初中数学华师大版八年级下册第18章 平行四边形18.1 平行四边形的性质综合训练题

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第18章　平行四边形
18.1　平行四边形的性质
基础过关全练
知识点1　平行四边形的定义
1.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,HN∥AB,EF与HN相交于点O,则图中平行四边形共有(　　)

A.12个　　　B.9个　　　C.7个　　　D.5个
2.【新独家原创】如图,我校位置在平面直角坐标系中恰与附近的体育场、超市、火车站三个位置形成一个平行四边形,且三个地方的坐标分别是A(-4,3)、B(0,4)、O(0,0),则我校的坐标是　　　　　　　　　. 

知识点2　平行四边形的性质定理
3.(2022吉林长春农安一中月考)在▱ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,则
▱ABCD的周长是(　　)
A.5 cm　　　B.7 cm　　　C.12 cm　　　D.14 cm
4.【教材变式·P75T1变式】(2022福建厦门六中期中)在▱ABCD中,如果∠B=130°,那么∠D的度数是(　　)
A.25°　　　B.50°　　　C.60°　　　D.130°
5.(2022北京期中)如图,在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=110°,则∠B=(　　)

A.70°　　　B.110°　　　C.125°　　　D.130°
6.(2022湖南湘潭中考)如图,在▱ABCD中,连结AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD= (　　)

A.80°　　　B.100°　　　C.120°　　　D.140°
7.(2022甘肃武威三中期中)如图,在▱ABCD中,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是 (　　)

A.8　　　B.9　　　C.10　　　D.11
8.【教材变式·P79例7变式】(2022吉林长春德惠三中月考)如图,平行四边形ABCD的周长为40,△BOC的周长比△AOB的周长多10,则BC的长为(　　)

A.20　　　B.5　　
C.10　　　D.15
9.(2022河南洛阳伊川期中)如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=36°,则∠B=(　　)

A.36°　　 　B.144°
C.108°　　　D.126°
10.(2022北京大兴期中)若平行四边形中相邻两个内角的度数比为1∶3,则其中较小的内角是　　　　度. 
11.(2022湖南邵阳中考)如图,在等腰△ABC中,∠A=120°,顶点B在
▱ODEF的边DE上,已知∠1=40°,则∠2=　　　　. 

12.(2022福建泉州实验中学月考)如图,▱ABCD中,AC、BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为　　　　. 

13.(2022湖北荆州中考)如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,CD的延长线上,连结EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌
△CFH,这个条件可以是　　　　.(只需写一种情况) 

14.(2022湖南长沙期中)如图,在平行四边形ABCD中,E、F为对角线BD上的两点,且∠BAE=∠DCF.求证:BE=DF.





15.(2022浙江宁波鄞州期中)如图,在平行四边形ABCD中,AE、AF分别为BC、CD上的高,且∠EAF=40°,求平行四边形ABCD各内角的度数.





16.【一题多变】(2022北京平谷期末)如图,在▱ABCD中,连结BD,取BD的中点O,过点O作直线EF,分别交AD,BC于点E,F,求证:AE=CF.




[变式一]如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OB,OD的中点,求证:AE=CF.



[变式二](2021广西桂林中考)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线BD的中点,EF过点O,交AB于点E,交CD于点F.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)求证:△DOF≌△BOE.




17.(2022河南南阳方城期中)如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OM⊥AC,交AD于点M.
(1)若∠ACB=40°,求∠CMD的度数;
(2)若△CDM的周长是10,求▱ABCD的周长.






知识点3　平行线之间的距离
18.如图,直线a∥b,则直线a,b之间的距离是(　　)

A.线段AB的长度　　　B.线段CD的长度
C.线段EF的长度　　　D.线段GH的长度
19.如图,a,b是两条平行线,则甲、乙两个平行四边形的面积关系是(　　)

A.无法确定　　　B.S甲>S乙
C.S甲=S乙　　 　D.S甲 20.【新独家原创】如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥DC,垂足分别是E,F.
(1)若AB+BC=18,AE=5,AF=4,求平行四边形ABCD的面积;
(2)判断∠EAF与∠C的数量关系,并说明理由.






能力提升全练
21.(2022广东中考,8,)如图,在▱ABCD中,一定正确的是(　　)

A.AD=CD　　　B.AC=BD　　　
C.AB=CD　　　D.CD=BC
22.(2022四川内江中考,7,)如图,在▱ABCD中,已知AB=12,AD=8,∠ABC的平分线BM交CD边于点M,则DM的长为(　　)

A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8
23.(2022福建泉州实验中学月考,8,)如图,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠AED=80°,则∠EAC的度数是(　　)

A.10°　　　B.15°　　　C.20°　　　D.25°
24.(2018山东济南中考,21,)如图,在▱ABCD中,连结BD,E是DA延长线上的点,F是BC延长线上的点,且AE=CF,连结EF交BD于点O.求证:OB=OD.




25.(2021宁夏中考,21,)如图,BD是▱ABCD的对角线,∠BAD的平分线交BD于点E,∠BCD的平分线交BD于点F.求证:AE∥CF.





素养探究全练
26.【推理能力】分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形ABE,等腰直角三角形CDG,等腰直角三角形ADF.
(1)如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连结GF,EF,请判断GF与EF的关系(只写结论,不需证明);
(2)如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时,连结GF,EF,(1)中结论还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.

图1 图2


答案全解全析
基础过关全练
1.B　根据平行四边形的定义,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可知题图中的平行四边形一共有9个.
2.答案　(-4,-1)或(-4,7)或(4,1)
解析　根据平行四边形的对边平行且相等知我校的坐标为(-4,-1)或(-4,7)或(4,1).

3.D　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=3 cm,BC=AD=4 cm,
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2×7=14 cm.
4.D　∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠D=∠B,∵∠B=130°,
∴∠D=130°.故选D.
5.C　∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∠A=∠C,
∵∠A+∠C=110°,∴∠A=∠C=55°,∴∠B=180°-∠A=125°,故选C.
6.C　∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD.
∵∠BAC=40°,∴∠DCA=∠BAC=40°,
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=80°+40°=120°.
7.C　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,∵AC=6,∴AO=3,
又∵AB⊥AC,AB=4,
∴BO=42+32=5,∴BD=2BO=10.故选C.
8.D　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,AB=CD,AD=BC.
∵△BOC的周长比△AOB的周长多10,
∴(BO+CO+BC)-(BO+AO+AB)=BC-AB=10,①
∵平行四边形ABCD的周长为40,∴2(BC+AB)=40,∴BC+AB=20,②
①+②,可得2BC=30,∴BC=15.故选D.
9.D　根据折叠的性质可知∠B'AC=∠BAC,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,
∴∠BAC=∠DCA,∴∠BAC=∠DCA=∠B'AC,
∵∠1=∠B'AC+∠DCA,∴∠1=2∠BAC=36°,
∴∠BAC=18°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠2=180°-18°-36°=126°,
故选D.
10.答案　45
解析　如图所示,

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,∵∠B∶∠C=1∶3,∴∠C=3∠B,
∴∠B+3∠B=180°,解得∠B=45°.故较小的内角是45°.
11.答案　110°
解析　∵△ABC是等腰三角形,∠A=120°,
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=30°,
∵四边形ODEF是平行四边形,
∴OF∥DE,
∴∠2+∠ABE=180°,即∠2+30°+40°=180°,
∴∠2=110°.
12.答案　14
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=6,OA=OC,OB=OD,
∵AC+BD=16,∴OB+OC=8,
∴△BOC的周长=OB+OC+BC=8+6=14.
13.答案　BE=DF(答案不唯一)
解析　(答案不唯一)添加BE=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠A=∠C,AB=CD,∴∠E=∠F,
∵BE=DF,∴BE+AB=DF+CD,即AE=CF,
在△AEG和△CFH中,
∠E=∠F,AE=CF,∠A=∠C,∴△AEG≌△CFH(A.S.A.).
14.证明　∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
AB=CD,∴∠ABD=∠CDF.在△ABE与△CDF中,
∠BAE=∠DCF,AB=CD,∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(A.S.A.),
∴BE=DF.
15.解析　 ∵AE、AF分别为BC、CD上的高,∴∠AEC=∠AFC=90°,∵∠EAF=40°,∴∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=140°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C=140°,∠B=∠D=180°-∠C=40°.∴平行四边形ABCD各内角的度数分别为140°,40°,140°,40°.
16.证明　如图,连结AC,

