2023年中考数学三轮冲刺 解答题冲刺练习五（含答案）

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某初中学校组织200位同学参加义务植树活动.甲、乙两位同学分别调查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表1和表2：
表1：甲调查九年级30位同学植树情况
表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况
根据以上材料回答下列问题：
(1)关于于植树棵数，表1中的中位数是 棵；表2中的众数是 棵；
(2)你认为同学 (填“甲”或“乙”)所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况；
(3)在问题(2)的基础上估计本次活动200位同学一共植树多少棵？
学校运动会上，九(1)班啦啦队买了两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元.甲种矿泉水比乙种矿泉水多买20瓶，且乙种矿泉水的价格是甲种矿泉水价格的1.5倍.求甲、乙两种矿泉水的价格.
如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交反比例函数y＝eq \f(1,x)(x＞0)的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……过点Bn＋1作Bn＋1Pn⊥AnBn于点Pn，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2……△BnPnBn＋1的面积为Sn.求：
(1)S1＝________；
(2)S10＝________；
(3)S1＋S2＋S3＋…＋Sn的和.
如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线EF分别交BC.AD于点E和F，EF交AC于点O．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC=8，EF=6，求BC的长．
如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，求乙船的航行距离（eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，结果保留整数）．
如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，且DA＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若sinC＝eq \f(4,5)，AC＝12，求⊙O的直径．
二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A(﹣1，0)、B(4，0)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F(﹣，0)，动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；
②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；
(3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．
\s 0 答案
解：x=2,y=3.
解：(1)表1中30位同学植树情况的中位数是9棵，表2中的众数是9棵；
故答案为：9，9；
(2)乙同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况；
故答案为：乙；
(3)由题意可得：(3×6＋6×7＋3×8＋12×9＋6×10)÷30×200＝1680(棵)，
答：本次活动200位同学一共植树1680棵.
解：设甲种矿泉水的价格为x元，则乙种矿泉水价格为1.5x，
由题意得：﹣=20，解得：x=2，
经检验x=2是原分式方程的解，
则1.5x=1.5×2=3，
答：甲、乙两种矿泉水的价格分别是2元、3元.
解：(1)eq \f(1,4)
(2)eq \f(1,220)
(3)∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，
∴设点B1的坐标为(1，y1)，点B2的坐标为(2，y2)，点B3的坐标为(3，y3)……点Bn的坐标为(n，yn).
∵点B1，B2，B3，…，Bn在反比例函数y＝eq \f(1,x)(x＞0)的图象上，
∴y1＝1，y2＝eq \f(1,2)，y3＝eq \f(1,3)，…，yn＝eq \f(1,n)，
∴S1＝eq \f(1,2)×1×(y1－y2)＝eq \f(1,2)(1－eq \f(1,2))，S2＝eq \f(1,2)×1×(y2－y3)＝eq \f(1,2)×(eq \f(1,2)－eq \f(1,3))，S3＝eq \f(1,2)×1×(y3－y4)，…，
∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝eq \f(n,2（n＋1）).
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=FC，AE=EC，
∴∠FAC=∠FCA，
∴∠FCA=∠ACB，
∵∠FCA+∠CFE=90°，∠ACB+∠CEF=90°，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
∴AF=FC=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形
∴OC=AC=4，OE=EF=3
∴CE===5，
∵∠COE=∠ABC=90，∠OCE=∠BCA，
∴△COE∽△CBA，
∴=，∴=，
∴BC=6.4．
解：
证明：(1)∵AB＝AC，AD＝DC，
∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，
∴∠1＝∠B，
又∵∠E＝∠B，
∴∠1＝∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E＋∠EAD＝90°，
∴∠1＋∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA＝DC，
∴CF＝eq \f(1,2)AC＝3，
在Rt△CDF中，∵sinC＝＝，
设DF＝4x，DC＝5x，
∴CF＝3x，
∴3x＝3，解得x＝1，
∴DC＝5，
∴AD＝5，
∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴＝，即＝，解得AE＝eq \f(25,4)，
即⊙O的直径为eq \f(25,4)．
解：(1)y＝ax2＋bx＋4，
当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)，
设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x−4)，
将点C的坐标代入得：−4a＝4，解得a＝−1，
∴抛物线的解析式为y＝−x2＋3x＋4；
(2)①如图1，抛物线的对称轴是：x＝eq \f(3,2)，
∴CD＝eq \f(3,2)，EF＝eq \f(8,3)，
设点N的坐标为(eq \f(3,2)，a)则ND＝4−a，NE＝a，
当△CDN∽△FEN时，＝，即＝，解得a＝，
∴点N的坐标为(，)；
当△CDN∽△NEF时，＝，解得：a1＝a2＝2，
∴点N的坐标为(eq \f(3,2)，2)，
综上所述，点N的坐标为(，)或(，2)；
②如图2所示：过点A作GH∥y轴，过点M作MG⊥GH于G，过点A作AE⊥AM，交MP于点E，
∵∠AMP＝45°，∠MAE＝90°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AM＝AE，
将x＝1代入抛物线的解析式得：y＝6，
∴点M的坐标为(1，6)，
∴MG＝2，AG＝6，
∵∠GAM＋∠EAH＝90°，∠EAH＋∠AEH＝90°，
∴∠GAM＝∠AEH，
∵∠G＝∠H＝90°，
∴△MGA≌△AHE(AAS)，
∴EH＝AG＝6，AH＝GM＝2，
∴E(5，﹣2)，
设ME的解析式为y＝kx＋b，
将点A和点E的坐标代入
得：，解得：，
∴直线EA的解析式为y＝−2x＋8，
﹣2x＋8＝﹣x2＋3x＋4，解得：x＝1(舍)或x＝4，
将x＝4代入y＝−2x＋8得：y＝0，
∴点P的坐标为(4，0)；
(3)分种情况：
①如图3，当T在x轴上时，满足条件，此时T(eq \f(3,2)，0)；
②如图4，当T在x轴的上方时，∵△QOT为等腰三角形，且符合条件的Q恰好有2个，
∴OT＝OQ2＝OQ1＝Q1T，
∴△OQ1T是等边三角形，
∴∠TOQ1＝60°，
∴∠BOT＝30°，
∵OE＝eq \f(3,2)，
∵tan30°＝eq \f(\r(3),3)，∴ET＝eq \f(\r(3),3)，∴T(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))；
③当T在x轴的下方时，同理得T(eq \f(3,2)，﹣eq \f(\r(3),2))；
综上，T的坐标为(eq \f(3,2)，0)或(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))或(eq \f(3,2)，﹣eq \f(\r(3),2))．
每人植树棵数
7
8
9
10
人数
3
6
15
6
每人植树棵数
6
7
8
9
10
人数
3
6
3
12
6