所建的基站数依次成等比数列,公比为,记第一个工程队承建的基站数为a1,则=10,a1=.故选B.

5.乡村振兴,人才是关键.要积极培养本土人才,鼓励外出能人返乡创业.人力资源社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.为鼓励返乡创业,某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{an}(单位:万元),每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍,已知+=50.则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为　　　　万元. 

解析:由题意知,五年累计总投入资金为a1+a2+a3+a4+a5+5×3a1=5a3+

15a1=5(a3+3a1)=10(a1+a2),

由于=++2a1a2≤2(+),又a1≥0,a2≥0,故a1+a2≤,

所以10(a1+a2)≤10=100,当且仅当a1=a2时等号成立.

所以镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为100万元.

答案:100

6.为满足某环球度假区游客绿色出行需求,国网某电力在该度假区停车楼建成了目前国内规模最大的集中式智慧有序充电站,充电站共建设901个充电桩,其中包括861个新型交流有序充电桩、37个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩.现有A,B,C,D,E,F六辆新能源大巴,需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电,每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电,若要求A,B两车不能同时在上午充电,而C车只能在下午充电,且F车不能在甲充电桩充电,则不同的充电方案一共有　　　　种(用数字作答). 

解析:先排F车,第一种方案,F车在上午充电,有种可能,

此时再排C,C车在下午充电,有种可能,

再排A,B,又分A,B同在下午和一个上午一个下午两种情况,有+

种可能,

第二种方案,F车在下午充电,有种可能,此时再排C,C车在下午充电,有种可能,

再排A,B,只能一个上午一个下午,有种可能.最后再排剩下的两辆车,有种可能.

所以共有[(+)+]=[(2×3×10)+24]×2=

84×2=168(种)方案.

答案:168

情境5　渗透数学文化　

1.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑、园林建筑.某重檐四角攒尖,它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥,若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍,则此正四棱锥的内切球半径与底面边长的比值为(　B　)

A. B. C. D.

解析:由于正四棱锥的底面是正方形,侧面为4个全等的等腰三角形,设正四棱锥的底边长为a,底面积为a2,所以该正四棱锥的侧面积为3a2,设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为h,则有2ah=3a2,所以h=a,设内切球的半径为r,如图,

△PGO与△PHF相似,有=,所以=,又h=a,

化简得r=,所以此正四棱锥的内切球半径与底面边长的比值为=.故选B.

2.“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》,鹳雀楼位于今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名.如图是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶A点的仰角为30°,沿直线前进79 m到达E点,此时看C点的仰角为45°,若BC=2AC,则楼高AB约为(　B　)

A.65 m B.74 m C.83 m D.92 m

解析:设AC的高度为x m,则由已知可得AB=3x,BC=BE=2x,BD=

=3x,

所以DE=BD-BE=3x-2x=79,解得x=≈24.7,所以楼高AB≈3×

24.7=74.1≈74(m).故选B.

3.算盘是中国传统的计算工具,是中国人在长期使用算筹的基础上发明的,是中国古代一项伟大的、重要的发明,在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》,其中有云:“珠算控带四时,经纬三才.”北周甄鸾为此作注,大意是:把木板刻为3部分,上、下两部分是停游珠用的,中间一部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位……上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)是1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠,往上拨2粒下珠,算盘表示的数为质数(除了1和本身没有其他的约数)的概率是(　A　)

A.  B.  C.  D.

解析:由题意可知,算盘所表示的数可能有7,16,25,52,61,70,其中是质数的有7,61,故所求事件的概率为P==.故选A.

4.我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等,即V球=πR2·R-πR2·R=πR3.现将椭圆+=1绕y轴旋转一周后得一橄榄球状的几何体(如图③),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积为(　D　)

A.32π B.24π C.18π D.16π

解析:构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,

则当截面与顶点距离为h(0≤h≤3)时,小圆锥底面半径为r,则=,所以r=h,

故截面面积为4π-πh2,把y=h代入+=1,即+=1,解得x=

±,

所以橄榄球状的几何体的截面面积为πx2=4π-πh2,由祖暅原理可得橄榄球状的几何体的体积为V=2(V圆柱-V圆锥)=2×(4π×3-×

4π×3)=16π.故选D.

5.(2022·四川绵阳模拟预测)剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一,作为一种镂空艺术,它能给人以视觉上的艺术享受.在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形(即图中阴影部分),构成树叶状图形的圆弧均相同.若在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是(　B　)

A.2- B.4-

C.    D.

解析:设圆的半径为r,如图所示,

12片树叶是由24个相同的弓形组成,且弓形AmB的面积为S弓形=πr2-

·r2·sin=πr2-r2.所以所求的概率为P===

4- .故选B.

6.“一湾如月弦初上,半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示,月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为60 m.其中外岸为半圆形,内岸圆弧所在圆的半径为60 m.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周,则该游客步行的路程为　　　　 m.

