2023版考前三个月冲刺回扣篇　回扣6　解析几何【无答案版】

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1．两条直线的位置关系
2.圆的三种方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(A(x1，y1)，B(x2，y2)是圆的直径的两端点)．
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的距离
|AB|＝________________________________________________________________________.
(2)点到直线的距离d＝________________________________________(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝________________________(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
4．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)有相交、相离、相切三种情况．可从代数和几何两个方面来判断：
(1)代数法(即判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切．
(2)几何法(即比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr⇔相离；d＝r⇔相切．
5．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
1．常见的直线系方程
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在时可为x＝x0)．
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
2．与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
3．两圆公共弦
两个圆的方程相减得到的二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．
4．通径
(1)椭圆通径长为eq \f(2b2,a).
(2)双曲线通径长为eq \f(2b2,a).
(3)抛物线通径长为2p.
5．双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即y＝±eq \f(b,a)x.
(2)若渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，即eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ.
(3)若所求双曲线与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有公共渐近线，其方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)．
(4)焦点到渐近线的距离总是b.
6．抛物线焦点弦的常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，且y1>0>y2，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,1－cs α)，
|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,1＋cs α).
(2)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α).
(4)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p).
(5)以弦AB为直径的圆必与准线相切．
(6)S△OAB＝eq \f(p2,2sin α)(O为抛物线的顶点)．
1．(2022·淄博模拟)已知条件p：直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋(a＋1)y－1＝0平行，条件q：a＝1，则p是q的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知圆C：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)截直线eq \r(3)x－y＝0所得的弦长为2eq \r(3)，则圆C与圆C′：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
3．设F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,45)＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．14eq \r(3) B．7eq \r(15)
C．15eq \r(3) D．5eq \r(15)
4．(多选)(2022·南京模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是( )
A．若O为线段PQ的中点，则|PF|＝2
B．若|PF|＝4，则|OP|＝2eq \r(5)
C．存在直线l，使得PF⊥QF
D．△PFQ面积的最小值为2
5．(多选)(2022·青岛模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，y0))为椭圆C上一点，则下列结论正确的是( )
A．△MF1F2的周长为6
B．△MF1F2的面积为eq \f(\r(15),3)
C．△MF1F2的内切圆的半径为eq \f(\r(15),9)
D．△MF1F2的外接圆的直径为eq \f(32,11)
6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|·|FB|＝6，则|AB|＝________.
7．已知直线l过点P(0,1)，且与圆O：x2＋y2＝3相交于A，B两点，设eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，若点C在圆O上，则直线l的倾斜角为________．
8．(2022·石家庄模拟)已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1，F2，曲线C1和C2在第一象限相交于点P，且∠F1PF2＝60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，则双曲线C2的离心率的取值范围是________．
9．已知椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(1,2)，左、右顶点分别为曲线y＝2x2－6与x轴的交点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过C的下焦点作一条斜率为k的直线l，l与椭圆C相交于点A与B，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．
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10．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率是eq \f(\r(5),2)，实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|·|DB|＝|PB|·|DA|成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值．
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_______________________________________________________________________________斜截式
一般式
直线方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0，
A2x＋B2y＋C2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1
＝B1C2－B2C1
＝A1C2－A2C1＝0
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程
图形
几何性质
范围
顶点
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
准线
x＝－eq \f(p,2)
渐近线