∵四边形ABCD是平行四边形,O是BD的中点,
∴AC经过点O,AD∥BC,
∴OA=OC,∠OAE=∠OCF,
在△AOE和△COF中,
∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(A.S.A.),
∴AE=CF.
[变式一]证明　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC,
∵E,F分别是OB,OD的中点,
∴OE=12OB,OF=12OD,
∴OE=OF,
在△AOE和△COF中,
AO=CO,∠AOE=∠COF,OE=OF,
∴△AOE≌△COF(S.A.S.),
∴AE=CF.
[变式二]证明　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠1=∠2.
(2)∵O是BD的中点,∴OD=OB,
在△DOF和△BOE中,
∠1=∠2,∠DOF=∠BOE,OD=OB,
∴△DOF≌△BOE(A.A.S.).
17.解析　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,∴∠ACB=∠MAO=40°,
∵OM⊥AC,∴∠MOA=∠MOC=90°,
在△AMO与△CMO中,
OM=OM,∠MOA=∠MOC=90°,OA=OC,
∴△AMO≌△CMO(S.A.S.),
∴∠AMO=∠CMO=90°-40°=50°,
∴∠CMD=180°-50°-50°=80°.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,
由(1)知△AMO≌△CMO,∴MC=MA,
∴△CDM的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=10,
∴平行四边形ABCD的周长=2(AD+CD)=20.
18.B　由直线a∥b,CD⊥b,得线段CD的长度是直线a,b之间的距离,故选B.
19.C　由题意可知,甲、乙是两个等底等高的平行四边形,所以它们的面积相等,即S甲=S乙,故选C.
20.解析　(1)设AB=x,∵AB+BC=18,∴BC=18-x.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=x,∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴AE·BC=AF·CD,即5(18-x)=4x,解得x=10,∴平行四边形ABCD的面积是4×10=40.
(2)∠EAF+∠C=180°.理由如下:
∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴∠AEC=∠AFC=90°,
∵∠EAF+∠C+∠AEC+∠AFC=360°,
∴∠EAF+∠C=180°.
能力提升全练
21.C　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,故选C.
22.B　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=12,BC=AD=8,AB∥CD,
∴∠ABM=∠CMB,∵BM是∠ABC的平分线,
∴∠ABM=∠CBM,∴∠CBM=∠CMB,
∴MC=BC=8,
∴DM=CD-MC=12-8=4,
故选B.
23.C　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,
∵∠B=60°,∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD=60°,
∴∠B=∠DAE,△ABE是等边三角形,
∴AB=AE,
在△BAC和△AED中,
AB=EA,∠B=∠DAE,BC=AD,∴△BAC≌△AED(S.A.S.),
∴∠BAC=∠AED=80°,
∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=80°-60°=20°,故选C.
24.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠ADB=∠CBD.∵AE=CF,
∴AE+AD=CF+BC,∴ED=FB.
又∵∠EOD=∠FOB,∴△EOD≌△FOB.
∴OB=OD.
25.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
∴∠ADB=∠CBD.
∵∠BAD、∠BCD的平分线分别交对角线BD于点E、F,
∴∠EAD=12∠BAD,∠FCB=12∠BCD,
∴∠EAD=∠FCB.
在△AED和△CFB中,
∠ADE=∠CBF,AD=CB,∠EAD=∠FCB,
∴△AED≌△CFB(A.S.A.),
∴∠AED=∠CFB,
∴AE∥CF.
素养探究全练
26.解析　(1)GF⊥EF,GF=EF.
详解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°,
∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,
∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°,
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA,
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°- (180°-∠CDA)=90°+
∠CDA,
∴∠FDG=∠EAF,
在△EAF和△GDF中,
AF=DF,∠FAE=∠FDG,AE=DG,∴△EAF≌△GDF(S.A.S.),
∴EF=FG,∠EFA=∠DFG,
∴∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA,
∴∠GFE=90°,
∴GF⊥EF,GF=EF.
(2)成立.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°,
∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,
∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°,
∵∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠CDF=180°,
∴∠EAF+∠CDF=45°,
∵∠CDF+∠GDF=45°,
∴∠FDG=∠EAF,
在△GDF和△EAF中,
DF=AF,∠FDG=∠FAE,DG=AE,
∴△GDF≌△EAF(S.A.S.),
∴EF=FG,∠EFA=∠GFD,
∴∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA,
∴∠GFE=90°,
∴GF⊥EF,GF=EF.