解析:如图,是月牙泉的示意图,O是QT的中点,

连接PO,可得PO⊥QT,由条件可知QT=60,PQ=60,所以sin∠QPO=,所以∠QPO=,∠QPT=,

所以月牙泉的周长l=×60+π×30=(40+30)π(m).

答案:(40+30)π

情境6　强调五育并举　

1.“关注夕阳,爱老敬老”,某协会从2017年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.如表记录了第x年(2017年是第一年)与捐赠的现金y(万元)的对应数据,由此表中的数据得到了y关于x的经验回归方程=

mx+0.35,则预测2023年捐赠的现金大约是(　C　)

A.5万元   B.5.2万元

C.5.25万元 D.5.5万元

解析:由已知得,样本点的中心的坐标为(4.5,3.5),代入=mx+0.35,得3.5=4.5m+0.35,即m=0.7,所以=0.7x+0.35,取x=7,得=0.7×7+

0.35=5.25,预测2023年捐赠的现金大约是5.25万元.故选C.

2.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成的,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面看上去较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为(　A　)

A.(3-)π B.(-1)π

C.(+1)π D.(-2)π

解析:设S1与S2所在扇形的圆心角分别为α,β,因为S1与S2所在扇形圆心角的比等于它们的面积比,所以==,又因为α+β=2π,所以=,解得α=(3-)π.故选A.

3.灯笼是传统的照明工具,传统节日时各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆.某庭院挂着一盏表面积为4π平方尺的西瓜灯(看作球),灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看作底面半径为2寸、高为4寸的圆锥,现向该灯笼内任取一点,则该点取自灯焰内的概率为(注:1尺=10寸)

(　D　)

A.0.036 B.0.024 C.0.012 D.0.004

解析:设该灯笼的半径为R,则4πR2=4π,解得R=1,所以该灯笼的体积V==(立方尺)=(立方寸),该灯笼内灯焰的体积V1=×

π×22×4=(立方寸),所以该点取自灯焰内的概率为==

0.004.故选D.

4.(多选题)新冠肺炎疫情的出现,对人类的健康和生命构成了严重威胁.某基金会和某杂志社共同倡议启动新时代文明工程:呼吁社会公益组织、新媒体和企业机构携手——“餐桌革命,公筷行动”!某机构调查了某地区部分居民疫情前后对餐桌革命(公筷公勺、分餐制)的支持情况,得到统计图如图,则下列说法正确的是(　ABD　)

A.疫情后仅支持公筷和仅支持分餐的居民均增多

B.疫情前后仅支持公筷的居民均多于仅支持分餐的

C.疫情后,不支持餐桌革命的比例的下降幅度低于支持餐桌革命的上升幅度

D.疫情后,人们的健康饮食意识明显提高

解析:由题图可知,疫情后仅支持公筷和仅支持分餐的比例分别上升至10%,7%,故A正确;疫情前后,仅支持公筷的比例分别为8%,10%,仅支持分餐的比例分别为5%,7%,故B正确;疫情后,不支持餐桌革命的比例下降了42%,支持餐桌革命的比例上升了38%,故C错误;由题图易得,人们的健康饮食意识明显提高,故D正确.故选ABD.

5.《少年中国说》是清朝末年梁启超所作的散文,文中极力歌颂少年的朝气蓬勃,其中“少年智则国智,少年富则国富;少年强则国强,少年独立则国独立”等优秀文句激励一代又一代国人强身健体、积极竞技.甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如表:

参加运动会的最佳人选应为　　　　.

解析:首先分析平均环数可知,乙、丙最大,同时丙的方差最小,可知丙的成绩较为稳定,故选丙.

答案:丙

6.在秋收季节,为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质,某班随机抽取20名学生参加秋收劳动掰玉米,现将这20名学生平均分成甲、乙两组,在规定时间内,将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位:kg),得到茎叶图如图:

已知两组数据的平均数相同,则y=　　　       　;乙组的中位数为

　　　　.

解析:由题意,先计算甲组平均数==

25,因为=,所以=25,解得y=2.

将乙组数据从小到大排序,可知中位数为=22.5.

答案:2　22.5

7.现有一个圆锥形的钢锭,底面半径为3,高为4.某工厂拟将此钢锭切割加工成一个圆柱形构件,并要求将钢锭的底面加工成构件的一个底面,则可加工出该圆柱形构件的最大体积为　　　　.

解析:设该圆柱的底面半径为x,高为h,则=,即h=4-x,

所以V=πx2(4-x)=4π(x2-x3),所以V′=4π(2x-x2),

令V′=0,解得x=2或x=0(舍去),当0<x<2时,V′>0,当2<x<3时,

V′<0,

所以V=4π(x2-x3)在区间(0,2)上单调递增,在区间(2,3)上单调递减,故当x=2时,Vmax=.

答案: